Re: [obm-l] produtos notaveis
O que --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] produtos notaveis
O que significa ^-? Abs Felipe --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] problema interessante!!!
A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha. 1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the segments AB, AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Res: [obm-l] problema interessante!!!
Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] produtos notaveis
Oi Felipe ! O ^ significa potência, em geral. Antigamente, se usava nos computadores a flecha pra cima para significar potência (na verdade, superscripts), o que ainda pode se ver no TeXbook. Neste caso, temos um (ab)uso (pouco) comum de indicar um expoente negativo sem os parênteses, o que leva à formuleta um pouco misteriosa... mas bem clara se você adivinhar daonde vêm o 1+sqrt(5) / 2 (leia os mails do PSR !!) Para quem quiser pensar na soluçao, uma idéia é calcular X^2 + X^(-2) e continuar a partir dai. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/30 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br: O que significa ^-? Abs Felipe --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] demonstrações
Olá amigos!
Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas em
demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita dificuldade em
entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu parar quase
5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro.
Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu ja
compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais de uns
anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de demonstração pois
para mim é o que tem de mais lindo na matematica.
Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de muito
esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos que ja
li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações de forma
imediata.
Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho do
livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N : 1 p
n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça.
O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo
conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente?
Obrigado
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Limite
2009/4/28 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br Sim. lim (3^x - 1) / x = lim (e^(xln3) - 1) / x x-0 x-0 Fazendo: y = xln3 ln3 * lim (e^y - 1) / y y-0 Como lim (e^y - 1) / y = 1, logo: y-0 Esse limite acima seria um limite fundamental? Daria pra ser demonstrado? lim (3^x - 1) / x = ln3 x-0 [ ]´s Angelo --- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Limite Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45 Existe uma forma algébrica de calcular o seguinte limite? lim (x - 0) (3^x - 1)/x -- Henrique Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Re: [obm-l] demonstrações
Ola Johnson e demais colegas
desta lista ... )BM-L,
Em primeiro lugar, parabens pela sua escolha ! O livro ao qual voce se
refere, EM MINHA OPINIAO, e a melhor introducao a Analise produzida
por um brasileiro ... Prossiga nele. E no caso de alguma duvida,
publique-a aqui, pois nesta lista ha muitas pessoas que apreciam a
Analise Matematica.
Em segundo lugar, uma dificuldade inicial e absolutamente normal e um
caminho valido, mesmo louvavel, e justamente o pelo qual parece que
voce encetou, vale dizer, ler e reler tantas vezes quantas forem
necessarias ao um entendimento pleno. Tenha certeza que preguicoso nao
aprende matematica avancada ... e com o passar do tempo, voce
prosseguindo num estudo sistematico, tudo vai ficando mais familiar e
mais facil.
Mas e muito importante que apos uma leitura voce seja capaz de
responder a pergunta : exatamente e com precisao, o que eu nao estou
entendendo ? Nao adiantA ler, nao entender e nao ser capaz de
identificar QUE PARTE DA DEMONSTRACAO NAO ENTENDEU. Por exemplo, eu
quase apostaria que a dificuldade que voce sente na demonstracao
mencionada e que voce ainda nao percebeu que os conceitos de funcao
injetiva, bijetiva e inversa SAO ANTERIORES a definicao de numero
natural.
Rigorosamente falando, nao existe tecnicas de demonstracao. A
demonstracao e a maneira como nos provamos, de forma irrefutavel,
aquilo que vemos, independente dos meios pelos quais chegamos a ver
aquilo que desejamos demonstrar. O que existe e um tipico modo de
pensar relativo a uma area do conhecimento. Por exemplo : um Analista
costuma usar, muito, a ideia de LIMITE, pois a maioria dos conceitos
com que ele rotineiramente trabalha ( diferenciabilidade,
integrabilidade, etc ) foram, originalmente, definidas usando este
conceito; um algebrista, por outro lado, vai procurar caracterizar as
coisa pela ideia de GRUPO, um conceito que na Algebra desempenha papel
equivalente ao de LIMITE em Analise. E assim sucessivamente.
