Re: [obm-l] geometria plana
Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão.
RES: [obm-l] geometria plana
Obrigado pela brilhante solução, Tarso. Tanto é que pela construção mesmo é possível provar a identidade somando os segmentos. Mas, será que você ou alguém não conhece uma forma que eu não precise de materiais de desenho geométrico para resolver a questão? Por exemplo usando semelhança de triângulos, paralelismo e os recursos tradicionais que usamos para resolver um problema em sala de aula. Vou colar o problema novamente: Na figura, temos que BD=BC e AE=AC. Prove que DE=EF+DG. imagem.GIF Grato! João Gabriel Preturlan A Palavra de Deus até os confins da Terra! Acesse: http://www.assembleia.org.br/ http://www.assembleia.org.br/ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Tarso de Moura Leitão Enviada em: segunda-feira, 15 de dezembro de 2008 08:27 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] geometria plana Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão. No virus found in this incoming message. Checked by AVG - http://www.avg.com Version: 8.0.176 / Virus Database: 270.9.18/1848 - Release Date: 14/12/2008 12:28 image001.gif
Re: [obm-l] Então to doido...
Vou contar do jeito do Ponce, supondo que ABCD=BCDA por rotação. Para mim ficou fácil quando eu desisti de tentar sair em uma linha contando tudo dum jeito só. Isto é, dividindo em casos distintos, fica mais fácil. Vamos lá: CASOS: podemos escolher n=2, 3 ou 4 cores distintas para pintar o círculo. (Já que com uma cor só não dá) n=2: C(x,2)=x(x-1)/2 escolhas de cor. Escolhidas A e B, há apenas um jeito: ABAB=BABA (já que AABB não vale). n=3: C(x,3) escolhas de cor. Escolha a cor que vai repetir, digamos, A -- há 3 opções para tanto. Agora está definido: tem que ser ABAC=ACAB (pois AABC não vale). n=4: C(x,4) escolhas de cor. Ponha a cor A em algum lugar para ancorar um setor, e há 3! maneiras de permutar as outras. Literalmente: ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB. Total: T=C(x,2)+3C(x,3)+6C(x,4)=x(x-1)(x^2-3x+4)/4 Testemos alguns valores para ver se parece ok: x=0,1 dá T=0; x=2 dá T=1 (ABAB); x=3 dá T=6 (ABAB, ACAC, BCBC, ABAC, BABC, CACB); x=4 dá T=24 (C(4,2)=6 com 2 cores, C(4,3).3=12 com 3 cores e aquelas 6 com 4 cores) Mais ainda, T(x) é o único polinômio de grau 4 que passa por esses 5 pontos, então deve estar certo. :) Abraço, Ralph P.S.: Se a gente supuser que os setores são distintos (sei lá, numerados ou algo assim), o mesmo método dá: 2C(x,2)+4.3.C(x,3)+4!.C(x,4)=x(x-1)(x^2-3x+3) P.S.2: E se o disco for de acrílico transparente, de maneira que não dá para distinguir seus dois lados (ou se ambos os lados serão pintados com as mesmas cores), a resposta muda, pois então teríamos ABCD=ADCB se você **virar** o disco! Aí ficaria: T=C(x,2)+3C(x,3)+3C(x,4)=... 2008/12/12 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com Ola' Ruy e colegas da lista, parece-me que todas as respostas ate' o momento estao incorretas... Analisando o problema para 2 cores (A e B por exemplo), vemos que existe apenas a sequencia ABAB para a pintura do circulo. A outra possibilidade BABA e', na verdade, a mesma pintura anterior apos girarmos o circulo de 90 graus. Observe que, como e' dito que os setores sao iguais, fica muito claro que este circulo nao tem qualquer referencia espacial. Em outras palavras, uma sequencia nao deve ser obtida a partir de outra, atraves da rotacao do circulo. Assim, para x=2, a resposta tem que ser 1. []'s Rogerio Ponce. OBS: um outro enunciado possivel seria Imagine um circulo dividido em 4 setores diferentes entre si 2008/12/4 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br: Não concordo com o gabarito desse problema. Imagine um circulo dividido em quatro partes iguais. Existem x cores diferentes para pintar os quatro setores . De quantos modos diferentes esses setores pode ser pintados sendo que setores com uma linha de fronteira não podem ser da mesma côr. Renomado cursinho de SP dá como gabarito x(x-1). Antecipo os agradecimentos para quem analisar... Abraços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria plana
Tarso, não entendi a que movimento você se refere. Minha solução é a standard: DE = AB - AD - EB = AB - (AB - BC) - (AB - AC) = AC + BC - AB Da semelhança de AGD e ABC: AD/AB = (AB - BC)/AB = GD/BC = 1 - BC/AB GD = BC - BC²/AB Analogamente, EF = AC - AC²/AB Somando: GD + EF = AC + AB - (AC² + BC²)/AB = AC + BC - AB = DE Com uma boa figura dá para conjecturar que, se H é o pé da altura relativa à hipotenusa de ABC, então DG = DH e EF = EH. Creio que uma solução melhor pode ser obtida a partir da prova dessa conjectura. 2008/12/15 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão.
