Re:[obm-l] Polinomios
1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. x = 1 == P(1) = 81P(1) == P(1) = 0 == P(x) = (x - 1)Q(x) P(x - 2) = 81P(x/3) Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau: a_nx^n = 81a_n(x/3)^n == n = 4 Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d) P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) == P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d) 81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) == 81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d) Igualando coeficientes, teremos: -6a+b = 3b 12a-4b+c = 9c -8a+4b-2c+d = 27d == b = -3a c = 3a d = -a == P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) == P(x) = a(x - 1)^4 onde a = real qualquer nao-nulo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Operador - Parte Fracionária
Olá a todos!!! Gostaria de saber qual operador é utilizado para representar apenas a parte fracionária de um número real. Ex: operador(2,12342343212) = 0,12342343212. Seria como efetuar o cálculo do número N menos [N], onde [x] é o maior inteiro menor ou igual a x. Grato pela atenção. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] numeros perfeitos
gostaria de saber como provar que todo numero perfeito nunca pode ser quadrado perfeito O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re:[obm-l] Resultado da IMO 2006
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Existem pouquissimos Matematicos que conquistaram medalha de ouro em IMO e tambem ganharam Medalha Fields. No link abaixo ha alguma coisa sobre esse assunto ( nao sei dizer se este link esta atualizado ) : http://www.iisc.ernet.in/mocell/PEOPLE/halloffame.html E claro que o fato de um Matematico nao ter conquistado uma Medalha Fields ( ou nao ter ganho medalha em IMO ! ) nao significa que ele e um Matematico de categoria inferior e, reciprocamente, o fato de ter conquistado uma tal medalha ( ou ter ganho medalha em IMO ) nao significa que e ou sera um Matematico de categoria. Existem inumeros exemplos neste sentido ... Godel nao conquistou Medalha Fields mas qualquer historiador serio havera de coloca-lo como um dos Grandes Matematicos do seculo XX enquanto que o Cavalheiro da Rainha, se algum historiador o citar, se muito sera lembrado como um Matematico mediano e, no entanto, tem Medalha Fields e uma dezena de outras honrarias semelhantes para mostrar. Assim, desconsiderando estatisticas, me parece que o fato de que pouquissimos medalhistas IMO terem tambem conquistado medalha fields nao significa que a pratica olimpica produz poucos bons matematicos. Eu acredito que o bom desempenho olimpico SUGERE que a probabilidade de um futuro auspicioso na pesquisa e maior. A realidade da pesquisa e bem diferente da realidade de um teste, seja ele qual for. Parece que as grandes conquistas sao sobretudo fruto de uma inteligencia tipo ruminante, que trabalha em uma grande questao por um longo tempo, abordando-a sob diversos angulos. Um tal contexto nao e tipico de um teste ... Eu tenho 2 amigos matematicos, relativamente jovens, um medalhista ouro IMO e outro que nunca participou de Olimpiada alguma. Eu acho que o futuro vai olha com respeito e veneracao por estes caras e que eles inevitavelmente irao entrar para a historia como Grandes Matematicos, mas o trabalho deles ainda nao esta em evidencia ou sendo muito discutido ... Um Abraco a todos Paulo Santa Rita 3,1205,250706 From: claudio\.