[obm-l] problema eureka
resolvi um problema da eureka! e gostaria de saber como faço para enviá-lo para que seja publicado. Obrigado. Carlos Augusto. Fortaleza-CE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Contagem e bijeção
Let s(n) be the number of sequences of elements from the set {1,...,n} for
which each term is at least twice the preceding one, and u(n) the number of
such sequences in which each term is greater than the sum of its
predecessors. It is known that u(n) - u(n-1) = s(n)/2. Problem: Find a
bijective proof.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] OT: antispam do UOL
Bem, eu já avisei mas continua ativo: [EMAIL PROTECTED] Nicolau, se continuar assim, acho que você deveria tomar providências. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OT: antispam do UOL
Pessoal, vocês não precisam nem desligar totalmente o antispam..basta dar permissão para as mensagens da lista...colaborem!! Daniel S. Braz === --- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bem, eu já avisei mas continua ativo: [EMAIL PROTECTED] Nicolau, se continuar assim, acho que você deveria tomar providências. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
Claúdio Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 + y^2) se (x^2 + y^2) ou que 0 e f(0,0)=0.). A conclusão a que o exercício quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente). PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por sinal também não sei fazer. De qualquer forma agradeço pela ajuda. Eduardo Provar: Se f:U -- R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)= M (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao modulo(f(x)-f(y))=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U. Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro dia. Muito obrigado Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = grad(f)(c),y - x = SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| = M. Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| = SOMA(1=i=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| = SOMA(1=i=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1=i=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: ... Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = grad(f)(c),y - x = SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| = M. ... O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. Seja f: R - R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). Seja y = 2 pi e x = 0. Temos f(y) - f(x) = 0. Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o qual f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) O que o teorema do valor médio diz é que existe t tal que |f(y) - f(x)| = |f'(t)| |(y - x)| o que aliás é verdade para qualquer t. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
on 04.05.04 11:26, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claúdio Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 + y^2) se (x^2 + y^2) ou que 0 e f(0,0)=0.). Claro! (f(h,0) - f(0,0))/h = 0 == f_x(0,0) = 0 mas f_x(x,y) = (y^3 - x^2y)/(x^2 + y^2)^2 eh ilimitada em toda vizinhanca de (0,0). Obrigado pela correcao. *** Aqui vai uma ideia: E se tratarmos de uma variavel de cada vez? Por exemplo, dados x e y em U, seja K o hipercubo com arestas paralelas aos eixos que tem x e y como vertices opostos (isto eh, o mais distante possivel um do outro). Como U eh convexo, K estah contido em U. Agora, escolha uma sequencia de n arestas adjacentes ligando x a y. Como cada aresta eh paralela a um dos eixos, podemos tratar a restricao de f aquela aresta como uma funcao real de 1 variavel real. Assim, em cada aresta, aplique o teorema do valor medio para funcoes de 1 variavel. Ou seja, na aresta paralela ao eixo-i, cujas extremidades sao: a = (y_1,...y_(i-1),x_i,x_(i+1),...,x_n) e b = (y_1,...,y_(i-1),y_i,x_(i+1),...,x_n) vai existir um ponto c = a + t*(b - a) = (y_1,...,x_i+t*(y_i-x_i),...,x_n) (0 = t = 1) tal que: f(b) - f(a) = f_i(c)*(b - a) == |f(b) - f(a)| = |f_i(c)|*|b - a| = M*|y_i - x_i|. Somando as n desigualdades correspondentes a cada aresta, obteremos: |f(y) - f(x)| = M * norma da soma de (y - x). Que tal lhe parece isso? []s, Claudio. A conclusão a que o exercício quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente). PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por sinal também não sei fazer. De qualquer forma agradeço pela ajuda. Eduardo Provar: Se f:U -- R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)= M (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao modulo(f(x)-f(y))=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U. Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro dia. Muito obrigado Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U. Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m) pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que: f(y) - f(x) = grad(f)(c),y - x = SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i). onde: grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c; f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c. Como U eh convexo, c pertence a U. Logo, |f_i(c)| = M. Assim, teremos: |f(y) - f(x)| = |SOMA(1=i=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| = SOMA(1=i=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| = SOMA(1=i=m) M*|y_i - x_i| = M*SOMA(1=i=m) |y_i - x_i| = M*norma da soma de (x - y) []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Contagem_e_bijeção
Este problema parece ser divertido.Vou traduzir:
Seja s_{n} o numero de sequencias de elementos do conjunto [n]={1,...,n} tais que cada termo e no minimo o dobro do anterior, e u_{n} o numero de sequencias de [n] tais que cada termo e maior que a soma dos anteriores.
