Re: [obm-l] (sem assunto)
2) se x,y,z são números postivos, mostre que x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2=y/x+z/y+x/z. Faça x/y = a, y/z = b e z/x = c = a.b.c = 1 e a desigualdade é equivalente a a^2 + b^2 + c^2 = 1/a + 1/b + 1/c = a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc que é um probleminha bem batido em olimpíada 4)(CMO-1997) Prove que 1/19991/2*3/4*5/6*.*1997/19981/44. Sejam x = (1/2)(3/4)(5/6)...(1997/1998) e y = (2/3)(4/5)(6/7)...(1998/1999) Como cada termo respectivo de y é maior que cada termo de x então x y = x^2 x.y = 1/1999 = x 1/44 Sejam P = 2.4.6...1998 e I = 1.3.5...1997 P = (2^999)(999!) Assim: x = I/P = I.P/P^2 = 1998!/(2^1998)(999!)^2 = x = C(1998,999)/2^1998 Sabemos que: 2^1998 = C(1998,0) + C(1998,1) + ... + C(1998,1998) Como o maior coeficiente binomial de 2^1998 é C(1998,999) então 2^1998 1999.C(1998,999) Portato: x = C(1998,999)/2^1998 C(1998,999)/[(1999).C(1998,999)] = x 1/1999 Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] cone sul
Olá pessoal, gostaria de ajuda nessa questão: 1. De cada nº inteiro positivo n, n =99,subtraimos a soma dos quadrados dos seus algarismos.Para q valores de n essa diferença é a maior possivel? Seja n = [xy] = 10x + y k = 10x + y x^2 y^2 = (10x x^2) + (y y^2) Temos que k é a soma de duas funções inteiras independentes (uma em x e outra em y), portanto o valor máximo de k vai coincidir com o valor máximo das duas funções i) f(x) = 10x x^2 = xmax = 10/2 = xmax = 5 = f(x)max = f(5) = f(x)max = 25 ii) g(x) = y y^2 = y(1 y) = ymax = 0 ou 1 Então n = xy = n = 50 e n = 51 Valeu! Fê _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
Fala cara, blz? O fato eh que esse problema eh da eureka e eu nem li o que o garoto escreveu, soh li a fatoracao e lembrei na hora...pelo menos eu acho (naum tenho certeza) que na eureka eu li reais positivos, pus ateh no final escrito que x,y,z sao positivos, pois caso naum fosse estaria explicado o fato...mas bom vc avisar antes de eu mandar as solucoes abracos Marcelo From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Obm [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração Date: Wed, 24 Apr 2002 13:56:20 -0300 Acho que não é bem assim... = (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ] = -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato de x, y, z serem positivos, o que não é dado... Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS. É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem todos ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são pares. 2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3 cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2. P+Q+R+S = -2(x+y+z) As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) : 2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10. Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2. Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5 a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma é múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é zero. Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que é quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2 mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado. Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do caso anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim, esgotando todos os casos, terminamos a prova. Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq coisa, ou erro, avisem. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
[obm-l] re: oi
ANSWER:Oras,e so imaginar um triangulo de lados inteiros.Pela SLC a^2=b^2 c^2-2*b*c*cosÂ.Divide tudo por 4*r*r e usa a SLS.E cabou.E! --- to: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] cc: date: 4/25/2002 12:10:52 AM subject: oi Oi oi! O primeiro problema e assim:se voce usar a SLS(Sagrada Lei dos Senos,como diria o Shine)voce consegue um triangulo de lados inteiros cujos senos dos angulos sao os ditos racionais.Aplique a SLC(Sagrada Lei dos Cossenos) e COMEMORE! --- Vc poderia exemplificar isso pra mim? Valeu! Fê _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com ___ Abra grátis sua conta no StarMedia Email. Inscreva-se agora mesmo! http://www.br.starmedia.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Ola Dirichlet e demais
colegas desta lista,
As hipoteses que voce esta usando
1) TRES PRIMOS dois a dois distintos
2) RAIZES CUBICAS
sao muito restritas ... Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e que
demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver isso
rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma
Y1 = A + B*N , N = {1,2,...}
Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta. Ja
a curva
Y2 = X^(1/N)
e convexa para X 0. Assim, para X 0, a reta Y1 so podera cortar a curva
Y2 em, no máximo, 2 pontos ... Claramente que isso sugere um enunciado do
tipo :
Sejam A, B e C tres reais quaisquer, positivos. Mostre que as suas raizes
N-esimas jamais poderao ser termos de uma mesma PA.
