Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
= (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
= (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, basta você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
Sauda,c~oes,
Aqui CD_c = d_c é o comprimento da bissetriz interna de C.
Há muitas maneiras de se construir um triângulo com
estes dados.
Folheando um livro do Virgilio encontrei uma outra.
Bem, quase.
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
Até aqui é a sugestão do Virgilio.
Agora o problema aparece: construir uma reta p
passando por D_c tal que se p intersecta phi_1
e phi_2 em A e B, respectivamente, então
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
Como fazer?
[]'s
Luís
_
Sergio Lima Netto
PEE-COPPE/DEL-Poli/UFRJ
POBox 68504, Rio de Janeiro, RJ
21941-972, BRAZIL
(+55 21) 2562-8164
--
This message has been scanned for viruses and
dangerous content by MailScanner, and is
believed to be clean.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!
Ola Jorge e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Dados n pontos no plano (n=3), o número de distâncias distintas entre eles
é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema Difícil!)
1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N -
(3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2),
pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quando
N=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquer
configuracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos a
duas distancias distintas.
2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),
tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que tal
expressao fornece numeros irracionais para diversos N's, como
entender, por exemplo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano darao
origem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ?
Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),
vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -
(1/2) ?
3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -
(1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4)
]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano darao
origem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regular
convexo, por exemplo).
Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menor
inteiro maior ou igual a X ?
Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue :
PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidas
por N pontos distintos de um plano.
?
Um Abracao
PSR, 40306090D02
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
Essa sua solução (confesso que não me detive nela)
não segue o espírito das construções geométricas.
Pode no máximo mostrar que o problema possui uma
solução geométrica.
Conheço muitas construções elegantes com estes dados.
Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.
Repito o início da construção:
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a).
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela.
Até aqui é a sugestão do Virgilio.
Agora o problema aparece: construir uma reta p
passando por D_c tal que se p intersecta phi_1
e phi_2 em A e B, respectivamente, então
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes).
Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:
1) pertence a phi_2;
2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c
e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence
ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.
Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado
sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.
Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
p pedida.
[]'s
Luís
From: sergi...@lps.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200
Caro Luís,
Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
Eu resolvi assim:
Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
para determinarmos a reta suporte do lado AB
passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
mesma letra C para denotar duas coisas distintas
(o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
deixa claro do que estamos falando.
Pela lei dos senos no triângulo ABC:
(1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
(2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
(3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
(4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
= (transformação em produto)
(5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
(6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
=
(7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
(8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
= (relação trigonométrica fundamental)
(9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
=
(10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
Ou seja, basta você construir no braço a expressão acima para determinar
o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
pouco mais simples.
Abraço,
sergio
_
Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis!
http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] Re: geometria CN
OPS! O enunciado da questão é o seguinte: O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC? 2009/6/3 Thelio Gama teliog...@gmail.com Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio
[obm-l] geometria CN
Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio attachment: CN.GIF
[obm-l] questão antiga do IME
Um quadrilátero inscritível e circunscritível tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero. Obrigado. sqrt5 = raiz quadrada de 5
Re: [obm-l] Re: geometria CN
Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas: x = AD, y = DC S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y) 1/2 = x/(3x+3y) x = 3y Logo, AD/DC = 3 = AD/AC = 3/4
[obm-l] Re: [obm-l] GEOMETRIA COMBINATÓRIA!
