[obm-l] Exercício sobre Números Primos
Olá amigos! Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que, segundo ele, foi retirado de um livro alemão. O exercicío, segundo ele, é para preparação às Olimpíadas Russas de Ensino Médio. Gostaria que me ajudassem, pois não estou conseguindo resolver! Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Um grande abraço! Alan Pellejero __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Vinicíus, acho que não está correto ( ou eu não entendi o que fez). Por quê impôs que 1-(senx)^2=0? . poderia explicar melhor? - Original Message - From: Vinícius Meireles Aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, February 12, 2005 7:03 PM Subject: Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0(I) cosx+cosy+cosz+cosw=0(II) Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Olá Temos que: cosx=sqrt(1-(senx)^2) cosy=sqrt(1-(seny)^2) cosz=sqrt(1-(senz)^2) cosw=sqrt(1-(senw)^2) sqrt(1-(senx)^2)+sqrt(1-(seny)^2)+sqrt(1-(senz)^2)+sqrt(1-(senw)^2)=0 Não é difícil notar que: 1-(senx)^2=0 == senx = +-1,analogamente para y, z e w.seny= +-1, senz= +-1, senw=+-1, ou seja, por (I) temos que a soma desses valores deve se anular, ou seja, 2 devem ser positivos, enquanto 2 negativos, o mesmo ocorrendo para sua soma elevada a 2003, e finalmente, sua soma será 0. Abraços Vinícius Meireles Aleixo-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
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carlos gomes escreveu:
| Algum colega pode me ajudar com essa:
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| Suponha que x, y, z e w são números reais tais que:
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| senx+seny+senz+senw=0
| cosx+cosy+cosz+cosw=0
|
| Mostre que :
|
| (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0
| [...]
Definição: S_r = {v | |v| = r} e B_r = {v | |v| = r} (ou seja, S_r e
B_r são a circunferência e a bola fechada de raio r.
Lema: Todos os vetores de B_2\{0} se escrevem unicamente (a menos da
ordem dos elementos) como soma de dois elementos de S_1.
Demonstração: Pela lei dos cossenos, se u e v estão em S_1 e fazem um
ângulo de x, então |u+v| = sqrt(2 + 2cos x), que é uma bijeção do
intervalo [0, pi) no intervalo (0, 2]. Aplicando uma rotação conveniente
a u e v, podemos fazer u e v assumir qualquer vetor de S_{sqrt(2 + 2cos
x)}. Logo o lema está demonstrado.
Considere 4 vetores a, b, c e d em S_1, tais que a+b+c+d = 0. (note que
os argumentos desses vetores satisfazem as hipóteses do enunciado, já
que as coordenadas dos vetores podem ser expressas como (sen x, cos x) e
assim sucessivamente).
Então, a+b = -(c+d). Mas (-c) + (-d) = -(c+d) = a + b, logo, pelo lema,
podemos supor s.p.d.g. que a = -c e, analogamente, b = -d. Logo, se x,
y, z, w são os argumentos de a, b, c e d, temos que sen x = -sen z, cos
x = -cos z, sen y = -sen w e cos y = -cos w, e segue trivialmente que
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 + (sen z)^2003 + (sen w)^2003 =
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 - (sen x)^2003 - (sen y)^2003 = 0.
(A demonstração acima tem um pequeno erro que não afeta a
afirmação-chave do problema, mas que precisa ser corrigido. Qual?)
[]s,
- --
Fábio Dias Moreira
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RE: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Que tal assim (alerta: canhao geometrico em acao! Considere isto uma vinganca cearense da geometria contra trigonometria e analitica. ;) ;) ): Sejam A(cosx,senx), B(cosy, seny), C(cosz,senz) e D(cosw,senw) no plano cartesiano. Entao ABCD eh um quadrilatero inscritivel no circulo de centro O e raio 1. Bom, considere o triangulo ABC, seu circuncentro O, baricentro G e ortocentro H. Sabemos que (canhao!) os pontos O, G e H estao alinhados nesta ordem, com OH=3OG (da reta de Euler). Mas, como as coordenadas de G sao a media aritmetica das coordenadas de A, B e C, temos entao que as coordenadas de H serao (cosx+cosy+cosz,senx+seny+senz). Sua condicao entao eh equivalente a dizer que H e D sao simetricos com relacao a O, isto eh, H estah tambem na circunferencia que contem A, B, C e D. -- Pera ai, se o ortocentro H de ABC estah no circulo que contem A, B e C, entao H deve ser um dos pontos A, B ou C e o triangulo ABC deve ser retangulo! Digamos, sem perda de generalizacao, que H=A. Como D eh o simetrico