E claro que uma prova para este fato inclui, como caso particular, o
fenomeno que voce descreveu, vale dizer, o fato de que as raizes cubicas de
tres primos, dois a dois distintos, jamais poderao ser termos de uma mesma
PA.
Cuidado quando for delimitar as hipotese de trabalho ... AS RAIZES N-ESIMAS
DE POTENCIAS N-ESIMAS FORMAM UMA PA !
RESGUARDADAS AS DEVIDAS HIPOTESES, Uma caminho de demonstracao pode ser o
seguinte :
1) Supondo que A B C sao reais distintos e que RAIZ_N(A), RAIZ_N(B) e
RAIZ_N(C) sao PA entao existem naturais D, E e F tais que :
( RAIZ_N(B) - RAIZ_N(A))/(RAIZ_N(C) - RAIZ_N(B)) = (D-E)/(F-E)
2) O fato acima , acrescido de resultados basicos sobre semelhanca de
triangulo, vai implicar que as raizes N-esimas estao alinhadas ... isso vai
entrar em contradicao com o fato de Y2=X^(1/N) ser convexa. Os detalhes
ficam como exercicio.
E interessante registrar que muitas coisas que sao complicadas
analiticamente ficam simples quando olhamos para os graficos, que costumam
nos falar como se pronunciassem milhares de palavras. Para ver isso, respoda
o seguinte :
E verdade que para todo N 1 existem naturais A, B e C com A B C tais
que RAIZ_N(A), RAIZ_N+1(B) E RAIZ_N+2(C) estao em uma PA (reta) ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1304,250402
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Date: Tue, 23 Apr 2002 17:22:53 -0300
Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam
ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA.
_
eMTV: receba a mordomia eletrônica!
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Re: [obm-l] Geometria espacial
On Thu, Apr 25, 2002 at 12:21:42AM -0300, Daniel wrote: Olá a todos Problema: Qual o raio da esfera inscrita em um dodecaedro regular? Daniel Você não deu nenhum dado sobre o dodecaedro. Um sistema de coordenadas para o dodecaedro regular é (+-1,+-1,+-1), (+-a,+-b,0), (0,+-a,+-b), (+-b,0,+-a) onde a = (1+sqrt(5))/2 ~= 1,6 e b = a^(-2) ~= 0,4. A aresta deste dodecaedro é 2b. O raio da esfera circunscrita é sqrt(3). Um exemplo de face é (a,+-b,0), (1,+-1,1) e (b,0,a) cujo centro é (1/5)(2a+1+b,0,a+2). Daí é fácil encontrar o que você quer. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
[...] Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e
que demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver
isso rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma
Y1 = A + B*N , N = {1,2,...}
Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta.
Ja a curva
Y2 = X^(1/N)
e convexa para X 0. Assim, para X 0, a reta Y1 so podera cortar a curva
Y2 em, no máximo, 2 pontos [...]
Certo, mas isso não prova nada.
Se //x^(1/3)//, //y^(1/3)//, //z^(1/3)// formam uma P.A., não é
necessariamente verdadeiro que //x//, //y//, e //z// também o formem,
hipótese utilizada implicitamente acima. O valor de //x// na curva 2 não
guarda nenhuma correlação com //x// na curva 1, muito menos são iguais, logo
o argumento da interseção de gráficos não funciona, até pq, se funcionasse,
//1^(1/3)//, //8^(1/3)// e //27^(1/3)// não poderiam nunca formar uma P.A.