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re:[obm-l] Resultado da IMO 2006 Date: Mon, 24 Jul 2006 14:16:06 -0300 Eu admito que o assunto eh um pouco off-topic mas alguem sabe de algum estudo sobre a correlacao entre: desempenho na IMO (e outras competicoes matematicas) e desempenho como matematico profissional ? Por exemplo, o J.C. Yoccoz - vencedor da medalha Fields - foi tambem medalha de ouro na IMO. Ha outros casos similares? No mais, que percentual dos medalhistas da IMO acaba seguindo carreira em matematica? *** Questao para especulacao: Se a logistica fosse factivel, voces acham que se a prova do IMO durasse 2, 3 dias ou ateh 1 semana ininterrupta (com 6 questoes possivelmente mais dificeis) o resultado seria muito diferente? Eu pergunto porque em varias ocasioes eu soh consegui resolver um dado problema apos uma (ou mais) noites de sono. E acho que tem muita gente boa por ai que tem um raciocinio mais lento ou que simplesmente nao se dah bem sob pressao, com apenas 4 horas e meia pra resolver tres problemas nao-triviais. Alem disso, pesquisa matematica nao se faz contra o cronometro (no maximo, contra o calendario - publish or perish). Nenhum matematico profissional tem 4 horas e meia pra provar um teorema. Pelo menos nao que eu saiba... []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 20 Jul 2006 01:26:51 + Assunto: Re:[obm-l] Resultado da IMO 2006 Ola Pessoal, Aproveitando esta breve passagem, eu tambem dirijo a nossa equipe e a todos os professores que a assessoraram os meus sinceros parabens. Parece-me que um tal feito e mais merecedor de nosso orgulho e de nossa alegria que aqueles semelhantes que de 4 em 4 anos realizamos nas Olimpiadas Fisicas e que tambem nos conferem medalhas, pois as grandes conquistas futuras da humanidade claramente dependerao muito mais da pujanca intelectual que da fisica. E verdade que em mais de um pais de humanismo cambiante os estudantes olimpicos que os representarao sao ADESTRADOS atraves da resolucao de uma quantidade enorme de problemas em jornadas de estudo diarias exaustivas. Isso claramente aumenta a possibilidade de que tais estudantes vejam em um problema proposto similaridades com outros que eles ja resolveram, facilitando assim a solucao. China e Coreia do Sul sao exemplos neste sentido. Seria esse metodo correto ? Eu penso que nao ... Nos precisamos dar treinamento especial aos nossos estudantes olimpicos, como temos feito. E inegavel que resolver uma boa quantidade de problemas, sobretudo problemas originais, essencialmente diferentes entre si e nao elementares e muito importante. Mas, parece-me que quando o prazer e alegria de pensar vao embora, a criatividade vai junto : mais vale um
[obm-l] tre_CE_2005
1 - Uma Repartição Pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados deverá ser (A) 8 (B) 11 (C)) 19 (D) 20 (E) 21 ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Segunda Fase, Nível 1, Parte B da XXVII OBM
Pergunta: eh possivel continuar essa tentativa de solucao, sem sair no braco?Problema: Considere tres numeros inteiros positivos consecutivos de tres algarismos tais que o menor e multiplo de 7, o seguinte e multiplo de 9 e o maior de 11. Escreva todas as sequencias de numeros que satisfazem essas propriedades.Tentativa de resolucaoBem, os primeiros numeros maiores que 100, multiplos de 7, 9 e 11 sao, respectivamente, 105, 108 e 110.Ora, as diferencas (distancia) entre os multiplos de 9 e 7 sao, desde a origem: 3,5,0,2,4,6,1, as quais se repetem nessa mesma ordem recursivamente.Ja para 11 e 7, as diferencas (distancias), tambem desde a origem, sao: 5,2,6,3,0,4,1.Ora colocando as diferencas uma em baixo da outra, temos:5,2,6,3,0,4,1.3,5,0,2,4,6,1.O 1 em baixo do 1, isso ajuda? Mas podem nao estar numa sequencia consecutiva. Como continuar sem sair no braco?Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ===
Re:[obm-l] Polinomios