Sabe-se que u_{n}-u_{n-1}=s_{n}/2.
PROBLEMA:Forneça uma prova bijetiva desse fato.
"Domingos Jr." [EMAIL PROTECTED] wrote:
Let s(n) be the number of sequences of elements from the set {1,...,n} forwhich each term is at least twice the preceding one, and u(n) the number ofsuch sequences in which each term is greater than the sum of itspredecessors. It is known that u(n) - u(n-1) = s(n)/2. Problem: Find abijective proof.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Contagem_e_bijeção
Este problema parece ser divertido.Vou traduzir:
Seja s_{n} o numero de sequencias de elementos do conjunto [n]={1,...,n} tais que cada termo e no minimo o dobro do anterior, e u_{n} o numero de sequencias de [n] tais que cada termo e maior que a soma dos anteriores.
Sabe-se que u_{n}-u_{n-1}=s_{n}/2.
PROBLEMA:Forneça uma prova bijetiva desse fato.
"Domingos Jr." [EMAIL PROTECTED] wrote:
Let s(n) be the number of sequences of elements from the set {1,...,n} forwhich each term is at least twice the preceding one, and u(n) the number ofsuch sequences in which each term is greater than the sum of itspredecessors. It is known that u(n) - u(n-1) = s(n)/2. Problem: Find abijective proof.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
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[obm-l] corrida...
Pessoal, levei um tempinho para resolver esta questão, e cheguei a conclusao que a resposta é a) Gostaria de saber a opinião dos colegas da lista. Se alguem tem uma boa solucao e etc O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida. Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. Obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OT: antispam do UOL
Eu ja avisei o Nicolau ha um tempo sobre esse elemento. Domingos Jr. wrote: Bem, eu já avisei mas continua ativo: [EMAIL PROTECTED] Nicolau, se continuar assim, acho que você deveria tomar providências. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] OT: antispam do UOL
Po galera , a cada mensagem enviada vem uma mensagem de antispam de [EMAIL PROTECTED] Abracos L.H.Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] corrida...
on 04.05.04 13:51, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, levei um tempinho para resolver esta questão, e cheguei a conclusao que a resposta é a) Gostaria de saber a opinião dos colegas da lista. Se alguem tem uma boa solucao e etc O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida. Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. Obrigado Oi, Niski: Concordo com voce. Uma ideia eh olhar isso como uma composicao, em alguma ordem, de 17 permutacoes, 9 das quais sao a transposicao (1,2) e as 8 restantes sao a transposicao (2,3). Largada: 1:R, 2:D, 3:B (B = Rubinho) Chegada: 1:R, 2:D, 3:B ou 1:D, 2:B, 3:R Repare que uma transposicao eh uma permutacao impar. Logo, a composicao de 17 (um numero impar) delas resulta numa permutacao impar. Logo, a permutacao resultante da composicao nao pode ser a identidade, o que nos forca a concluir que a chegada foi: 1:D, 2:B, 3:R, ou seja, David ganhou a corrida. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] derivadas parciais
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] wrote: On Mon, May 03, 2004 at 09:46:06PM -0300, Claudio Buffara wrote: ... Eu estou com uma duvida que naum consigo resolver agora. Uma das condicoes suficientes para que o teorema do valor medio conforme apresentado abaixo seja valido eh que a funcao seja diferenciavel num conjunto convexo. O fato de as derivadas parciais existirem neste conjunto naum garante diferenciabilidade. Mas como as derivadas parciais sao limitadas no conjunto, acho que isto garante no mesmo a existencia de todas as derivadas direcionais. Eh a existencia das derivadas direcionais garante a validade do teorema do valor medio, certo? Artur ... O que o Claudio fez pode ser mal interpretado. Seja f: R - R^2 dada por f(t) = (cos(t), sen(t)). Seja y = 2 pi e x = 0. Temos f(y) - f(x) = 0. Não existe nenhum t no intervalo [0, 2 pi] para o qual f(y) - f(x) = f'(t) (y - x) O que o teorema do valor médio diz é que existe t tal que |f(y) - f(x)| = |f'(t)| |(y - x)| o que aliás é verdade para qualquer t. []s, N. __ Do you Yahoo!? Win a $20,000 Career Makeover at Yahoo! HotJobs http://hotjobs.sweepstakes.yahoo.com/careermakeover = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: FW: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Claudio Obrigado pela dedicação a essa questão, mas não entendi direito a solução. Não sei se é abuso pedir para vc explicar de novo. De qualquer forma vou ficar aqui tentando entender. Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PALPITE CALCULADO!
