[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Pois do jeito que você propôs, alguém poderia pensar que se trata de provar
que (s-1)(t-1)(u-1) divide stu - 1 para todos os inteiros s, t, u com 1 < s
< t < u, o que certamente não é verdade.


2018-03-23 16:55 GMT-03:00 Claudio Buffara :

> Sim. Eu só quis ter certeza de que o problema era:
> achar todos os inteiros s, t, u com 1 < s < t < u tais que (s-1)(t-1)(u-1)
> divide stu - 1
>
> 2018-03-23 16:45 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Seria bom desconsiderar o problema aqui, pois já tem um caminhão de
>> notas. Criei uma mensagem nova, não sei porque foi parar aqui, não sei se
>> pelo assunto ter o mesmo nome.
>> Alguém postá-lo independente dessa leva.
>> Cláudio, o que você propôs, não tem solução. Não creio que ajude.
>> Não compreendi a sua primeira pergunta, um esclarecimento o síbolo "|"
>> não é tal que é divide, ou seja (s-1)(t-1) divide st - 1,
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 23 de março de 2018 15:49, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>
>>> Será que ajuda começar com um mais simples?
>>>
>>> Achar s, t tais que (s-1)(t-1) | st - 1, com 1 < s < t.
>>>
>>> 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José :
>>>
 Boa tarde!

 Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem
 um que achei mais interessante.

 (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 >>
 Saudações,
 Pedro

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Sim. Eu só quis ter certeza de que o problema era:
achar todos os inteiros s, t, u com 1 < s < t < u tais que (s-1)(t-1)(u-1)
divide stu - 1

2018-03-23 16:45 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
> Seria bom desconsiderar o problema aqui, pois já tem um caminhão de notas.
> Criei uma mensagem nova, não sei porque foi parar aqui, não sei se pelo
> assunto ter o mesmo nome.
> Alguém postá-lo independente dessa leva.
> Cláudio, o que você propôs, não tem solução. Não creio que ajude.
> Não compreendi a sua primeira pergunta, um esclarecimento o síbolo "|" não
> é tal que é divide, ou seja (s-1)(t-1) divide st - 1,
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 23 de março de 2018 15:49, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> Será que ajuda começar com um mais simples?
>>
>> Achar s, t tais que (s-1)(t-1) | st - 1, com 1 < s < t.
>>
>> 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José :
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
>>> que achei mais interessante.
>>>
>>> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 >
>>> Saudações,
>>> Pedro
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Seria bom desconsiderar o problema aqui, pois já tem um caminhão de notas.
Criei uma mensagem nova, não sei porque foi parar aqui, não sei se pelo
assunto ter o mesmo nome.
Alguém postá-lo independente dessa leva.
Cláudio, o que você propôs, não tem solução. Não creio que ajude.
Não compreendi a sua primeira pergunta, um esclarecimento o síbolo "|" não
é tal que é divide, ou seja (s-1)(t-1) divide st - 1,

Saudações,
PJMS

Em 23 de março de 2018 15:49, Claudio Buffara 
escreveu:

> Será que ajuda começar com um mais simples?
>
> Achar s, t tais que (s-1)(t-1) | st - 1, com 1 < s < t.
>
> 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>>
>> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
>> que achei mais interessante.
>>
>> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 
>> Saudações,
>> Pedro
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!

Não entendi, os e-mails que estou enviando estão caindo anexo a esse,
mandei um propondo um problema e não o vi aparecer. Postei novamente. E os
dois caíram aqui, embora fosse uma mensagem nova.

Desculpem-me,
PJMS

Em 23 de março de 2018 15:38, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
> que achei mais interessante.
>
> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1  Saudações,
> Pedro
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Será que ajuda começar com um mais simples?

Achar s, t tais que (s-1)(t-1) | st - 1, com 1 < s < t.

2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
> que achei mais interessante.
>
> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1  Saudações,
> Pedro
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Claudio Buffara]

Depois eu dei uma demonstração que vale pra qualquer x real, positivo ou
negativo. Você não viu?

