Re: [obm-l] Combinatória
Oi Rogrio, Gostei da elegncia e smplicidade. Pessoalmente segui outra linha de racioccio, por induo: se eu s tenho pontos novos de interseo a partir de n=4 (o que torna N=3), como a sequncia do nmero de pontos novos de interseo agregados pela insero sucessiva dos pontosdados , do 4o at o n-simo. Enfim... Testei numericamente as duas expresses, e do resultados iguais pelo menos at n=100. Mas ainda estou encafifado com uma coisa no seu raciocnio. Eu tenho n pontos (P1 a Pn) que definem C(n,2) retas. Escolhendo uma reta ao acaso, digamos Rij (unindo Pi a Pj), das C(n-2,2) demais retas, n-2 passam por Pi, e n-2 passam por Pj, e no criam intersees distintas dos n pontos dados (porque s interceptam Rij em Pi ou em Pj). Errei eu? Errou voc? Erramos ambos? Ningum errou? [ ]'s J. R. Smolka Ola' Smolka, com "n" pontos, obtemos C(n,2) retas. Como cada reta (definida por 2 pontos) e' interceptada por todas as outras definidas pelos n-2 pontos restantes, entao existem C(n-2,2) intersecoes a serem consideradas sobre cada reta. Mas repare que cada intersecao pertence a 2 retas, de modo que o numero total de intersecoes sera' 1/2 * C(n-2,2) * C(n,2) Ou seja, n(n-1)(n-2)(n-3)/8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatória
Oi Smolka, nenhuma das C(n-2,2) retas passa por Pi ou Pj. Dos n pontos escolhemos Pi e Pj para definir nossa reta Rij, e nao utilizamos nenhum desses pontos nas combinacoes com os outros pontos. Portanto, qualquer das retas formadas pelos n-2 pontos restantes nao passa nem por Pi , e nem por Pj. Ninguem errou ! :-) []'s Rogerio Ponce PS: como o somatorio que voce encontrou envolve um polinomio do terceiro grau, o termo geral para o resultado seria um polinomio do quarto grau, assim como a expressao que eu obtive. Portanto, e' suficiente que elas coincidam em 5 valores para sabermos que sao equivalentes. Abracao! - 2008/5/21 J. R. Smolka [EMAIL PROTECTED]: Oi Rogério, Gostei da elegância e smplicidade. Pessoalmente segui outra linha de raciocício, por indução: se eu só tenho pontos novos de interseção a partir de n=4 (o que torna N=3), como é a sequência do número de pontos novos de interseção agregados pela inserção sucessiva dos pontosdados , do 4o até o n-ésimo. Enfim... Testei numericamente as duas expressões, e dão resultados iguais pelo menos até n=100. Mas ainda estou encafifado com uma coisa no seu raciocínio. Eu tenho n pontos (P1 a Pn) que definem C(n,2) retas. Escolhendo uma reta ao acaso, digamos Rij (unindo Pi a Pj), das C(n-2,2) demais retas, n-2 passam por Pi, e n-2 passam por Pj, e não criam interseções distintas dos n pontos dados (porque só interceptam Rij em Pi ou em Pj). Errei eu? Errou você? Erramos ambos? Ninguém errou? [ ]'s J. R. Smolka Ola' Smolka, com n pontos, obtemos C(n,2) retas. Como cada reta (definida por 2 pontos) e' interceptada por todas as outras definidas pelos n-2 pontos restantes, entao existem C(n-2,2) intersecoes a serem consideradas sobre cada reta. Mas repare que cada intersecao pertence a 2 retas, de modo que o numero total de intersecoes sera' 1/2 * C(n-2,2) * C(n,2) Ou seja, n(n-1)(n-2)(n-3)/8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão da Terceira fa se N2
Realmente muito interessante..gostei... e a questão da Bulgária que eu
postei...vc viu???
Acho que já havia respondido faz um tempo, mas, via
das dúvidas, aí vai de novo. A solução é um pouco
longa; prepare-se!
Queremos mostrar que existe a tal que N = (a^29 -
1)/(a-1) tem pelo menos 2007 fatores primos.
Primeiro note que se a = x^2, temos
N = ((x^2)^29 - 1)/(x^2 - 1)
= [(x^29 + 1)/(x + 1)]*[(x^29 - 1)/(x - 1)].
Veja que (x^29 + 1)/(x + 1) e (x^29 - 1)/(x - 1) são
ambos inteiros (divida os polinômios!). Além disso,
sendo d = mdc(x^29 + 1, x^29 - 1), temos que x^29 + 1
e x^29 - 1 são ambos múltiplos de d, o que implica em
(x^29 + 1) - (x^29 - 1) = 2 ser múltiplo de d. Logo d
= 1 ou d = 2. Se escolhermos x par, teremos d = 1.
Assim, escolhendo x par, x^29 + 1 e x^29 - 1 têm mdc
igual a 1, ou seja, são primos entre si. Em outras
palavras, x^29 + 1 e x^29 - 1 não têm fatores primos
comuns. Deste modo, (x^29 + 1)/(x + 1) e (x^29 - 1)/(x
- 1) não podem ter fatores primos comuns (afinal, só
dividimos dois caras sem fatores comuns por outros
números; não é assim que vão aparecer fatores comuns,
certo?).
Isso é legal pois faz aparecer fatores primos
diferentes: N = [(x^29 + 1)/(x + 1)][(x^29 - 1)/(x -
1)] já tem pelo menos dois fatores primos distintos:
um de (x^29 + 1)/(x + 1) e outro de (x^29 - 1)/(x - 1)
(lembre-se, eles não têm fatores comuns, então não
podem aparecer primos repetidos).