de H com relacao ao centro O, ABDC serah um retangulo, ou seja, A=-D e B=-C e dai segue o resultado final. -- Talvez este passo mereca mais atencao. Cada altura de ABC corta o circulo circunscrito em dois pontos: A e um ponto do arco BC que nao contem A; B e um ponto do arco AC que nao contem B; C e um ponto do arco AB. Se H nao fosse A nem B nem C, teria de estar nos arcos AB, AC e BC ao mesmo tempo, o que eh um absurdo. ---///--- Agora, se voce preferir algebra e trigonometria... Temos que (senx+seny+senz)^2+(cosx+cosy+cosz)^2=1. Abrindo tudo, usando identidades: senxseny+senysenz+senxsenz+cosxcosy+cosycosz+cosxcosz+1=0 cos(x-y)+cos(x-z)+cos(y-z)+1=0 Usando cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) e cos2A=2cos^2(A/2)-1 2cos(x-(y+z)/2)cos((y-z)/2)+2cos^2((y-z)/2)=0 cos((y-z)/2) . (cos(x-(y+z)/2)+cos(y-z)/2) = 0 cos((y-z)/2).cos((x-z)/2).cos((x-y)/2)=0 Sem perda de generalidade, digamos que o ultimo eh que dah zero (os outros casos sao analogos). Entao: (x-y)/2=kpi+pi/2 x-y=2kpi+pi cosx=-cosy e senx=-seny Jogando de volta na equacao original, temos que cosz=-cosw e senz=-senw. Acabou. Abraco, Ralph -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carlos gomes Sent: Sat 2/12/2005 4:05 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Algum colega pode me ajudar com essa: Suponha que x, y, z e w são números reais tais que: senx+seny+senz+senw=0 cosx+cosy+cosz+cosw=0 Mostre que : (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 Grato, e um forte abraço a todos, Cgomes. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de anti-virus e acredita-se estar livre de perigo. winmail.dat
[obm-l] Senos e cossenos estranhos...e outro exerc.
Subject: Re: [obm-l] Senos e cossenos estranhos... Vinicíus, acho que não está correto ( ou eu não entendi o que fez). Por quê impôs que 1-(senx)^2=0? . poderia explicar melhor? Sim, claro! Cara, como antes tinha declarado que era um soma de raízes que igualariam-se a zero ex( raiz(a)+...+raiz(n)=0), implica que todas as raízes sejam iguais a 0 , ouseja a=...=n=0,pois não existe uma raiz negativa q compensaria umnúmero positivo.Mas o erro é que é +- a raiz, mas analisei apenas o +. Ah, alguem conseguiu resolver aquela q pedia todos os n, tal q [Sen(A)]^n+[Cos(A)]^n=1?? Abraços Vinícius Meireles Aleixo
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Corrigindo: o livro é russo, não alemãodesculpe... Segue o enunciado! --- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos! Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que, segundo ele, foi retirado de um livro alemão. O exercicío, segundo ele, é para preparação às Olimpíadas Russas de Ensino Médio. Gostaria que me ajudassem, pois não estou conseguindo resolver! Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Um grande abraço! Alan Pellejero __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Idades
Com a tecnologia de hj, o pai pode estar morto! Esta eh apenas uma das solucoes possiveis (talvez a mais conservadora). Segundo o Kama Sutra (do qual nao achei nehum exemplar na biblioteca do IMPA), existem centenas de solucoes diferentes para a localizacao do pai... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
acho que consegui, mas nao tenho muita certeza.
Seja P a raiz n-esima de a. E seja K o valor da expressão. Assim P e
K são primos.
a = P^n = a^n = P^(n^2)
K = [P^(n^2) + b]/ [P^(n^2) - b] Multiplicando por P^(n^2) - b
P^(n^2) + b = K*P^(n^2) - K*bIsolando b e P
b*(K+1) = P^(n^2) * (K-1) Dividindo por K-1
P^(n^2) = b*(K+1)/(K-1)
Como b*(K+1)/(K-1) é inteiro, ou (K-1)| b ou (K-1)|(K+1)
Se (K-1)|(K+1), K+1 / K-1 = Z (algum inteiro)
Sendo K-1 = J , temos que J+2 / J = Z = 1 + 2/J
ou seja, K-1 divide 2 = K=2 ou K=3 (ambos sao primos, logo validos)
Se K= 2, P^(n^2) = 3b
Se K= 3, P^(n^2) = 2b
Logo K = 3
P^(n^2) = 2b = P = 2
como b é quadrado perfeito, 2^(n^2) = 2x^2
2^(n^2 -1) = x^2 = x é potencia de 2
Se x = 2, n = raiz3 (nao serve)
Se x = 4, n = raiz5 (nao serve)
Se x = 8, n = raiz7 (nao serve)
Se x = 16, n = raiz 9 = 3.
Assim, n = 3.
Mas se ao invés de dividir K+1 , K-1 dividir b, teremos:
K-1| b = K-1| x
Se queremos n3 (pois já provamos que n=3 é valido), temos que x16.
K-1 é um fator primo menor que 16, logo K-1 E {2,3,5,7,11,13)
ou seja, K E {3,4,6,8,12,14} = menos K possivel é 3, exatamente como
o utilizado na primeira hipotese. Logo, n = 3.