RE: [obm-l] Somatório
Sauda,c~oes, Oi Bruno, De onde você tirou este problema? A resposta (enviada pelo professor Rousseau) é n(2n-1)/3. A resolução é complicada, trabalhosa e usa o teorema dos resíduos. Tenho somente o .pdf e posso mandá-lo pra quem pedir. []'s Luís From: brconter...@hotmail.comto: ob...@mat.puc-rio.brsubject: [obm-l] SomatórioDate: Fri, 28 Nov 2008 20:28:52 -0200 Bom galera...gostaria de saber como se calcula o somatório S = sum[ k=1 - n ] cot^2 ( (K*pi) / (2n + 1) )Tentei colocar a soma em função de cossec^2 ( (K*pi) / (2n + 1) ), usando a relaçãocossec^2 (x) = 1 + cot^2 (x), e depois transformar o somatório utilizando a expressãod ( cot ( (K*pi) / (2n + 1) ) ) / dk = - (cossec ( (K*pi) / (2n + 1) ) )*( pi / (2n + 1) )+ num cheguei a lugar algumdesde ja agradeço...abraços! Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
[obm-l] Re: [obm-l] Retificando questão enviada
Considere a expressão E = ((a)^1/3 + (b)^1/3 + (c)^1/3)^3, verifique que para a = 4, b = -2 e c = 1 temos que E = 9*( (2)^1/3 - 1 )^1/3, logo os valores de a, b e c são respectivamente 4/9, -2/9 e 1/9, de onde vemos que a + b+ c = 1/3 --- Em dom, 14/12/08, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: De: Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Retificando questão enviada Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 14 de Dezembro de 2008, 9:43 Se ( (2)^1/3 - 1 )^1/3 é escrito sob a forma de (a)^1/3 + (b)^1/3 + (c)^1/3 onde a, b e c são números racionais, o valor da soma a + b + c é igual a : a) 1/9 b) 2/9 c) 1/3 d) 1 e) 2 Obrigado e desulpe-me pelo erro. -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
RE: [obm-l] geometria plana
Os triângulos AEC e DBC são isósceles. Ângulo BCD = BDC = x , ACE = AEC = y. Seja DC = m , CE = n. Da figura, GD = m.cosx e EF = n.cos y. Logo GD + EF = m.cosx + n.cosy. Lei dos Senos em DEC: DE/sin(x+y) = DC/siny = EC/sinx = 2R. Logo m = 2R.siny e n = 2R.sinx e DE = 2R.sin(x+y) GD + EF = 2R(siny.cosx + sinx.cosy) = 2R.sin(x+y) = DE , como queríamos demonstrar. Date: Mon, 15 Dec 2008 14:58:09 -0200 From: ommene...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] geometria plana Tarso, não entendi a que movimento você se refere. Minha solução é a standard: DE = AB - AD - EB = AB - (AB - BC) - (AB - AC) = AC + BC - AB Da semelhança de AGD e ABC: AD/AB = (AB - BC)/AB = GD/BC = 1 - BC/AB GD = BC - BC²/AB Analogamente, EF = AC - AC²/AB Somando: GD + EF = AC + AB - (AC² + BC²)/AB = AC + BC - AB = DE Com uma boa figura dá para conjecturar que, se H é o pé da altura relativa à hipotenusa de ABC, então DG = DH e EF = EH. Creio que uma solução melhor pode ser obtida a partir da prova dessa conjectura. 2008/12/15 Tarso de Moura Leitão barz...@dglnet.com.br Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica: Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a hipotenusa em E. Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em D. É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os movimentos dos pontos de tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ). Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r. Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG + EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC, que é igual a (a+b+c)xr. Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado desejado. Espero ter ajudado. Tarso de Moura Leitão. _ Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas e muito mais no MSN Video! http://video.msn.com/?mkt=pt-br
Re: [obm-l] geometria plana