Ola mestre, nao entendi pq trocou x por x/3 na expressao do polinomio e como q se obteu o grau do polinomio. Grato."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. x = 1 == P(1) = 81P(1) == P(1) = 0 == P(x) = (x - 1)Q(x)P(x - 2) = 81P(x/3)Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:a_nx^n = 81a_n(x/3)^n == n = 4Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) ==P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d)81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) ==81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d)Igualando coeficientes, teremos:-6a+b = 3b12a-4b+c = 9c-8a+4b-2c+d = 27d ==b = -3ac = 3ad = -a ==P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) ==P(x) = a(x - 1)^4onde a = real qualquer nao-nulo.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo. Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima". Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem. Grande abraco, Rogerio Ponce PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3) PI , ja' que raiz(2) 1.414 , raiz(3) 1.732 , e 3.146 3.14159...= PI " ? Obviamente mostrar que 3.146 3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original. diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio. ___ Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Segunda Fase, N�vel 1, Parte B da XXVII OBM
Não sei se essa solução pode ser continuada, mas há uma solução curta: sejam n, n + 1 e n + 2 os números. Considere 2n - 7: ele é múltiplo de 7 (logo antes de 2n), de 9 (logo antes de 2(n+1) = 2n-7 + 9) e de 11 (logo antes de 2(n+2) = 2n-7 + 11). Assim, 2n - 7 é múltiplo de 7*9*11 = 693 (e é ímpar). Como ele está entre 2*100 - 7 = 193 e 2*999 - 7 = 1991 e 3*693 2000 1991, só pode ser 693. Assim, 2n - 7 = 693, ou seja, n = 350 (inclusive, se não me engano, essa é a solução oficial). []'s Shine --- [EMAIL PROTECTED] wrote: - Pergunta: eh possivel continuar essa tentativa de solucao, sem sair no braco? Problema: Considere tres numeros inteiros positivos consecutivos de tres algarismos tais que o menor e multiplo de 7, o seguinte e multiplo de 9 e o maior de 11. Escreva todas as sequencias de numeros que satisfazem essas propriedades. Tentativa de resolucao Bem, os primeiros numeros maiores que 100, multiplos de 7, 9 e 11 sao, respectivamente, 105, 108 e 110. Ora, as diferencas (distancia) entre os multiplos de 9 e 7 sao, desde a origem: 3,5,0,2,4,6,1, as quais se repetem nessa mesma ordem recursivamente. Ja para 11 e 7, as diferencas (distancias), tambem desde a origem, sao: 5,2,6,3,0,4,1. Ora colocando as diferencas uma em baixo da outra, temos: 5,2,6,3,0,4,1. 3,5,0,2,4,6,1. O 1 em baixo do 1, isso ajuda? Mas podem nao estar numa sequencia consecutiva. Como continuar sem sair no braco? Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros perfeitos
Um número perfeito tem soma de seus divisores positivos par; tente provar que tal soma para quadrados perfeitos é ímpar. []'s Shine --- diego andres [EMAIL PROTECTED] wrote: gostaria de saber como provar que todo numero perfeito nunca pode ser quadrado perfeito - O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
Olá, f(x,y,z) = x^2 + 4y^2 + 2z^2 + 4xy queremos calcular seu mínimo, com a seguinte condicao: xyz = 32. pra isso, vms utilizar multiplicadores de lagrange, entao: grad f(x,y,z) = lambda * grad(xyz - 32) (2x + 4y; 8y + 4x; 4z) = lambda * (yz, xz, xy) logo, basta resolvermos o seguinte sistema: 2x + 4y = lambda * yz 8y + 4x = lambda * xz 4z = lambda * xy xyz = 32 observando a terceira equacao, temos: 4z^2 = lambda * xyz = lambda * 32, logo: z^2 = 8 * lambda multiplicando a primeira por 2, temos: 4x + 8y = 2*lambda * yz = lambda * xz ... 2y = x substituindo na primeira, temos: 2*2y + 4y = lambda * yz 8 = lambda * z ... z = 8 / lambda assim: z^2 = 8 * lambda = 64/lambda^2 lambda^3 = 8 ... lambda = 2 z^2 = 8 * 2 = 16 ... z = 4 4xy = 32 ... xy = 8, mas x = 2y.. logo: 2y^2 = 8 ... y^2 = 4... y = 2 4 * 2 * x = 32 ... x = 4 assim, o menor valor de f(x,y,z) se da quando x = 4, y = 2, z = 4... calculando-o, temos: f(4, 2, 4) = 4^2 + 4*2^2 + 2*4^2 + 4*4*2 = 16 + 16 + 32 + 32 = 32 + 64 = 96... acho que é isto.. bate com a resposta? abraços, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, July 24, 2006 3:00 PM Subject: [obm-l] Desigualdade Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta? Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.3/395 - Release Date: 21/7/2006