OK! Cláudio e demais colegas! Grato pela resolução enviada. Quanto ao royal flush, é uma pena que eu não tenha a resposta. Vejam a seguir o que pode acontecer quando usamos o bom senso, ou a intuição, em relação a probabilidades. Vou ganhar dois cães, um branco e um preto. Sei que um deles é macho. Qual é a probabilidade de ambos serem machos? Ao guardar casualmente meus quatro únicos CD's em cada caixa, qual a possibilidade de acertar exatamente três CD's nas caixas corretas? Qual a vantagem para o apostador de uma Loteria Esportiva, após a ampliação do número de jogos de 13 para 16, com prêmios para os acertadores de 15 ou 16 dos prognósticos? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] corrida...
Por lógica, Letra A. As possibilidades - com Rubino logo atrás de David- sao I) Ralf David Rubinho II) David Rubinho Ralf Porém, B) está errada pois se Ralf ganha, temos a situação II, o que daria a letra C como certa também. C) anula-se com B D) Ralf em segundo eh impossivel pois não poderiamos ter Rubinho logo atrás de David. Logo temos a situação I. Abraços! Rossi - Original Message - From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, May 04, 2004 1:51 PM Subject: [obm-l] corrida... Pessoal, levei um tempinho para resolver esta questão, e cheguei a conclusao que a resposta é a) Gostaria de saber a opinião dos colegas da lista. Se alguem tem uma boa solucao e etc O seguinte trecho de artigo de um jornal local relata uma corrida beneficente de bicicletas: Alguns segundos após a largada, Ralf tomou a liderança, seguido de perto por David e Rubinho, nesta ordem. Daí em diante, eles não mais deixaram as primeiras três posições e, em nenhum momento da corrida, estiveram lado a lado mais do que dois competidores. A liderança, no entanto, mudou de mãos nove vezes entre os três, enquanto que em mais oito ocasiões diferentes aqueles que corriam na segunda e terceira posições trocaram de lugar entre si. Após o término da corrida, Rubinho reclamou para nossos repórteres que David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida. Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. Obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] corrida...
Essa questao eh do ITA2003,acho que nao foialterada... se foi desconsiderem essa msg... Mas eu lembro q ela ja foi discutida, acho que aqui mesmo, ou algum outro forum... E a resposta unânime eraE. O Anglo resolveu como houvesse uma resposta, e os outros cursinho como E... e foi uma questao polemica... tanto que a discussao que vi na internet foi bem longa... Nao li o problema inteiro agora, mto menos resolvi... mas me veio a lembrança "historica"... Provavelmentena prova do ITA ela foi mal elaborada... mas eles costumam usar essa NDA como escapatoria ne... talvez essa versao tenha sido corrigida... nao sei []s Ariel ---Original Message--- From: [EMAIL PROTECTED] Date: 05/04/04 12:14:00 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] corrida... So levando em conta a parte que deixei sobrar da mensagem ja da pra ver ki A) e uma boa opcao Rubinho acabou atras de David, logo D) nao pode ser a resposta.Se B) e a resposta entao C) tb e' e vc nao se preocupa ki a questao vai ser anulada :). Sobra A) e E).Mas se B) e C) nao podem ser a resposta, Ralf nao pode ter ganho.Como Rubinho nao pode ter ganho, so sobrou David pra ganhar.Sei ki tem gente ki e contra resolver problemas por eliminacao de opcoes, mas serve pelo menos pra confirmar a sua suspeita. David havia conduzido sua bicicleta de forma imprudente pouco antes da bandeirada de chegada. Desse modo, logo atrás de David, Rubinho não pôde ultrapassá-lo no final da corrida." Com base no trecho acima, você conclui que A) David ganhou a corrida. B) Ralf ganhou a corrida. C) Rubinho chegou em terceiro lugar. D) Ralf chegou em segundo lugar. E) não é possível determinar a ordem de chegada, porque o trecho não apresenta uma descrição matematicamente correta. _ Watch LIVE baseball games on your computer with MLB.TV, included with MSN Premium! http://join.msn.com/?page=features/mlbpgmarket=en-us/go/onm00200439ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = . IncrediMail - Email has finally evolved - Click Here
Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