Em 03/06/2009 13:03, Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com escreveu:
Ola Jorge e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Dados n pontos no plano (n=3), o número de distâncias distintas entre eles é, pelo menos (n-3/4)^1/2-1/2 . (Problema DifÃcil!)1) No excerto de mensagem acima voce deve estar se referindo a { [ N -(3/4) ]^(1/2) } - (1/2) e nao a { [ (N - 3 ) /4) ]^(1/2) } - (1/2),pois esta ultima expressao fornece ZERO distancias distintas quandoN=4, o que esta obviamente errado, visto que e facil ver que qualquerconfiguracao de 4 pontos distintos num plano darao origem ao menos aduas distancias distintas.2) Mesmo se a expressao correta for { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),tambem aqui ocorrem problemas, pois, sendo obvio ululante que talexpressao fornece numeros irracionais para diversos N's, comoentender, por exem
plo, que 5 pontos ( N=5 ) distintos no plano daraoorigem ao menos a ( sqrt(17) - 1) / 2 distancias distintas ?Voce esta se referindo ao piso de { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2),vale dizer, ao maior inteiro que ultrapassa { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ?3) Mesmo se a expressao correta for PISO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } -(1/2) ) ha problemas, pois para N=5 teremos PISO( { [ 5 - (3/4)]^(1/2) } - (1/2) ) = 1. Ora, 5 pontos distintos no plano daraoorigem ao menos a 2 distancias distintas ( um pentagono regularconvexo, por exemplo).Sera TETO( { [ N - (3/4) ]^(1/2) } - (1/2) ), onde TETO(X) e o menorinteiro maior ou igual a X ?Enfim, qual a expressao correta ? O problema pode ser formulado como segue :PROBLEMA : Determine o numero minimo de distancias distintas exibidaspor N pontos distintos de um plano.?Um AbracaoPSR, 40306090D02
=Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: geometria CN
Em 03/06/2009 21:34, Thelio Gama teliog...@gmail.com escreveu: OPS! O enunciado da questão é o seguinte: O triângulo ADE da figura é equivalente ao quadrilátero BCDE. Se AE = 2/3 de AB, então AD é qual fração de AC? 2009/6/3 Thelio Gama teliog...@gmail.com Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
Em 03/06/2009 19:24, LuÃs Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu:
.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c~oes, Oi Sergio,  Essa sua solução (confesso que não me detive nela) não segue o espÃrito das construções geométricas. Pode no máximo mostrar que o problema possui uma solução geométrica.  Conheço muitas construções elegantes com estes dados. Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.  Repito o inÃcio da construção:  Sejam os cÃrculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. Até aqui é a sugestão do Virgilio. Agora o problema aparece: construir uma reta
 passando por D_c tal que se
intersecta phi_1 e phi_2 em A e B, respectivamente, então AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:  1) pertence a phi_2;  2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence ao cÃrculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.  Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.  Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta
pedida.  []'s LuÃs    From: sergi...@lps.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200 Caro LuÃs, Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se acha um pouco de tempo para um probleminha desses. Eu resolvi assim: Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede para determinarmos a reta suporte do lado AB passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c. Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a mesma letra C para denotar duas coisas distintas (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto deixa claro do que estamos falando
. Pela lei dos senos no triângulo ABC: (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta) (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta) Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema: (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a = (transformação em produto) (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab) (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab) = (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab) (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)= (relação trigonométrica fundamental) (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_
c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2 = (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | ) Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza, um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um pouco mais simples. Abraço, sergio
Instale o novo Internet Explorer 8 otimizado para o MSN. Download aqui
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Lose Weight and Feel Great Free
Em 03/06/2009 22:08, nico...@mat.puc-rio.br escreveu: Lose Weight Fast with Acai BerryGet your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you  . Acai Power Slim really works!" Read more testimonals here!Willa Myles--Click and enjoy http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria CN
Em 03/06/2009 21:32, Thelio Gama teliog...@gmail.com escreveu: Boa noite professores, Essa questão em anexo é do Colégio naval e não consigo resolver apesar de já ter traçado todas as retas que minha imaginação permitiu. Poderiam dar uma explicação. Agradeço a ajuda, Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão antiga do IME
Em 03/06/2009 21:45, Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br escreveu: Um quadrilátero inscritÃvel e circunscritÃvel tem um lado igual a 5 metros, área de 6sqtr5 metros quadrados e diagonais inversamente proporcionais a 9 e 3. Calcule os outros lados do quadrilátero.  Obrigado.   sqrt5 = raiz quadrada de 5 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Acai Berry fights Cancer , Increases energy and burns fat.
Em 03/06/2009 21:35, nico...@mat.puc-rio.br escreveu: " A life changing experience " Try Acai Berry.Get your Free trial today!--Acai Power Slim -- The newest and most exciting fat loss product available - As seen on Oprah! Real testimonials: "I was originally amazed that the first two pills I took of Acai Power Slim, almost immediately took my cravings away. Now 4 weeks later, 3 belt holes later, I have become an advocate for this awesomely powerful, natural supplement!" "I tried Acai Power Slim after visiting your website, and I lost a few pounds without doing anything else. I was so amazed I decided to start exercising and getting outside more and I even starting eating better. Now I don't even look like the same man. Friends I haven't seen for more than a year don't even recognize me. The change is that dramatic! Thank you  . Acai Power Slim really works!" Read mo re testimonals here!Randolph Odell--Click promptly http://www.tebiefo.com/?jbftacdlajbi=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana CN
Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan
