Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = 1/(n+1) ). Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos ela não atinge. É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. Abs, Claudio. Enviado do meu iPhone > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres > escreveu: > > > > > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir > escreveu: >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma >> saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou >> andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma >> única vez. >> > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. > > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e > > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) > > > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando formalizar > algumas inducoes marotas. > > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente no > caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, nunca o > final dela. > > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez na > forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas > fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes com > comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos componentes > diferir. > > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o comprimento > em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando o 0 na > cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. > > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional > comecando do 1. > > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando a > operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e possivel > fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o comprimento de > maneira irreversivel. > > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: > > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. > >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. > > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. > > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim sendo, > e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. > > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! > > > >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Obrigado pela resposta, mas ainda tenho umas dúvidas. Poderia dar um exemplo de tal função ou explicar como construí-la? E se f fosse somente injetora, mudaria alguma coisa? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais
Em dom., 14 de fev. de 2021 às 11:30, joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > Obs: f é bijetora > >> > Acho que nao basta. Se f(x)=y entao f(x+y)=x+f(y). Com isso, poderiamos fazer uma funcao que nao aja linearmente em (0,1) mas aja linearmente fora dele. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Em sáb., 13 de fev. de 2021 às 17:56, Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> escreveu: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma > saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou > andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma > única vez. > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando formalizar algumas inducoes marotas. Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, nunca o final dela. Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos componentes diferir. Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. Desta forma, é possível gerar de maneira unica qualquer numero racional comecando do 1. - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o comprimento de maneira irreversivel. - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Equações funcionais
Obs: f é bijetora > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equações funcionais
Olá, bom dia. Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e acabei concluindo que : f( f(x) + x ) - f( f( x) ) = x para todo x real. Somente isso é suficiente para provar que f é linear? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
a(1) = 1
a(2n) = a(2n-1) + 1
a(2n+1) = 1/a(2n)
Fazendo a(n) = p(n)/q(n), obtemos duas sequências: p(n) e q(n).
E elas são tais que:
p(1) = q(1) = 1
p(2n) = p(2n-1) + q(2n-1)
q(2n) = q(2n-1)
p(2n+1) = q(2n)
q(2n+1) = p(2n)
Como as sequências começam com 1 e 1, que são primos entre si, e como
mdc(p,q) = mdc(q,p) = mdc(p+q,q), p(n) e q(n) sempre serão primos entre si.
Usando a definição de p e q:
p(2n+1) = q(2n) = q(2n-1) = p(2n-2) = p(2n-3) + q(2n-3) = p(2n-3) + q(2n-2)
= p(2n-3) + p(2n-1)
e
p(2n+2) = p(2n+1) + q(2n+1) = q(2n) + p(2n) = q(2n-1) + p(2n) = p(2n-2) +
p(2n)
Ou seja, os termos p(n) de ordem ímpar e de ordem par realmente formam uma
sequência de Fibonacci.
Os de ordem ímpar começam com p(1) = p(3) = 1 e os de ordem par com p(2) =
2 e p(4) = 3.
[]s,
Claudio.
On Sun, Feb 14, 2021 at 10:03 AM Claudio Buffara
wrote:
> Ué! Continua sendo. Só que é outra questão...
>
>
> On Sun, Feb 14, 2021 at 3:34 AM Ralph Costa Teixeira
> wrote:
>
>> Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era
>> uma boa questao com Fibonacci. :)
>>
>> On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Oi, Ralph:
>>>
>>> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos
>>> diferentes dos seus:
>>> 1: 1
>>> 2: 2
>>> 3: 1/2
>>> 4: 3
>>> 5: 1/3
>>> 6: 3/2
>>> 7: 2/3
>>> 8: 4
>>> 9: 1/4
>>> 10: 4/3
>>> 11: 3/4
>>> 12: 5/2
>>> 13: 2/5
>>> 14: 5/3
>>> 15: 3/5
>>> 16: 5
>>> ...
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira
>>> wrote:
>>>
Meio enrolado, vou escrever meio vagamente.
Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles:
a1=1/1
a3=1/2
a5=2/3
a7=3/5
a8=5/8
...
Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci
consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem
varias maneiras de continuar:
-- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao
primos entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada
por numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma
sequencia crescente) vao ser distintos entre si;
-- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar
(pode ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...>>> a_(4k+1) < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho).
De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos
dos "a_2n+1, vao ser todos diferentes.
Abraco, Ralph.
On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir <
jefersonram...@gmail.com> wrote:
> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria
> uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela.
> Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução.
>
>
> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n.
>
> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre
> uma única vez.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Ué! Continua sendo. Só que é outra questão...
On Sun, Feb 14, 2021 at 3:34 AM Ralph Costa Teixeira
wrote:
> Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era
> uma boa questao com Fibonacci. :)
>
> On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>
>> Oi, Ralph:
>>
>> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos
>> diferentes dos seus:
>> 1: 1
>> 2: 2
>> 3: 1/2
>> 4: 3
>> 5: 1/3
>> 6: 3/2
>> 7: 2/3
>> 8: 4
>> 9: 1/4
>> 10: 4/3
>> 11: 3/4
>> 12: 5/2
>> 13: 2/5
>> 14: 5/3
>> 15: 3/5
>> 16: 5
>> ...
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira
>> wrote:
>>
>>> Meio enrolado, vou escrever meio vagamente.
>>>
>>> Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles:
>>> a1=1/1
>>> a3=1/2
>>> a5=2/3
>>> a7=3/5
>>> a8=5/8
>>> ...
>>> Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci
>>> consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem
>>> varias maneiras de continuar:
>>>
>>> -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos
>>> entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por
>>> numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma
>>> sequencia crescente) vao ser distintos entre si;
>>> -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode
>>> ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...>> < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho).
>>>
>>> De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos
>>> "a_2n+1, vao ser todos diferentes.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>>
>>> On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir
>>> wrote:
>>>
Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria
uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela.
Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução.
Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n.
Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre
uma única vez.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