2018-03-23 15:20 GMT-03:00 Artur Steiner :

> !
>
> Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
> raiz negativa.
>
> Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
> irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
> estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
> Gelfond Schneider.
>
> Artur
> Mostrar texto das mensagens anteriores
> Ocultar texto das mensagens anteriores
>
>
>
>
> Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).
>
> Se x for transcendente, não há o que provar.
>
> Suponhamos, assim, que x seja algébrico.
>
> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <>
> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.
>
> n é algébrico diferente de 0 e 1.
> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
> Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).
>
> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
> entre si (e q <> 0).
> Seja log = logaritmo na base n.
>
> Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==>
> p^(nq) = n^p * q^(nq).
>
> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q
> = 1 ==> p^n = n^p.
> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o
> que contradiz a hipótese original de ser x <> n.
> Logo, x não pode ser racional, e acabou.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!

Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um
que achei mais interessante.

(s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros  e 1 

[obm-l] Raízes transcendentes

[Artur Steiner]

!

Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
raiz negativa.

Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
Gelfond Schneider.

Artur
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Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara 
escreveu:

Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).

Se x for transcendente, não há o que provar.

Suponhamos, assim, que x seja algébrico.

O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <> 0,
a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.

n é algébrico diferente de 0 e 1.
Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).

Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
entre si (e q <> 0).
Seja log = logaritmo na base n.

Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==> p^(nq)
= n^p * q^(nq).

Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que q
= 1 ==> p^n = n^p.
E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o que
contradiz a hipótese original de ser x <> n.
Logo, x não pode ser racional, e acabou.

[]s,
Claudio.


Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes transcendentes

[Artur Costa Steiner]

Em Qui, 22 de mar de 2018 14:55, Artur Costa Steiner 
escreveu:

> OK!
>
> Ests prova vale para raízes positivas, certo? Para n par, há também uma
> raiz negativa.
>
> Para raízes positivas, eu dei uma prova um pouco deferente da sua para a
> irracionalidade de x, porque tinha provado antes que as raízes não triviais
> estão em (1, e), no qual o único inteiro é 2. Depois, também apliquei
> Gelfond Schneider.
>
> Artur
>
> Em Qua, 21 de mar de 2018 21:44, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja x um número real diferente de n tal que x^n = n^x  ==>  x = n^(x/n).
>>
>> Se x for transcendente, não há o que provar.
>>
>> Suponhamos, assim, que x seja algébrico.
>>
>> O teorema de Gelfond-Schneider diz que se a e b são algébricos, com a <>
>> 0, a <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente.
>>
>> n é algébrico diferente de 0 e 1.
>> Assim, basta provar que x é irracional e aplicar o teorema de
>> Gelfond-Schneider (com  a = n  e  b = x/n).
>>
>> Suponhamos que x seja racional, digamos x = p/q com p e q inteiros primos
>> entre si (e q <> 0).
>> Seja log = logaritmo na base n.
>>
>> Então, log(x) = x/n  ==>  log(p/q) = p/(nq) ==> n^(p/(nq)) = p/q ==>
>> p^(nq) = n^p * q^(nq).
>>
>> Mas como p e q são primos entre si, a unicidade da fatoração implica que
>> q = 1 ==> p^n = n^p.
>> E mais uma vez, a unicidade da fatoração implica que p = n ==> x = n, o
>> que contradiz a hipótese original de ser x <> n.
>> Logo, x não pode ser racional, e acabou.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> 2018-03-21 18:17 GMT-03:00 Artur Steiner :
>>
>>> Ah Deus! Esqueci de dizer, raízes não triviais, distintas de n.
>>>
>>> Artur Costa Steiner
>>>
>>> Em Qua, 21 de mar de 2018 18:12, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Tá certo isso? Pois, para todo n natural, n sempre é raiz de x^n = n^x.

 2018-03-21 16:45 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que, para todo inteiro n >= 3, n diferente de 4, as raízes
> reais da equação x^n = n^x são transcendentes.
>
> Artur
>
> Enviado do meu iPad
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>
> =
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Você não havia explicado que* "fui fazer um experimento tirando o "1" da
equação. Usei um par (x,y) com a mesma paridade e achei um z inteiro.
Novamente usei outro par e deu outro z inteiro. Olhando para os
experimentos. Vi que nos  dois casos z = -(x+y)/2. Ai tornou-se uma
conjectura."*

Ou seja, experimentos numéricos levaram à conjectura. Beleza!

De toda forma, fazer experimentos tirando o "1" da equação foi uma bela
sacada. Você primeiro examinou a versão "homogênea". Boa ideia.

[]s,
Claudio.




2018-03-23 14:30 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Cláudio,
> desculpe-me discordar, mas eu disse  de onde veio. Só não veio de nenhuma
> técnica.
> Estava vendo que a parcela do problema: (x+y) (x+z) (y+z)/2 sempre seria
> inteira pois dois desses valores teriam paridade iguais.
> Aí fui fazer um experimento tirando o "1" da equação. Usei um par (x,y)
> com a mesma paridade e achei um z inteiro. Novamente usei outro par e deu
> outro z inteiro. Olhando para os experimentos. Vi que nos  dois casos z =
> -(x+y)/2. Ai tornou-se uma conjectura. Pura sorte.
> Mas, no braço, desenvolvi para para [x,y, -(x+y)/2] e atendeu para essa
> família, aqui deixou de ser conjectura. Foi provado, na grosseria, por
> substituição mas foi.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 23 de março de 2018 11:07, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Anderson,
>> o Gugu já avançou, em uma nota acima. E é passível.
>> Revendo a solução do Ralph, fica claro que essa transformação seria de
>> valia.
>> Pois essa transformação leva a :
>> a = (y+z)/2
>> b=  (x+z)/2
>> c= (x+y)/2
>>
>> Então na ordem que o Ralph apresentou: 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1
>>
>> (b+c) dá a metade do primeiro fator (excetuando-se o fator 1/2) , (a+c) a
>> metade do segundo e (a+b) a metade do terceiro.
>>
>> Saudações,
>>
>>
>>
>> Em 23 de março de 2018 06:20, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara
>>>  escreveu:
>>> > Como você passou de:
>>> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>>> >
>>> > Para:
>>> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>>>
>>> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei
>>> certas repetições
>>> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava
>>> pensando em
>>> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei
>>> nisso.
>>>
>>> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento
>>> procurar um abc
>>> para isso resultar em ab(a+b+c).
>>>
>>> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais...
>>>
>>> >
>>> > ???
>>> >
>>> > []s,
>>> > Claudio.
>>> >
>>> >
>>> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres <
>>> torres.anderson...@gmail.com>:
>>> >>
>>> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima
>>> >>  escreveu:
>>> >> > Essa achei legal e estou postando.
>>> >> >
>>> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação:  (x + y)(y + z)(z + x)/2 +
>>> (x +
>>> >> > y +
>>> >> > z)3 = 1 – xyz .
>>> >> >
>>> >>
>>> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c,
>>> >> x+y+z=a+b+c e
>>> >>
>>> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>>> >>
>>> >> Usando polinômios simétricos,
>>> >>
>>> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>>> >>
>>> >> Agora estou confuso...
>>> >>
>>> >> > Abraço do
>>> >> > Douglas Oliveira
>>> >> >
>>> >> > --
>>> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> > acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >>  acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> 
>>> =
>>> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> >> 
>>> =
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!

Cláudio,
desculpe-me discordar, mas eu disse  de onde veio. Só não veio de nenhuma
técnica.
Estava vendo que a parcela do problema: (x+y) (x+z) (y+z)/2 sempre seria
inteira pois dois desses valores teriam paridade iguais.
Aí fui fazer um experimento tirando o "1" da equação. Usei um par (x,y) com
a mesma paridade e achei um z inteiro. Novamente usei outro par e deu outro
z inteiro. Olhando para os experimentos. Vi que nos  dois casos z =
-(x+y)/2. Ai tornou-se uma conjectura. Pura sorte.
Mas, no braço, desenvolvi para para [x,y, -(x+y)/2] e atendeu para essa
família, aqui deixou de ser conjectura. Foi provado, na grosseria, por
substituição mas foi.