[obm-l] Equações lineares mod m
Olá, pessoal. Alguém sabe resolver este. Pensei um pouco e não consegui. Vou tentar mais. Acho que é interessante para o pessoal da lista. Suponha que a equação a_1x_1 + ... + a_mx_m = b, com coeficientes a_1, ..., a_m, b inteiros admite soluções x_1, ..., x_m inteiras módulo m para qualquer m inteiro. Mostre que ela assume solução inteira. Duda-- [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
Re: [obm-l] Desigualdade com Pi
é realmente, pelo fato de a ter uma potencia sexta ela converge primeiro por isso é bem melhor...Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Diego, ja' que a inequacao e' sabidamente verdadeira, o interessante deste problema e' arranjar uma demonstracao que possa ser feita 'na mao' . Isto significa que as contas nao devem ultrapassar as 4 operacoes, e que o processo nao deve ser longo. Entretanto, se voce quiser usar a soma dos termos da serie 1/n^2 , mais de mil termos sao necessarios para se chegar `a casa dos milesimos correta. Fora o fato de que voce estara' chegando a PI com uma aproximacao "por baixo" . E no nosso problema, voce precisa chegar com uma aproximacao "por cima". Repare que, na serie que eu sugeri, voce consegue isso com apenas 3 termos. Mas outras series parecidas (de ordem superior) tambem poderiam ser usadas. Mas, como em todas elas, os 3 primeiros termos eram necessarios, preferi usar a de menor ordem. Grande abraco, Rogerio Ponce PS: ontem, um colega me perguntou "afinal, qual a dificuldade em se provar que raiz(2) + raiz(3) PI , ja' que raiz(2) 1.414 , raiz(3) 1.732 , e 3.146 3.14159...= PI " ? Obviamente mostrar que 3.146 3.14159... nao tem nada de mais. A questao aqui e' como calcular PI ( em vez de "olhar o valor de PI" ), com uma precisao suficiente que nos permita fazer a afirmacao original. diego andres [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma outra forma de chegar em pi é que :zeta(2)=pi²/6 *obs:( zeta(2)=1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+...+1/n²+. )então se somar alguns termos chega com uma boa aproximacao que pi=3.1415(agora se somarmos no computador varios termos chegamos a uma boa quantidade de casas)Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Claudio e Bernardo,nao gostei da solucao 'na marra' porque o valor de PIfoi tirado da cartola. Como provar que PI vale3.141592653...?Por outro lado, nao precisava de tanto pra mostrar que1.414 * 1.414 21.732 * 1.732 3De onde sqrt(2) + sqrt(3) 3.146 , que 'deve sermaior que PI' - foi isto que tentei provar quandotambem resolvi 'fazer na marra'...Eu ja' havia tentado sair por 'n*tan(pi/n)' , usando o'arco-metade' sucessivamente, a partir de pi/4 ou depi/6 . Mas, como isso passa a valer somente para n47,a expressao final e' cavalar. E ainda por cima os doistermos principais do numerador sempre sao umadiferenca, embora eu quisesse obter uma soma 'com carade sqrt(2) + sqrt(3)' para ajudar na simplificacao.Tambem tentei usar alguma integral que o resultadofosse uma fracao de pi, ou de tg(pi/n) . Entao,alterando 'conveniente' o integrando, talvez fossepossivel obter sqrt(2)+sqrt(3) , ou alguma coisaintermediaria, para o mesmo intervalo. Mas tambem naoconsegui.Entao apelei para a soma dos termos da serie(-1)^(n-1) * n^(-6) , que, para n de 1 em diante, vale(31/30240)*pi^6Assim, com os 3 primeiros termos, podemos dizer:1/1 - 1/64 + 1/729 (31/30240) * pi^6de onde, pi 3.142 .Ficou muito feia, mas ate' agora nao consegui nadamelhor...