Só conferindo:
P=2 n=3 b= 256 a = 8
8^3 + 256 / 8^3 - 256 = 768/256 = 3 (primo)
Ps.: aproveitando o e-mail, qual programa tipo word se usa pra
escrever caracteres matematicos? eu nao manjo muito de computadores.
=P
On Sun, 13 Feb 2005 17:00:49 -0300 (ART), Alan Pellejero
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Corrigindo: o livro é russo, não alemãodesculpe...
Segue o enunciado!
--- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá amigos!
Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que,
segundo ele, foi retirado de um livro alemão.
O exercicío, segundo ele, é para preparação às
Olimpíadas Russas de Ensino Médio.
Gostaria que me ajudassem, pois não estou
conseguindo
resolver!
Seja a um número pertencente ao conjuntos dos
números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a
seja um número primo.
Pede-se determinar o menor valor de n para que a
expressão:
(a^n + b) / (a^n - b)
seja também um número primo, sabendo-se que b é um
quadrado perfeito.
Um grande abraço!
Alan Pellejero
__
Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo!
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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Re: [obm-l] Idades
Lançando mão do estudo de probabilidades e análises estatísticas, parece-me mais provável que estejam aproveitando a parte boa da vida... --- Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Com a tecnologia de hj, o pai pode estar morto! Esta eh apenas uma das solucoes possiveis (talvez a mais conservadora). Segundo o Kama Sutra (do qual nao achei nehum exemplar na biblioteca do IMPA), existem centenas de solucoes diferentes para a localizacao do pai... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^n^n + d^2)/(p^n^n - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^n^n + d^2 = 2*p^n^n - 2*d^2 == p^n^n = 3*d^2 == p = 3 == d = 3^x As igualdades agora são 3^n^n = 3^(2*x + 1) == n^n = 2*x + 1 == n é ímpar Tomamos n = 3 == x = 13. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k == p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k 2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 == p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
Ai, ai... no e-mail anterior eu fiz (p^n)^n = p^n^n em vez de p^n^2, ou, mais claramente, p^(n^2)... Felizmente isso não muda quase nada, a resolução é quase idêntica, trocando-se um 13 por um 4 e nada mais! Abaixo segue já com a alteração (e mais uma vez, desculpem!): Seja a um número pertencente ao conjuntos dos números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a seja um número primo. Pede-se determinar o menor valor de n para que a expressão: (a^n + b) / (a^n - b) seja também um número primo, sabendo-se que b é um quadrado perfeito. Assumindo n inteiro, n 1 (para que fique razoável a expressão raiz n-ésima e o próprio problema, do contrário a seria primo, e uma solução para n = 1 seria a = 3, b = 1), o que temos é a^(1/n) = p, primo == a = p^n, portanto a é inteiro. Faça b = d^2 e seja k primo. (p^(n^2) + d^2)/(p^(n^2) - d^2) = k Fazendo k = 2, temos p^(n^2) + d^2 = 2*p^(n^2) - 2*d^2 == p^(n^2) = 3*d^2 == p = 3 == d = 3^x As igualdades agora são 3^(n^2) = 3^(2*x + 1) == n^2 = 2*x + 1 == n é ímpar Tomamos n = 3 == x = 4. Assim, o n pretendido é menor ou igual a 3, e, com efeito, ele não pode ser 2. Se n = 2, teríamos (p^4 + d^2)/(p^4 - d^2) = k == p^4*(k - 1) = (k + 1)*d^2 Se k = 2, então teríamos p^4 = 3*d^2 == p = 3 == 3^3 = d^2, absurdo. Assim, k 2, primo == k ímpar == mdc (k + 1, k - 1) = 2. Segue que (k + 1)/2 divide p^4 == (k + 1)/2 = p^x, onde x = 1, 2, 3 ou 4 (não é x = 0 pois teríamos k = 1, absurdo pois k é primo) Ainda, não pode ser x = 1 nem x = 3 pois isso implica que p^3 ou p seria quadrado perfeito ( p^3*(k - 1)/2 = d^2, com p não dividindo (k - 1)/2; analogamente para p em vez de p^3). Então é k + 1 = 2*p^4 ou 2*p^2. Se ocorre o primeiro, então cancelando vem que d^2 = (k - 1)/2, ou seja, k = 2*d^2 + 1 == 2*p^4 + 1 = k = 2*d^2 - 1 == p^4 = d^2 - 1, isto é, d^2 e d^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são inteiros consecutivos. Se por outro lado fosse k = 2*p^2 - 1, então substituindo dá p^4*(2*p^2 - 2) = 2*p^2*d^2 == p^2(p^2 - 1) = d^2 == d = p*z == p^2 - 1 = z^2, isto é, p^2 e p^2 - 1 são quadrados perfeitos, absurdo pois são consecutivos. Logo, n = 2 não pode e o menor n possível é 3. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
