Re: [obm-l] Produto dos divisores de 2 inteiros positivos
a) A resposta é sim. A condição dada implica que as fatorações de m e de n contenham exatamente os mesmos primos p_1,. p_k. De fato, se uma destas fatorações contivesse um primo ausente na outra, então o produto dos divisores da primeira conteria este fator primo que estaria ausente na fatoração do produto dos divisores da segunda. E não poderíamos então ter a igualdade citada. Conforme sabemos, o produto dos divisores de m é m^(Dm/2), sendo Dm o número de divisores de m. Assim, m^ (Dm/2) = n^(Dn/2), o mesmo que m^Dm = n^Dn (1) Logo, provar que m = n equivale a provar que Dm = Dn Para i = 1, k, seja a_i o expoente de p_i na fatoração de m e b_i o expoente correspondente em n. Sabemos que Dm = (1 + a_1) ... * ... (1 + a_k) (2) Dn = (1 + b_1) ... * ... (1 + b_k) (3) De (1), segue-se que (p_1^a_1 * ... p_k^a_k)^Dm = (p_1^b_1 * ... p_k^b_k)^Dn de modo que, pelo teorema fundamental da aritmética, a_i Dm = b_i Dn, i = 1, k Assim, (a_1)/(b_1) ... = ... (a_k/b_k) = Dn/Dm (4) Se Dm != Dn, podemos admitir, sem perda de generalidade, que Dm Dn. Logo, em virtude de (4), a_i b_i para todo i = 1, k. Mas, em virtude de (2) e (3), isto implica que Dm Dn, uma contradição que mostra que Dm = Dn. Conforme vimos, isto implica que m = n. b) Novamente a resposta é sim, para m e n compostos. É fácil ver que, se forem ambos primos, a igualdade m = n agora não tem que valer. E se um for primo e outro composto, a igualdade entre os produtos citados não pode se verificar (com a convenção usual de que o produto de um conjunto unitário com elemento não nulo é o próprio elemento ) Supondo m e n compostos, a prova é quase idêntica à do caso anterior. Novamente, vemos que as fatorações de m e de n contém exatamente os mesmos primos. O produto dos divisores de m,m sem contar o próprio m, é m^(Dm/2)/m = m^(Dm/2 - 1). Assim, a igualdade entre os produtos dos divisores citados ocorrerá se, e somente se, m^(Dm - 2) = n^(Dn - 2) Mais uma vez, teremos m = n se, e somente se, Dm = Dn Agora, a prova é similar à anterior, bastando substituir, nas equações do caso (a), Dm por Dm - 2 e Dn por Dn - 2. Veja que, como m e n são compostos, Dm, Dn = 3. Logo, não há denominador nulo. Artur Costa Steiner Em 04/05/2014, às 09:56, Merryl sc...@hotmail.com escreveu: Bom dia a todos! Gostaria de ajuda com estas questões, onde m e n são inteiros positivos. a) Suponhamos que o produto dos divisores de m seja igual ao produto dos divisores de n. Então, temos que m = n? Demonstração ou contra exemplo. b) Suponhamos que m e n sejam ambos compostos e que o produto dos divisores de m, sem incluir m, seja igual ao produto dos divisores de n, sem incluir n. Então, temos que m = n? Demonstração ou contra exemplo. Acho que em ambos os casos a resposta é sim, mas não consegui ainda chegar a uma prova. Obrigada -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] ajude-me a comprovar... ou não
Olá caríssimos, Fiz uma prova e havia uma questão em que: Seja a função f(x,y) = - sqrt(16 - x² - y²) é possível afirmar que: Pois bem, a resposta do gabarito dizia que: Trata-se da CALOTA INFERIOR DE UMA ESFERA com centro na origem e diâmetro 4. Minha resposta é que Trata-se da METADE INFERIOR DE UM CÍRCULO com centro na origem e diâmetro 4. Se a minha estiver correta, preciso de mais alguma demonstração para abrir um recurso. Obrigado Fabio MS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] ajude-me a comprovar... ou não
Sabe-se que funções pertencentes ao R² podem possuir imagens em R³, portanto, considere z= f(x,y). x² + y² + z² = 16 z² = 16 - x² - y² z = +-sqrt(16 -x² -y²) f(x,y) = +-sqrt(16 -x² -y²) Daí, +sqrt(16 -x² -y²) representa a calota superior da esfera e -sqrt(16 -x² -y²) a calota inferior. Desse ponto de vista, a resposta que apresentaram como correta está realmente correta, exceto por um pequeno detalhe: 16 representa o RAIO ao quadrado, e não o diâmetro. O diâmetro seria 8, e não 4. Na matemática tudo é relativo, e tentarei pensar em uma forma de provar que o seu raciocínio está correto. Assim que obtiver novas possibilidades escreverei novamente. Atielly Ramos Em 5 de maio de 2014 16:07, Fabio Silva cacar...@yahoo.com escreveu: Olá caríssimos, Fiz uma prova e havia uma questão em que: Seja a função f(x,y) = - sqrt(16 - x² - y²) é possível afirmar que: Pois bem, a resposta do gabarito dizia que: Trata-se da CALOTA INFERIOR DE UMA ESFERA com centro na origem e diâmetro 4. Minha resposta é que Trata-se da METADE INFERIOR DE UM CÍRCULO com centro na origem e diâmetro 4. Se a minha estiver correta, preciso de mais alguma demonstração para abrir um recurso. Obrigado Fabio MS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RES: [obm-l] Quantas partidas?