EU ACREDITO que e altamente saudavel a pessoa estudar ao menos dois
ramos relativamente distantes, pois a grandes ideias costumam
surgir, justamente, da convergencia de mais de um ramo. No seu caso,
por exemplo, tente se concentrar em Algebra e Analise.
Em sintese, o que voce deve fazer e justamente o que esta fazendo e
propor aqui as demonstracoes que nao entendeu MENCIONANDO
EXPLICITAMENTE o ponto onde esta a sua duvida.
Um abraco
PSR,53004091230
2009/4/30 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br:
Olá amigos!
Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas em
demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita dificuldade
em entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu parar
quase 5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro.
Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu ja
compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais de
uns anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de demonstração
pois para mim é o que tem de mais lindo na matematica.
Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de muito
esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos que
ja li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações de
forma imediata.
Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho do
livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N : 1
p n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça.
O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo
conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente?
Obrigado
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -
Celebridades - Música - Esportes
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstrações
Bem, basicamente demonstrar resultados depende de:
1- Talento
2- Prática
3- Conhecimento de ferramentas diferentes.
O primeiro item não há nada o que você possa fazer. O talento vem do berço e
você estará limitado ao que foi designado pra vc.
Quanto ao segundo basta você estudar matemática (ou até física) sempre lendo
as demonstrações e tentando reproduzir/criar as demonstrações. Talvez se
está muito dificil entender análise vc pode tentar ler outros livros pra
começar a pegar a manha. Acredito que um livro de Teoria dos Números seria
interessante (procura o livro do Plínio de Oliveira, custa uns 30 reais).
O item 3 quer dizer que não adianta o quão inteligente vocÊ seja, se vc não
domina certas ferramentas vc nunca será capaz de provar determinados
resultados. É mais ou menos como estudar equações diferenciais parciais sem
saber nem derivar. É preciso primeiro ser introduzido a esse conceito e
outros, pra depois ser capaz de chegar aos resultados mais complexos.
Ajuda também você dar uma lida sobre principio da indução, contrapositiva,
prova direta, prova por absurdo... O método da indução por exemplo se você
dominar muito bem facilita muito.
2009/4/30 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com
Ola Johnson e demais colegas
desta lista ... )BM-L,
Em primeiro lugar, parabens pela sua escolha ! O livro ao qual voce se
refere, EM MINHA OPINIAO, e a melhor introducao a Analise produzida
por um brasileiro ... Prossiga nele. E no caso de alguma duvida,
publique-a aqui, pois nesta lista ha muitas pessoas que apreciam a
Analise Matematica.
Em segundo lugar, uma dificuldade inicial e absolutamente normal e um
caminho valido, mesmo louvavel, e justamente o pelo qual parece que
voce encetou, vale dizer, ler e reler tantas vezes quantas forem
necessarias ao um entendimento pleno. Tenha certeza que preguicoso nao
aprende matematica avancada ... e com o passar do tempo, voce
prosseguindo num estudo sistematico, tudo vai ficando mais familiar e
mais facil.
Mas e muito importante que apos uma leitura voce seja capaz de
responder a pergunta : exatamente e com precisao, o que eu nao estou
entendendo ? Nao adiantA ler, nao entender e nao ser capaz de
identificar QUE PARTE DA DEMONSTRACAO NAO ENTENDEU. Por exemplo, eu
quase apostaria que a dificuldade que voce sente na demonstracao
mencionada e que voce ainda nao percebeu que os conceitos de funcao
injetiva, bijetiva e inversa SAO ANTERIORES a definicao de numero
natural.