on 04.05.04 18:04, Eduardo Cabral at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio Obrigado pela dedicação a essa questão, mas não entendi direito a solução. Não sei se é abuso pedir para vc explicar de novo. De qualquer forma vou ficar aqui tentando entender. Obrigado Abuso nenhum. Eu soh acho meio complicado lidar com tantos sub-indices num texto de e-mail. Mas vamos lah... Como U eh convexo, o segmento [x,y] estarah inteiramente contido em U. Como U eh aberto, existirao pontos a_0 = x, a_1, a_2, ..., a_(r-1), a_r = y nesse segmento tais que o cubo n-dimensional cujas arestas sao paralelas aos eixos coordenados e cujos vertices antipodas sao a_k e a_(k+1) (0=k=r-1) estah inteiramente contido em U. (no cubo [0,1]x[0,1]x...x[0,1], (0,0,...,0) e (1,1,...,1) sao vertices antipodas, por exemplo) No k-esimo cubo, tome um caminho comecando em a_(k-1) e terminando em a_k composto por n arestas adjacentes do cubo, cada uma delas paralela a um dos eixos coordenados. Em cada um desses cubos, a restricao de f a i-esima aresta eh uma funcao de uma unica variavel real (x_i) e a derivada parcial df/dx_i eh simplesmente a derivada (uni-dimensional) dessa funcao-restricao. Essa derivada existe e eh limitada, por hipotese. Sendo assim, podemos aplicar o teorema do valor medio para funcoes reais de 1 variavel real. Pra ilustrar, vou supor que U c R^2 e que precisamos tomar apenas um ponto intermediario z = (z1,z2) no segmento [x,y] = [(x1,x2),(y1,y2)]. Tomemos o caminho: (x1,x2) - (z1,x2) - (z1,z2) - (y1,z2) - (y1,y2), o qual consiste de 4 arestas, a 1a. e a 3a. paralelas ao eixo das abscissas e a 2a. e a 4a. ao eixo das ordenadas. Pelo tvm , existirao pontos (a,x2), (z1,b), (c.z2) e (y1,d), um em cada aresta, tais que: f(z1,x2) - f(x1,x2) = f_1(a)*(z1 - x1) f(z1,z2) - f(z1,x2) = f_2(b)*(z2 - x2) f(y1,z2) - f(z1,z2) = f_1(c)*(y1 - z1) f(y1,y2) - f(y1,z2) = f_2(d)*(y2 - z2) onde: f_k(x) = derivada parcial de f em relacao a k-esima coordenada. Tomado valores absolutos, e levando em conta que as derivadas parciais sao limitadas (por M 0), teremos: |f(z1,x2) - f(x1,x2)| = M*|z1 - x1| |f(z1,z2) - f(z1,x2)| = M*|z2 - x2| |f(y1,z2) - f(z1,z2)| = M*|y1 - z1| |f(y1,y2) - f(y1,z2)| = M*|y2 - z2| Somando esats desigualdades e usando a desigualdade triangular, obtemos: |f(y1,y2) - f(x1,x2)| = M*(|z1 - x1| + |z2 - x2| + |y1 - z1| + |y2 - z2|) = M*(|z1 - x1 + y1 - z1| + |z2 - x2 + y2 - z2|) = M*(|y1 - x1| + |y2 - x2|) = M * norma da soma(y - x) (podemos escrever |z1 - x1| + |y1 - z1| = |z1 - x1 + y1 - z1| = |y1 - x1| porque temos x1 = z1 = x1 ou y1 = z1 = x1, ou seja z1 - x1 e y1 - z1 tem o mesmo sinal) Espero que tenha ficado claro o que eu tinha em mente! A questao eh: voce acha que isso tah certo? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Acho que no enunciado está claro que as figuras obtidas (os quadriláteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapézios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN não é paralelo à s bases as figuras encontradas não são trapézios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 à s 17:07, Rogério Moraes de Carvalho escreveu: Eu já havia resolvido este problema e, se não me engano, ele caiu em uma das provas do Colégio Naval. Porém, ao ler o enunciado fornecido pelo Victor, eu estranhei a omissão da informação de que o segmento MN que divide o trapézio em dois outros trapézios equivalentes é paralelo à s bases AB e CD. A fim de garantir que a ausência desta informação não garante a unicidade do cálculo da medida do segmento MN em função de a e b, eu formulei uma outra questão para utilizá-la como um contra-exemplo. Vamos ao enunciado da questão que eu formulei baseando-me no problema fornecido pelo Victor: Seja ABCD um trapézio retângulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ângulo interno formado entre o lado BC e a base CD é igual a 60°. Dados os pontos M e N, pertencentes aos lados não-paralelos, tais que o segmento MN divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN para cada um dos dois casos apresentados abaixo. Primeiro caso: MN é perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) Segundo caso: MN forma um ângulo de 30° com o prolongamento da base AB no sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estão corretas, eu desenvolvi mais de uma solução para cada caso, sendo que uma delas foi por Geometria AnalÃtica. A resolução apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluções que eu havia desenvolvido para o problema original, porém ela somente tem validade se no enunciado for informado que o segmento MN é paralelo à s bases AB e CD, o que não foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o enunciado para que a resolução do Boromir seja válida e, na seqüência, eu apresentarei uma resolução alternativa. ENUNCIADO MODIFICADO: Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN é paralelo à s bases e divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função dos lados AB = a e CD = b. RESOLUÃÃO ALTERNATIVA: Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b a, MN = x, H a distância entre a AB e MN e h a distância entre MN e CD. Também considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vértice B do trapézio, de modo a interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, ABEM e MEFD são paralelogramos, conseqüentemente tem os lados opostos congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. MN = ME + EN = x = a + EN = EN = x - a DC = DF + FC = b = a + FC = FC = b - a Triângulo BEN ~ Triângulo BFC (Critério AA~): FC/EN = (H + h)/ H = (b - a)/(x - a) = 1 + h/H = = (b - x)/(x - a) = h/H (i) De acordo com os dados, os trapézios ABNM e MNCD são equivalentes, logo: S[ABNM] = S[MNCD] = (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h = = (x + a)/(b + x) = h/H (ii) Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) = x^2 - a^2 = b^2 - x^2 = = 2x^2 = a^2 + b^2 = x = sqr[(a^2 + b^2)/2] Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] Aplicando a fórmula encontrada para resolver o problema do trapézio retângulo com bases AB = 1 e CD = 3 e BCD = 60°, apresentado acima, teremos: MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) Observe que o valor encontrado na aplicação da fórmula coincide com o valor encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. Portanto, a informação de que MN é paralelo à s bases é necessária para garantir a unicidade do comprimento de MN em função de a e b, uma vez que com diferentes inclinações podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of boromir Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb recebi a mensagem truncada. []'s MP = De:Fellipe Rossi [EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Boromir não consigo entender nada da mensagem Talvez voce esteja usando mtos caracteres especiais... MEnsagem alterada: Vamos considerar a b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos dos lados não
[obm-l] Provas IME
Meu e-mail que era cadastrado na Lista da OBM foi cancelado, e não pude verificar os comentários de vocês sobre as provas do IME. Alguém sabe qual site (ou quem) possui as provas? Li a respeito de textos sebosos, mas não importa se são ou não (creio que não sejam), gostaria mesmo era de saber onde consegui-los. Se possível, gostaria de saber onde encontrar as provas do ITA também. Obrigado, Igor = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] corrida...
Nao mudo nada do que escrevi na epoca. De FDB so se chega a FDB ou a DBF mediante um numero par de transposiçoes. A resposta é E. Quanto a nova soluçao do Anglo, me lembra homeopatia, que vence a doença por cansaço. Nao vou ler um calhamaço desses porque sei que de FDB so se chega a FDB ou a DBF mediante um numero par de transposiçoes. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: niski [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 04 May 2004 23:52:53 -0300 Subject: Re: [obm-l] corrida... Bem lembrado. Inclusive fui eu mesmo quem começou a discussao! Nao tinha nem lembrado. Bom, na epoca a resolucao do Anglo foi considerada errada, porem estive vendo e eles consertaram a argumentacao, mas continuam com a alternativa A. Será que voces conseguiriam (Morgado?) refutar a nova tentativa de solucao do anglo? Nao consigo ver nenhum furo nela. Segue http://www.linux.ime.usp.br/~niski/anglo.gif Ariel de Silvio wrote: vejam a discussao que citei: http://www.mail-archive.com/cgi-bin/htsearch? method=andformat=shortconfig=obm-l_mat_puc- rio_brrestrict=exclude=words=rubinho http://www.mail-archive.com/cgi-bin/htsearch? method=andformat=shortconfig=obm-l_mat_puc- rio_brrestrict=exclude=words=rubinho -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
Est certssimo! A falha foi minha. Eu no havia atentado para o fato de obter dois outros trapzios equivalentes. Eu li como se fossem dois outros quadrilteros equivalentes. Isto porque a questo que eu havia resolvido informava que o segmento MN era paralelo s bases do trapzio ABCD ao invs de que ele dividia em dois outros trapzios equivalentes, o que vai dar na mesma. Abraos, Rogrio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informao [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Boromir Sent: tera-feira, 4 de maio de 2004 22:50 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?) Acho que no enunciado est claro que as figuras obtidas (os quadrilteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapzios e, portanto devem ter exatamente um par de lados paralelos. Se MN no paralelo s bases as figuras encontradas no so trapzios. []'s MP Em Seg, 2004-05-03 s 17:07, Rogrio Moraes de Carvalho escreveu: Eu j havia resolvido este problema e, se no me engano, ele caiu em uma das provas do Colgio Naval. Porm, ao ler o enunciado fornecido pelo Victor, eu estranhei a omisso da informao de que o segmento MN que divide o trapzio em dois outros trapzios equivalentes paralelo s bases AB e CD. A fim de garantir que a ausncia desta informao no garante a unicidade do clculo da medida do segmento MN em funo de a e b, eu formulei uma outra questo para utiliz-la como um contra-exemplo. Vamos ao enunciado da questo que eu formulei baseando-me no problema fornecido pelo Victor: Seja ABCD um trapzio retngulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ngulo interno formado entre o lado BC e a base CD igual a 60. Dados os pontos M e N, pertencentes aos lados no-paralelos, tais que o segmento MN divide esse trapzio em dois outros trapzios equivalentes, calcule MN para cada um dos dois casos apresentados abaixo. Primeiro caso: MN perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5)) Segundo caso: MN forma um ngulo de 30 com o prolongamento da base AB no sentido de B para A. (Resposta: sqr(10)) A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas esto corretas, eu desenvolvi mais de uma soluo para cada caso, sendo que uma delas foi por Geometria Analtica. A resoluo apresentada pelo Boromir corresponde a uma das solues que eu havia desenvolvido para o problema original, porm ela somente tem validade se no enunciado for informado que o segmento MN paralelo s bases AB e CD, o que no foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o enunciado para que a resoluo do Boromir seja vlida e, na seqncia, eu apresentarei uma resoluo alternativa. ENUNCIADO MODIFICADO: Dado um trapzio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N pertencentes aos lados no-paralelos. Se o segmento MN paralelo s bases e divide esse trapzio em dois outros trapzios equivalentes, calcule MN em funo dos lados AB = a e CD = b. RESOLUO ALTERNATIVA: Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b a, MN = x, H a distncia entre a AB e MN e h a distncia entre MN e CD. Tambm considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC. Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vrtice B do trapzio, de modo a interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo, ABEM e MEFD so paralelogramos, conseqentemente tem os lados opostos congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a. MN = ME + EN = x = a + EN = EN = x - a DC = DF + FC = b = a + FC = FC = b - a Tringulo BEN ~ Tringulo BFC (Critrio AA~): FC/EN = (H + h)/ H = (b - a)/(x - a) = 1 + h/H = = (b - x)/(x - a) = h/H (i) De acordo com os dados, os trapzios ABNM e MNCD so equivalentes, logo: S[ABNM] = S[MNCD] = (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h = = (x + a)/(b + x) = h/H (ii) Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii): (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) = x^2 - a^2 = b^2 - x^2 = = 2x^2 = a^2 + b^2 = x = sqr[(a^2 + b^2)/2] Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2] Aplicando a frmula encontrada para resolver o problema do trapzio retngulo com bases AB = 1 e CD = 3 e BCD = 60, apresentado acima, teremos: MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5) Observe que o valor encontrado na aplicao da frmula coincide com o valor encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso. Portanto, a informao de que MN paralelo s bases necessria para garantir a unicidade do comprimento de MN em funo de a e b, uma vez que com diferentes inclinaes podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2 + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN. Atenciosamente, Rogrio Moraes de Carvalho Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informao [EMAIL PROTECTED] -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of boromir Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re[2]: [obm-l]
[obm-l] Partições
Aos colegas da lista, Estive estudando Partições em Mat. Discreta. O assunto é abordado, por exemplo, nesta página: http://mathworld.wolfram.com/Partition.html É mencionada uma aplicação desse conceito para a resolução de equações diofantinas. Alguém conhece outras? Muito obrigado, Rafael P.S.: Enviei uma mensagem parecida faz algum tempo, não sei se houve extravio... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