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED], ICQ 31136103, GPG key ID 0xBBF3190A)
GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux)
Comment: For info see http://www.gnupg.org
iEUEARECAAYFAjzIJz4ACgkQalOQFrvzGQopqQCXZO6JVoPeLm3z9meZEz37U0w0
wACg1AWTBHjwQTS8rYht9QLeSFuvGzM=
=V2cO
-END PGP SIGNATURE-
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Re: [obm-l] Geometria espacial (Oops)
On Thu, Apr 25, 2002 at 01:42:52PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: On Thu, Apr 25, 2002 at 12:21:42AM -0300, Daniel wrote: Olá a todos Problema: Qual o raio da esfera inscrita em um dodecaedro regular? Daniel Você não deu nenhum dado sobre o dodecaedro. Um sistema de coordenadas para o dodecaedro regular é (+-1,+-1,+-1), (+-a,+-b,0), (0,+-a,+-b), (+-b,0,+-a) onde a = (1+sqrt(5))/2 ~= 1,6 e b = a^(-2) ~= 0,4. Corrigindo, b = a^(-1) ~= 0.6. A aresta deste dodecaedro é 2b. O raio da esfera circunscrita é sqrt(3). Um exemplo de face é (a,+-b,0), (1,+-1,1) e (b,0,a) cujo centro é (1/5)(2a+1+b,0,a+2). Daí é fácil encontrar o que você quer. Veja também meu artigo 'Coordenadas para o icosaedro' na RPM ou na minha home page: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau Apesar do título, o dodecaedro também é tratado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Mais uma de Analise
Ola pessoal! Num passado muito proximo, surgiu uma questao de analise que pedia para garantir, ou nao, a existencia de um x tal que f(x) = f(x+k). Tenho uma questao interessante e relacionada, la vai: Seja f:R-R uma funcao continua periodica com periodo p=1, ou seja, f(x) = f(x+1) para todo x. Seja dado um numero real k, onde 0 k 1. Prove que existem (pelo menos) dois valores distintos x' e x'' (pertencentes a [0,1]) que satisfacam f(x) = f(x + k) para x = x' e x'' Espero solucoes. Eduardo Casagrande Stabel. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Ponce: Problemas de Recorrência
O Luiz Antonio Ponce Alonso me mandou arquivos que ele acha que podem interessar a vocês. É sobre problemas de recorrência e tem a ver com uma aula da semana olímpica. O material está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/ponce []s, N. - Forwarded message from Luiz Antonio Ponce Alonso [EMAIL PROTECTED] - ... Caro amigo Nicolau, estou enviando este arquivo que acredito que possa ser interessante para nossos olimpicos. O que você acha?? Caso veja algum interesse, pode disponibilizá-lo em sua homepage. ... - End forwarded message - = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problemão que circulou em outra lista
Para o caso de não ter circulado por esta lista: *** Texto do Problema * Dois amigos se encontram. Um tem o produto de dois numeros (Sr. P) e o outro tem a soma dos dois numeros (Sr. S). Nenhum dos dois sabe quais sao os numeros. Entao eles desenvolvem o seguinte dialogo: Sr. S: A soma eh menor que 99. Sr. P: Deste jeito, eu nao sei quais sao os numeros. Sr. S: Entao eu tambem nao sei quais sao os numeros. Sr. P: Se voce nao sabe ainda, eu tambem nao sei. Sr. S: Como voce nao sabe, eu tambem nao sei. Sr. P: Agora, eu sei quais sao os numeros. Sr. S: Eu tambem sei. Quais sao os numeros? * = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor...
Title: Re: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor... Igor: Em primeiro lugar, nao trate geometria (sintetica) e geometria analitica como coisas distintas e impenetraveis. Se voce tem um problema de geometria para resolver e nao consegue uma boa ideia - que frequentemente eh um truque - o metodo de introduzir coordenadas eh uma opcao. Veja o que fez Nicolau para calcular o raio da esfera inscrita em um dodecaedro. Ele introduziu coordenadas para os vertices e as coisas ficaram mais simples. Problemas que tratam de somas (ou diferencas) de quadrados ficam mais simples quando se estabelece um sistema de coordenadas adequado. Entretanto, se voce quiser resolver seus problemas sinteticamente vou dar as dicas: 1) Os pontos A e B sao dados e a constante k eh dada. Seja C o ponto que divide AB na razao CA/CB = 3/1. No triangulo PAB com a ceviana PC aplique a relacao de Stewart. Voce vai descobrir que CP eh constante, o que mostra que o LG eh uma circunferencia de centro C. 2) Seja M o ponto medio de AB e H a projecao de P sobre a reta AB. Aplique a lei dos cossenos nos triangulos PMA e PMB para calcular PA^2 e PB^2. Faca a diferenca e conclua que MH eh constante, ou seja, o LG eh uma reta perpendicular a AB passando por H. Abraco, Wagner. -- From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvidas, L.G. por favor... Date: Wed, Apr 24, 2002, 20:53 Estava dando uma lida sobre lugares geométricos e tive umas aulas, mas sempre relacionado a geo analítica, até aí nenhum grande problema... o problema foi ao ver um problema de LG num livro de geo plana, não consegui formular uma resposta utilizando somente a geometria plana, nem ao menos prova-la efetivamente( provar que este seria o unico conjunto de pontos que satisfaz a propriedade) bem, aqui vão os problemas, se alguém puder ajudar... 1) Determine o lugar geométrico dos pontos P tais que PA^2 + 3PB^2 = K^2 , K constante... ps: PA e PB são segmentos... 2) Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja diferença dos quadrados das distâncias a dois pontos fixos A e B é constante e igual a K^2. Agradeço desde já... []'s
[obm-l] Re:JP e a todos.