Rigorosamente falando, nao existe tecnicas de demonstracao. A
demonstracao e a maneira como nos provamos, de forma irrefutavel,
aquilo que vemos, independente dos meios pelos quais chegamos a ver
aquilo que desejamos demonstrar. O que existe e um tipico modo de
pensar relativo a uma area do conhecimento. Por exemplo : um Analista
costuma usar, muito, a ideia de LIMITE, pois a maioria dos conceitos
com que ele rotineiramente trabalha ( diferenciabilidade,
integrabilidade, etc ) foram, originalmente, definidas usando este
conceito; um algebrista, por outro lado, vai procurar caracterizar as
coisa pela ideia de GRUPO, um conceito que na Algebra desempenha papel
equivalente ao de LIMITE em Analise. E assim sucessivamente.
EU ACREDITO que e altamente saudavel a pessoa estudar ao menos dois
ramos relativamente distantes, pois a grandes ideias costumam
surgir, justamente, da convergencia de mais de um ramo. No seu caso,
por exemplo, tente se concentrar em Algebra e Analise.
Em sintese, o que voce deve fazer e justamente o que esta fazendo e
propor aqui as demonstracoes que nao entendeu MENCIONANDO
EXPLICITAMENTE o ponto onde esta a sua duvida.
Um abraco
PSR,53004091230
2009/4/30 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br:
Olá amigos!
Eu venho aqui na humildade pedir dicas de como melhorar minhas tecnicas
em
demonstrações. Sendo sincero com voces, tenho muita mais muita
dificuldade
em entender as demonstrações dos livros e se em cada demonstração eu
parar
quase 5,6 ou ate 15 dias para entender eu não termino o livro.
Eu estou lendo o livro do Elon Lages um curso de analise. O fato é que eu
ja
compreendo tudo de forma intuitiva e sei fazer todos os exercicios mais
de
uns anos para ca eu estou interessado em adquirir tecnicas de
demonstração
pois para mim é o que tem de mais lindo na matematica.
Ja conseguir entender como funciona o metodo axiomatico as custas de
muito
esforço já li livros de logica e tenho um livro da teoria dos conjuntos
que
ja li e é show mais, o fato é que não consigo entender as demonstrações
de
forma imediata.
Eu agora estou tentando enteder a demonstração de um teorema no comecinho
do
livro 1 que fala sobre uma bijeção b: A - I tal que I = {p pertence N :
1
p n} sendo A contido em I então A = I. E vou dizer as voces ta roça.
O que devo fazer para realmente ficar bom nisso e não perder tanto tempo
conseguindo vizualizar a demonstração quase que imediatamente?
Obrigado
[obm-l] historia da matematica - historia do calculo de area
meus amigos de lista, tenho um trabalho para fazer sobre a histtoria do calculo de areas de figuras planas e algumas curvilineas e estou com muita dificuldade de emcontrar material se alguem souber algo e possa me enviar, agradeço desde já. Otoni
Re: [obm-l] Limite
lim (e^y - 1) / y = 1 y-0 Fazendo e^y - 1 = u = y = ln(u + 1) Assim: (e^y - 1) / y = u / ln(u + 1) = 1 / ( ln[(u+1)^(1/u)] ) Logo: lim (e^y - 1) / y = lim 1 / ( ln[(u+1)^(1/u)] ) = 1 / ln(e) = 1 y-0 u - 0 [ ]´s Angelo --- Em qui, 30/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Limite Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:35 2009/4/28 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br Sim. lim (3^x - 1) / x = lim (e^(xln3) - 1) / x x-0 x-0 Fazendo: y = xln3 ln3 * lim (e^y - 1) / y y-0 Como lim (e^y - 1) / y = 1, logo: y-0 Esse limite acima seria um limite fundamental? Daria pra ser demonstrado? lim (3^x - 1) / x = ln3 x-0 [ ]´s Angelo --- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Limite Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45 Existe uma forma algébrica de calcular o seguinte limite? lim (x - 0) (3^x - 1)/x -- Henrique Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Analitica
Dadas duas retas concorrentes a e b e dado um ponto M fora do plano determinado por a e b, consideremos os pontos E e F, simetricos de M em relacao as retas a e b. O que podemos afirmar a respeito da reta que une os pontos E e F?