21 O primeiro jogou 5 com o segundo O primeiro jogou 5 com o terceiro O segundo jogou 16 com o terceiro. From: marconeborge...@hotmail.commailto:marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Quantas partidas? Date: Sun, 20 Apr 2014 22:37:14 + Três jogadores estão jogando ping-pong e o que não está jogando em uma determinada partida joga com o vencedor na próxima partida.No final do dia, o primeiro jogador tinha jogado 10 partidas e o segundo,21.Quantas partidas jogou o terceiro jogador? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] ajude-me a comprovar... ou não
Hmm, eles perguntam o gráfico de f? Então eu concordo com o gabarito oficial: o GRÁFICO de f(x,y) corresponde à superfície z=-sqrt(16-x^2-y^2), que é um subconjunto de z^2=16-x^2-y^2, ou seja x^2+y^2+z^2=16, uma superfície esférica de centro na origem (0,0,0) e raio 4. Mas não é a superfície toda não, pois note que z é sempre negativo na equação original. Então é de fato a superfície inferior do hemisfério de baixo desta esfera. (Calota esférica é uma boa maneira de dizer que é só a casca, não incluindo o sóldio todo. Mas é o hemisfério sul desta calota, por assim dizer) Metade inferior de um círculo seria o gráfico de g(x)=-sqrt(16-x^2), uma função de uma variável apenas. Como ali tem duas variáveis x e y NO DOMÍNIO, o gráfico tem que morar em R^3 (x, y e uma terceira variável que chamei de z), não no plano R^2. 2014-05-05 16:07 GMT-03:00 Fabio Silva cacar...@yahoo.com: Olá caríssimos, Fiz uma prova e havia uma questão em que: Seja a função f(x,y) = - sqrt(16 - x² - y²) é possível afirmar que: Pois bem, a resposta do gabarito dizia que: Trata-se da CALOTA INFERIOR DE UMA ESFERA com centro na origem e diâmetro 4. Minha resposta é que Trata-se da METADE INFERIOR DE UM CÍRCULO com centro na origem e diâmetro 4. Se a minha estiver correta, preciso de mais alguma demonstração para abrir um recurso. Obrigado Fabio MS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajude-me a comprovar... ou não
Obrigado, Tens razão. Vacilei! On Monday, May 5, 2014 7:19 PM, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com wrote: Hmm, eles perguntam o gráfico de f? Então eu concordo com o gabarito oficial: o GRÁFICO de f(x,y) corresponde à superfície z=-sqrt(16-x^2-y^2), que é um subconjunto de z^2=16-x^2-y^2, ou seja x^2+y^2+z^2=16, uma superfície esférica de centro na origem (0,0,0) e raio 4. Mas não é a superfície toda não, pois note que z é sempre negativo na equação original. Então é de fato a superfície inferior do hemisfério de baixo desta esfera. (Calota esférica é uma boa maneira de dizer que é só a casca, não incluindo o sóldio todo. Mas é o hemisfério sul desta calota, por assim dizer) Metade inferior de um círculo seria o gráfico de g(x)=-sqrt(16-x^2), uma função de uma variável apenas. Como ali tem duas variáveis x e y NO DOMÍNIO, o gráfico tem que morar em R^3 (x, y e uma terceira variável que chamei de z), não no plano R^2. 2014-05-05 16:07 GMT-03:00 Fabio Silva cacar...@yahoo.com: Olá caríssimos, Fiz uma prova e havia uma questão em que: Seja a função f(x,y) = - sqrt(16 - x² - y²) é possível afirmar que: Pois bem, a resposta do gabarito dizia que: Trata-se da CALOTA INFERIOR DE UMA ESFERA com centro na origem e diâmetro 4. Minha resposta é que Trata-se da METADE INFERIOR DE UM CÍRCULO com centro na origem e diâmetro 4. Se a minha estiver correta, preciso de mais alguma demonstração para abrir um recurso. Obrigado Fabio MS -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Outro de congruência módulo m.
Uma ideia é calcular isto módulo 8 e módulo 125. Em 30 de abril de 2014 16:38, ruymat...@ig.com.br escreveu: Quais os três últimos dígitos de 7^?. Sempre agreço muito quem resolve sempre o faço antecipadamente. Obrigado. Abraço. R.O. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Sistema não linear
Como determinar as soluções reais do seguinte sistema? x^3 - 3x = y y^3 - 3y = z z^3 - 3z = x Obrigado! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