Tudo bem, ainda estamos longe de obter 2007 fatores
primos distintos, mas basta repetir a idéia! Lembrando
a fatoração de livro texto
x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)
e, estendendo um pouco,
x^8 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1),
nota-se que
x^{2^2007} - 1
= (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)...(x^{2^2006} + 1)
Façamos, então, a = x^{2^2007}. Obtemos
N = [(x^{2^2007})^29 - 1]/[x^{2^2007} - 1]
O numerador é igual a
(x^29-1)(x^29+1)(x^(2*29)+1)...(x^{2^2006*29}+1)
De maneira completamente análoga à que fizemos acima,
provamos que quaisquer dois dos fatores acima são
primos entre si: basta notar que x^{2^k} + 1 e x^{2^k}
- 1 são primos entre si e desfazer a fatoração. Fica
mais fácil ver para x^{8*29} - 1, por exemplo:
x^{8*29} - 1 = (x^{4*29} - 1)(x^{4*29} + 1)
x^{4*29} + 1 e x^{4*29} - 1 são primos entre si;
portanto x^{4*29} + 1 é primo com todos os fatores de
x^{4*29} - 1.
x^{4*29} - 1 = (x^{2*29} - 1)(x^{2*29} + 1)
x^{2*29} + 1 e x^{2*29} - 1 são primos entre si e com
x^{4*29} + 1, etc.
O denominador já calculamos lá em cima.
Então (vou escrever na forma de fração mesmo):
(x^29-1)(x^29+1)(x^(2*29)+1)...(x^{2^2006*29}+1)
N = ,
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)...(x^{2^2006} + 1)
que é igual ao produto dos 2007 inteiros da forma
(y^29-1)/(y-1) ou (y^29+1)/(y+1)
(x^29 - 1)/(x - 1),
(x^29 + 1)/(x + 1),
(x^{2*29} + 1)/(x^2 + 1),
...
(x^{2^2006*29} + 1)/(x^{2^2006} + 1),
todos primos dois a dois.
Cada um vai prover um primo diferente e, tomando x
par, obtemos (infinitos) N da forma (a^29 - 1)/(a - 1)
com pelo menos 2007 fatores primos distintos.
Eu sei que a solução acima é um pouco longa, mas é por
isso que as provas da OBM têm 4 horas e meia, certo?
Além disso, a matéria usada é elementar, mesmo para
quem está no final do EF: fatoração, muito pouco de
polinômios, divisibilidade e mdc.
[]'s
Shine
--- vitoriogauss wrote:
afinal..como ficou a solução da questão:
(a^29 - 1)/a-1 , existem 2007 fatores primos
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Vitório Gauss
[obm-l] DESAFIO 2
Consórcio. Suponha que existe um grupo de consórcio formado para a aquisição de um veículo zero quilômetro. Neste grupo, de duração de 60 meses, existem 300 participantes. A cada mês são contempladas 5 quotas de modo que ao final dos 60 meses, todos os 300 participantes são contemplados. Considerando que cada quota tem a mesma chance de ser sorteada, a chance de você ser sorteado no primeiro ano é igual a do segundo ano e, portanto, também igual aos dos demais anos, ou seja, 20%. Entretanto, sabe-se que ao dar um lance, a chance de ser sorteado contemplado é 5 vezes maior do que a contemplação por sorteio (por que apenas uma parcela das pessoas dão lances). Calcule a chance de você ser sorteado no primeiro ano, caso dê lances em todos as assembléias. Calcule também a esperança do valor do mês em que se espera ser sorteado dando lances todos os meses (sabe-se que sem lances a expectativa ou esperança é de 30 meses). Fernando
Re: [obm-l] Trigonometria
Como ele chegou a essa conclusão não sei direito, mas funciona depois pra chegar na outra equação é só substituir 81sen^10 (x) + cos^10 (x) = 81/256 [ 81 (1-3z)^5 + 243(1+z)^5 ] / 1024 = 81/256 (1-3z)^5 + 3 (1+z)^5 = 4 -- note que é (1-3z)^5, e não (1-z) como vc tinha escrito... abrindo as expressões (1-3z)^5 e (1+z)^5 e passando o 4 pro primeiro termo obtemos a expressão que vc escreveu (vezes 60...) 2001/11/1 Pedro [EMAIL PROTECTED]: Amigos ajude-me a entender essa solução. Determine todos x no intervalo [0,2p] da seguinte equação 81sen^10(x) + cox^10(x) = 81/256 Eu vi no forum a seguinte solução: se sen^2 (x) = ( 1 - 3z)/4 com ( -1= z = 1/3). Primeira dúvida como ele chegou a essa comclusão? cotinuando. Usando a relação fundamental ele encontrou cos^2(x) = 3.(1+z)/4 aí tudo bem. Ele fez o seguinte : (1 - z )^5 +3(1+z)^5 =4 como arrumo essa equação? z^2(2 - 4z +7z^2- 4z^3) = 0 1. z =0 implica x =+/- (p/6) +kp , onde p =pi e óbvio que nao há outra solução no inetrvalo -- Rafael
[obm-l] Física
Olá pessoal!!! Tudo bem??? Alguém conhece um grupo de discussão de Física que tenha a mesma qualidade deste, de Matemática? Abraço para todos e obrigado!!! Luiz. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