Saudações,
PJMS

Em 23 de março de 2018 11:07, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Anderson,
> o Gugu já avançou, em uma nota acima. E é passível.
> Revendo a solução do Ralph, fica claro que essa transformação seria de
> valia.
> Pois essa transformação leva a :
> a = (y+z)/2
> b=  (x+z)/2
> c= (x+y)/2
>
> Então na ordem que o Ralph apresentou: 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1
>
> (b+c) dá a metade do primeiro fator (excetuando-se o fator 1/2) , (a+c) a
> metade do segundo e (a+b) a metade do terceiro.
>
> Saudações,
>
>
>
> Em 23 de março de 2018 06:20, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara
>>  escreveu:
>> > Como você passou de:
>> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>> >
>> > Para:
>> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>>
>> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei
>> certas repetições
>> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava
>> pensando em
>> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei
>> nisso.
>>
>> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento
>> procurar um abc
>> para isso resultar em ab(a+b+c).
>>
>> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais...
>>
>> >
>> > ???
>> >
>> > []s,
>> > Claudio.
>> >
>> >
>> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com>:
>> >>
>> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima
>> >>  escreveu:
>> >> > Essa achei legal e estou postando.
>> >> >
>> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação:  (x + y)(y + z)(z + x)/2 +
>> (x +
>> >> > y +
>> >> > z)3 = 1 – xyz .
>> >> >
>> >>
>> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c,
>> >> x+y+z=a+b+c e
>> >>
>> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>> >>
>> >> Usando polinômios simétricos,
>> >>
>> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>> >>
>> >> Agora estou confuso...
>> >>
>> >> > Abraço do
>> >> > Douglas Oliveira
>> >> >
>> >> > --
>> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>  acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> 
>> =
>> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >> 
>> =
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
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>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Seguindo a linha do Douglas, tem um que acho bem legal.

(s-1) (t-1)(u-1) | stu -1 s,t, u estritamente naturais e s

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Anderson,
o Gugu já avançou, em uma nota acima. E é passível.
Revendo a solução do Ralph, fica claro que essa transformação seria de
valia.
Pois essa transformação leva a :
a = (y+z)/2
b=  (x+z)/2
c= (x+y)/2

Então na ordem que o Ralph apresentou: 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1

(b+c) dá a metade do primeiro fator (excetuando-se o fator 1/2) , (a+c) a
metade do segundo e (a+b) a metade do terceiro.

Saudações,



Em 23 de março de 2018 06:20, Anderson Torres 
escreveu:

> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Como você passou de:
> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
> >
> > Para:
> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>
> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei
> certas repetições
> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava
> pensando em
> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei
> nisso.
>
> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento
> procurar um abc
> para isso resultar em ab(a+b+c).
>
> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais...
>
> >
> > ???
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres  >:
> >>
> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima
> >>  escreveu:
> >> > Essa achei legal e estou postando.
> >> >
> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação:  (x + y)(y + z)(z + x)/2 +
> (x +
> >> > y +
> >> > z)3 = 1 – xyz .
> >> >
> >>
> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c,
> >> x+y+z=a+b+c e
> >>
> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
> >>
> >> Usando polinômios simétricos,
> >>
> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
> >>
> >> Agora estou confuso...
> >>
> >> > Abraço do
> >> > Douglas Oliveira
> >> >
> >> > --
> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >> 
> =
> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >> 
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> >
> >
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
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> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Claudio Buffara]

Na verdade os meus questionamentos surgiram por causa do meu interesse em
ensino de matemática.

Por exemplo, produtos notáveis e fatorações são notoriamente mal ensinados,
pelo menos nos livros didáticos de 8o e 9o ano que eu examinei.
Nenhum menciona que:
a) as generalizações de (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2  e  x^2 - y^2 =
(x-y)(x+y) para expoentes maiores levam ao teorema do binômio (erroneamente
chamado de binômio de Newton - nota histórica: Newton generalizou o teorema
para expoentes racionais) e à fórmula da soma dos termos de uma PG;
b) (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 é a base para a ideia de se completar
quadrados, a qual, por sua vez, não só resulta na fórmula para as raízes de
uma equação quadrática, mas também na elucidação das propriedades da função
quadrática;
c) o uso inteligente da expansão de (x+y)^3 leva à formula das raízes de
uma equação cúbica.

