[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Existe um único k
Olá! Repare que a abordagem do Artur demonstra a unicidade para R, logo, a demonstração para Z (um subconjunto de R) é automática. A respeito da sua questão: Se x.y=0, então “x” ou “y” é igual a zero, repare que: a+0=a Isto pela própria definição de zero, i.e., não é passível de demonstração. Logo: a-a=0 daí a(1-1)=0 daí a.0=0 Sds., _ Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de ennius Enviada em: quinta-feira, 17 de janeiro de 2013 17:20 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Existe um único k Caro Artur, A questão trata somente de números inteiros. No universo Z, precisamos então mostrar que a igualdade x.y = 0 implica x = 0 ou y = 0. Gostaria de ajuda nesse ponto. Ennius Lima ___ _ Em 16/01/2013 21:24, Artur Costa Steiner mailto:steinerar...@gmail.com steinerar...@gmail.com escreveu: Na realidade, se a e b 0 são reais quaisquer, então existe um único c tal que a = bc. De fato, se c e cd satisfazem a esta condição, então a = cb a = db 0 = cb - db = (c -d)b Como os reais formam um corpo, logo um anel de integridade, com relação à soma e a multiplicação, segue-se, como b não é nulo, que c - d = 0 e que c = d. Artur Costa Steiner Em 16/01/2013, às 19:44, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu: Amigos da Lista, Usando-se a definição: Um número inteiro d (diferente de zero) é divisor de um inteiro n, quando existe um inteiro k, tal que n = kd, como provar que o número k, quando existe, é único? Desde já, muito obrigado pela atenção. Pedro Chaves _ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru絥s para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Soma de funções periódicas
Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. Então, f
+ g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos mínimos de f e de
g for racional.
A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e q os
períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n inteiros
positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A que converge para
x, e isso acaba nos mostrando que
lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
Abraços
Artur Costa Steiner
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas
Vamos lá..
Imagine que f é periódica de período fundamental p, e g é periódica de
período fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
h=f+g é periódica de período r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
de q, ou seja, r/q é irracional.
Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
quantos períodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
conjunto denso, e por ser contínua, é constante, o que é absurdo pela
suposição que você fez.
Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
sequência x+kr por uma sequência a_k contida num período de f, de
maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
período de f onde a_k é denso, e b dentro do período de g onde b_k é
denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
b'_k de b_k usando somente os índices usados em a'_k. (temos que
corrigir a'_k para usar somente os índices usados na construção de
b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
que f e g são contínuas). Portanto, para quaisquer a e b,
f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!
Foi difícil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.
2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
Sejam f e g funções de R em R contínuas, periódicas e não constantes. Então,
f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os períodos mínimos de f
e de g for racional.
A parte se é fácil de mostrar. Para a recíproca, observei que, sendo p e q os
períodos mínimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n inteiros
positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A que converge
para x, e isso acaba nos mostrando que
lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
Abraços
Artur Costa Steiner
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma de funções periódicas
Obrigado Pedro. Eu me perdi naquela parte da sequência ser densa. Mas, com
base, na sua idéia, acho que podemos também seguir o seguinte raciocínio.
No caso de r ser múltiplo racional de p. Conforme mostrado, para todo x, g(x +
T) = g(x). Isto implica que T = mp seja período de g. Logo, mp é múltiplo
inteiro de seu período fundamental q. Assim, mp = kq para algum inteiro
positivo k, do que deduzimos que p/q = k/m é racional. Logo, temos uma
contradição.
No caso de r/p e r/q serem irracionais. Aqui eu me perdi, vou analisar mais.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 18/01/2013, às 19:26, Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com escreveu:
Vamos lá..
Imagine que f é periódica de perÃodo fundamental p, e g é periódica de
perÃodo fundamental q, com p/q irracional, e suponha por absurdo que
h=f+g é periódica de perÃodo r. Então r não pode ser ao mesmo tempo
múltiplo racional de p e de q. Suponhamos que r não é multiplo inteiro
de q, ou seja, r/q é irracional.
Digamos que r é múltiplo racional de p, ou seja, existem números
inteiros n e m não nulos com nr=mp=T. Então f(x+T)=f(x) e h(x+T)=h(x)
para todo x. Portanto a diferença h-f=g entre eles também satisfaz a
mesma equação: g(x+T)=g(x) para todo x. Além disso, podemos aumentar
quantos perÃodos T quisermos: g(x+kT)=g(x) para todo k inteiro e todo
x real. É fácil ver onde isso vai chegar: g(x) é constante num
conjunto denso, e por ser contÃnua, é constante, o que é absurdo pela
suposição que você fez.
Digamos então que ambos r/p e r/q são irracionais. Nesse caso, temos
h(x+kr)=h(x) para todo x. Portanto, f(x)+g(x) = f(x+r) + g(x+r) =
f(x+2r) + g(x+2r) = etc = h(x). Podemos fixar um x r substituir a
sequência x+kr por uma sequência a_k contida num perÃodo de f, de
maneira que f(x+kr)=f(a_k), e fazer o mesmo para g, obtendo
g(x+kr)=g(b_k). Dados quaisquer dois elementos a e b, a dentro do
perÃodo de f onde a_k é denso, e b dentro do perÃodo de g onde b_k é
denso, podemos construir duas subequencias. Uma delas, a'_k, é
subsequência de a_k convergindo para a, e a outra é uma subsequência
b'_k de b_k usando somente os Ãndices usados em a'_k. (temos que
corrigir a'_k para usar somente os Ãndices usados na construção de
b'_k). Agora, olhamos para o limite quando k vai para infinito de
f(a'_k)+g(b'_k). Por um lado, essa expressão é igual a h(x) para todo
k. Por outro, f(a'_k) tende para f(a) e g(b'_k) tende para g(b) (já
que f e g são contÃnuas). Portanto, para quaisquer a e b,
f(a)+g(b)=h(x), ou seja, ambas f e g são constantes! Absurdo!
Foi difÃcil mas saiu : ) tá um bocado confuso, mas espero que dê pra
entender. Se alguém tiver uma solução mais simples, eu adoraria ver.
2013/1/18 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Eu estou querendo provar isto, mas ainda não cheguei lá não.
Sejam f e g funções de R em R contÃnuas, periódicas e não constantes.
Então, f + g é periódica se, e somente se, a relação entre os perÃodos
mÃnimos de f e de g for racional.
A parte se é fácil de mostrar. Para a recÃproca, observei que, sendo p e
q os perÃodos mÃnimos de f e de g, então conjunto A = {mp - qn, me e n
inteiros positivos} , é denso em R. Para todo x, há uma sequênvia em A
que converge para x, e isso acaba nos mostrando que
lim k -- oo, k inteiro, f(-n_k q) + g(m_k p) = f(x) + g(x)
Mas disto não se conclui que f + g não é periódica.
Abraços
Artur Costa Steiner
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Binomiais
Demonstre que no desenvolvimento de (a + b)^n os coeficientes são todos ímpares se,e somente se,n é da forma 2^s - 1.