É , já vi que sabe português ... Ou pelo menos paresse...( CALMA JP NÃO PRECISA DE ME CORRIGIR NÃO , EU SEI QUE parece é com C..rsrs Foi mal é tudo brincadeira ...rsrsrs Deixa de conversa fiada e vamos ao que é realmente bom .. Esses dias na minha escola o professor vendo que eu sou um aluno que desperto um interesse maior pela matemática do que os outros alunos , me deu um desafio para que eu fizesse , só que não tive muitas idéias para fazer , comecei a fazer mais as coisas começaram a ficar muito grande ... e desisti ... Será que alguém poderia me ajudar? Ai vai.. 1-Prove que em um triângulo qualquer , suas medianas o divide em outros 6 triângulos de mesma área. Um abraço.. Rick Barbosa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:JP e a todos.
1-Prove que em um triângulo qualquer , suas medianas o divide em outros 6 triângulos de mesma área. Olá Rick! Espero que a figura siga junto... Nessa figura, coloquei os números em alguns triângulos para identificarmos algumas áreas. Repare que coloquei o número 1 nos triângulos BDE, BDG e CDG. Você pode ver que a área dos triângulo BDG e CDG são iguais, pois os dois triângulos têm a mesma base (BD = DC) e os dois têm a mesma altura (distância do ponto G até o lado BC). Feito isso, também podemos concluir a mesma coisa com relação aos triângulos AMG e CMG, pelo mesmo motivo, as bases são iguais e a altura é a mesma. Por isso, assinalei esses dois triângulos com o nº 2. E da mesma forma, temos que BGN e AGN têm a mesma área. E foram assinalados com o nº 3. Agora repare também que, o triângulo ADB tem a mesma área do triângulo ADC, pois ambos têm a mesma base e a mesma altura. Ou seja, cada um tem metade da área do triângulo ABC. Então vamos escrever essas áreas, em função dos números. Vou chamar as áreas que estão com o nº 1 de A1, as com o nº2 de A2 e as outras de A3: ADB = ADC BDG + BGN + GNA = DCG + CGM + GMA A1 + A3 + A3 = A1 + A2 + A2 A3 + A3 = A2 + A2 2.A3 = 2.A2 A3 = A2 Agora podemos também ver que as áreas dos triângulos BMA e BMC são iguais, pois os dois têm a mesma base (MC = MA) e a mesma altura (distância do vértice B ao lado AC). Então escrevendo em função das áreas dos triângulos menores: BMA = BMC MAG + ANG + NGB = GCM + GCD + BGD A2 + A3 + A3 = A2 + A1 + A1 A3 + A3 = A1 + A1 2.A3 = 2.A1 A3 = A1 Como A1 = A3 e A3 = A2, concluímos que: A1 = A2 = A3 Então, as 6 áreas em que ficou dividido o triângulo ABC são todas iguais e equivalem a 1/6 da área total do triângulo ABC cada uma. Um abraço.. Rick Barbosa Outro, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Games - play chess, backgammon, pool and more http://games.yahoo.com/
Re: [obm-l] Problemão que circulou em outra lista
Os numeros sao positivos ou podem ser negativos? Marcos Melo wrote: Para o caso de não ter circulado por esta lista: *** Texto do Problema * Dois amigos se encontram. Um tem o produto de dois numeros (Sr. P) e o outro tem a soma dos dois numeros (Sr. S). Nenhum dos dois sabe quais sao os numeros. Entao eles desenvolvem o seguinte dialogo: Sr. S: A soma eh menor que 99. Sr. P: Deste jeito, eu nao sei quais sao os numeros. Sr. S: Entao eu tambem nao sei quais sao os numeros. Sr. P: Se voce nao sabe ainda, eu tambem nao sei. Sr. S: Como voce nao sabe, eu tambem nao sei. Sr. P: Agora, eu sei quais sao os numeros. Sr. S: Eu tambem sei. Quais sao os numeros? * = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