***

Há tempos, o Hermann, participante desta lista, postou uma dúvida sobre
produtos notáveis e pediu dicas de livros com exercícios sobre produtos
notáveis e fatoração.
Eu tenho duas sugestões, ambas em inglês:
- Algebra, de I.M.Gelfand e A.Shen - Birkhäuser (este faz as generalizações
que eu mencionei acima)
- A Problem Book in Algebra, de V.A. Krechmar - Mir Publishers (pros
entusiastas)
Ambos estão disponíveis na Amazon.

***

Anos atrás eu gostava de soluções "mágicas", obtidas por meio de alguma
sacada brilhante que eu jamais conseguiria ter.
Após me deparar com várias destas soluções, me ocorreu que elas talvez
tivessem um efeito perverso na motivação dos estudantes de matemática, pois
passavam a impressão de que é preciso ser um gênio para dominar a matéria.
Daí o meu interesse em saber como vocês obtiveram certas fatorações.
Entendo que trabalho braçal, experiência, alguma lógica e um pouco de
otimismo são, para a maioria de nós, as únicas formas de progredir na
resolução de um problema como o que deu origem a este thread.

Dito isso (e posso estar enganado) nem o Pedro José e nem mais ninguém
explicou de onde veio a conjectura (correta) de que:
z = -(x+y)/2 é solução de *(x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x + y + z)3 =  – xyz*

[]s,
Claudio.



2018-03-23 6:20 GMT-03:00 Anderson Torres :

> Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara
>  escreveu:
> > Como você passou de:
> > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
> >
> > Para:
> > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>
> It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei
> certas repetições
> que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava
> pensando em
> escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei
> nisso.
>
> Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento
> procurar um abc
> para isso resultar em ab(a+b+c).
>
> Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais...
>
> >
> > ???
> >
> > []s,
> > Claudio.
> >
> >
> > 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres  >:
> >>
> >> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima
> >>  escreveu:
> >> > Essa achei legal e estou postando.
> >> >
> >> > Resolva nos inteiros a seguinte equação:  (x + y)(y + z)(z + x)/2 +
> (x +
> >> > y +
> >> > z)3 = 1 – xyz .
> >> >
> >>
> >> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c,
> >> x+y+z=a+b+c e
> >>
> >> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
> >>
> >> Usando polinômios simétricos,
> >>
> >> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
> >>
> >> Agora estou confuso...
> >>
> >> > Abraço do
> >> > Douglas Oliveira
> >> >
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> >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> > acredita-se estar livre de perigo.
> >>
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> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>  acredita-se estar livre de perigo.
> >>
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> >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Anderson Torres]

Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara
 escreveu:
> Como você passou de:
> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>
> Para:
> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1

It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei
certas repetições
que sempre aparecem em certas fatorações; ou melhor dizendo, estava pensando em
escrever tudo em termos dos famigerados polinômios simétricos e cheguei nisso.

Sempre que vejo algo como (a^2b+ab^2), já escrevo ab(a+b) e tento
procurar um abc
para isso resultar em ab(a+b+c).

Mas não avancei daí. Penso que dá para fatorar ainda mais...

>
> ???
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-03-20 23:14 GMT-03:00 Anderson Torres :
>>
>> Em 13 de março de 2018 20:19, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Essa achei legal e estou postando.
>> >
>> > Resolva nos inteiros a seguinte equação:  (x + y)(y + z)(z + x)/2 + (x +
>> > y +
>> > z)3 = 1 – xyz .
>> >
>>
>> Substituição mágica: x=-a+b+c, y=a-b+c, z=a+b-c. Com isso, x+y=2c,
>> x+y+z=a+b+c e
>>
>> 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1
>>
>> Usando polinômios simétricos,
>>
>> 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1
>>
>> Agora estou confuso...
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>> > Douglas Oliveira
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