[]s,Rogerio Ponce--- "claudio.buffara" escreveu: Bem, eu estava me referindo a uma demonstracao geometrica ou trigonometrica com um minimo de elegancia (com todo o respeito a sua solucao, claro!) ... A aproximacao Pi ~ raiz(2) + raiz(3) eh bastante boa. A diferenca eh de apenas 0.00467..., ou seja, menos de 0,15%. Ao aproximar Pi por excesso por meio do semi-perimetro (ou da area) de um poligono regular (e convexo) circunscrito ao circulo unitario, esta precisao soh eh ultrapassada quando o numero de lados eh = 48. Ou seja, 47*tan(Pi/47) raiz(2) + raiz(3) 48*tan(Pi/48) Pi. Isso talvez signifique que uma demonstracao puramente geometrica nao eh muito trivial. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 15 Jul 2006 17:33:12 +0200 Assunto:Re: [obm-l] Casa de Pombos e Desigualdade com Pi Viva as férias (até que enfim) Bom, o seu PCP ainda nao foi, mas pra \pi (estilo "NA MARRA"): Eleve ao quadrado (todo mundo é positivo): 2 + 2 raiz(6) + 3 Pi^2 = 2 raiz(6) = Pi^2 - 5 E mais uma vez (notar que Pi 3 = Pi^2 9 5): 24 Pi^4 - 10Pi^2 + 25 = 0 Pi^4 - 10 Pi^2 + 1 Agora calcule as raízes de x^4 - 10x^2 + 1 ... x^2 = 5 +/- raiz(25 + 1) = apenas duas raizes, as da raiz positiva do quadrado x^2 = 10 + um pouquinho Agora saiba que Pi = 3.14159265358979... e que raiz(10) = 3.16.. e pronto: as raizes do polinômio sao maiores do que +- Pi, e portanto o valor em Pi é menor do que zero pois o coeficiente de segundo grau é positivo. Uma calculadora dá: sqrt(2) + sqrt(3) - %pi ans = 0.0046717 T+, -- Bernardo Freitas Paulo da CostaOn 7/15/06, claudio.buffara wrote: Esse tah me enchendo o saco: Prove que toda sequencia de 2n-1 inteiros (nao necessariamente distintos) possui uma subsequencia de n inteiros cuja soma eh divisivel por n. *** Ha alguns meses alguem mandou pra lista o problema de se provar que: raiz(2) + raiz(3) Pi. Foi enviada alguma solucao? []s, Claudio.
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pessoal boa noite... tenho alguns exercícios de g.a., vcs poderiam me ajudar? i) achar a reta paralela a 3x-4y+4=0, cuja dist. do pto p (2,-1) é 2 ii) achar a reta perpendicular a 2x-y=0 e tangente a x^2 + y^2=100 iii) obter a reta q intercepta x-2y=0 e x-4y=0 em dois pontos A e B, tais q o ponto médio de AB é M(7,3) ah, o baricentro de um triangulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc), é Xg= (xa+xb+xc)/3 e Yg= (ya+yb+yc)/3. como acho o incentro ], circuncentro e orocentro? obrigadão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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i) Vai na marra, a paralela é 3x - 4y + C = 0, e a distância é (6 + 4 + C)/sqrt(9 + 16) = 2, ou C = 5. ii) A perpendicular é 2x + y + C = 0. Pense o motivo. Ou vc põe a distância do centro (0, 0) à reta igual a 10, ou (mais geral), faz a interseção (sistema) e impõe delta = 0, processo que funciona com outras cônicas para achar tangentes. iii) Seja a reta y = mx + h. Se ela passa pelo ponto (7, 3), temos 3 = 7m + h, e h = 3 - 7m, logo a reta é y = mx + 3 - 7m. Faz a interseção com as duas retas e impõe que o ponto médio seja (7, 3). Espero ter ajudado, abraços, olavo. From: Henrique Ren [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Date: Wed, 26 Jul 2006 01:43:33 + pessoal boa noite... tenho alguns exercícios de g.a., vcs poderiam me ajudar? i) achar a reta paralela a 3x-4y+4=0, cuja dist. do pto p (2,-1) é 2 ii) achar a reta perpendicular a 2x-y=0 e tangente a x^2 + y^2=100 iii) obter a reta q intercepta x-2y=0 e x-4y=0 em dois pontos A e B, tais q o ponto médio de AB é M(7,3) ah, o baricentro de um triangulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc), é Xg= (xa+xb+xc)/3 e Yg= (ya+yb+yc)/3. como acho o incentro ], circuncentro e orocentro? obrigadão. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