Olá Otávio e João Gabriel, vou descrever a propriedade do triângulo retângulo que usei. Pois bem seja ABC triângulo retângulo ( conforme o desenho do João Gabriel ). Conside re agora seu incírculo ( é o círculo inscrito ) com seus respectivos pontos de tangência sobre os catetos e sobre a hipotenusa. Com centro sobre cada extremidade da hipotenusa rode cada um dos catetos até fazê-los coincidir sobre a hipotenusa, pois bem há um segmento que é a sobreposição dos catetos sobre a hipotenusa, esse segmento tem por medida 2r ( diâmetro do incírculo ). O que afirmo é: se acompanho a rotação dos catetos olhando para os pontos de tangência do incírculo sobre eles vejo imediatamente que coincidirão sobre a hipotenusa exatamente sobre o ponto de tangência do incírculo sobre a hipotenusa. Todo o resto são cálculos simples. Espero ter ajudado. Um abraço. Tarso de Moura Leitão
[obm-l] probabilidade
Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar? Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno? Obrigado --- Em sex, 31/10/08, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58 Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser que: i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p; ii) As partidas sao independentes entre si; Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao apresento duas respostas): Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2 Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6 Em particular, se p=50%, entao: Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375% Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375% Abraco, Ralph 2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br Caros amigos da lista, tenho uma questao simples de probabilidade que resultou numa discussao na resolução da mesma numa aula de reforço que eu estava estagiando la vai...mas não vale rirrsrs(brincadeira): 1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a probabilidade do time A vencer 4 dessas partidas? Gostaria de saber como vocês interpretam essa questão. Muito obrigado pela atenção desde já. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] probabilidade
Dependerá da quantidade de alunos da turma 2008/12/15 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Ontem, recebi uma questão que ainda não resolvi, será que alguém pode me ajudar? Lá vai: Um aluno entrevistou sua turma para saber a intenção de votos numa pesquisa para representante dela e notou que houve um empate técnico, metade da turma votaria no candidato A, enquanto que a outra metade votaria no candidato B. Bem, um instituto de pesquisa escolheu aleatoriamente 4 alunos dessa turma, qual será a probabilidade desse instituto chegar à mesma conclusão que o aluno? Obrigado --- Em *sex, 31/10/08, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com* escreveu: De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] exercicio simples de probabilidade Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 31 de Outubro de 2008, 23:58 Para mim, estao faltando dados... Agora, se voce me disser que: i) Em cada partida, a chance de A vencer eh p; ii) As partidas sao independentes entre si; Entao (ainda nao estah claro qual eh a pergunta, entao apresento duas respostas): Pr(A vencer exatamente 4 partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2 Pr(A vencer 4 ou mais partidas) = C(6,4).p^4.(1-p)^2+C(6,5).p^5.(1-p)+p^6 Em particular, se p=50%, entao: Pr(A vencer exatamente 4) = 15/64 = 23.4375% Pr(A vencer pelo menos 4) = 11/32 = 34.375% Abraco, Ralph 2008/10/31 Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br Caros amigos da lista, tenho uma questao simples de probabilidade que resultou numa discussao na resolução da mesma numa aula de reforço que eu estava estagiando la vai...mas não vale rirrsrs(brincadeira): 1) Dois times A e B jogam 6 partidas entre si. Qual a probabilidade do time A vencer 4 dessas partidas? Gostaria de saber como vocês interpretam essa questão. Muito obrigado pela atenção desde já. -- Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novohttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/addressescom a sua cara @ ymail.com ou @rocketmail.com. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
