a(1) = 1
a(2n) = a(2n-1) + 1
a(2n+1) = 1/a(2n)
Fazendo a(n) = p(n)/q(n), obtemos duas sequências: p(n) e q(n).
E elas são tais que:
p(1) = q(1) = 1
p(2n) = p(2n-1) + q(2n-1)
q(2n) = q(2n-1)
p(2n+1) = q(2n)
q(2n+1) = p(2n)
Como as sequências começam com 1 e 1, que são primos entre si, e como
mdc(p,q) = mdc(q,p) = mdc(p+q,q), p(n) e q(n) sempre serão primos entre si.
Usando a definição de p e q:
p(2n+1) = q(2n) = q(2n-1) = p(2n-2) = p(2n-3) + q(2n-3) = p(2n-3) + q(2n-2)
= p(2n-3) + p(2n-1)
e
p(2n+2) = p(2n+1) + q(2n+1) = q(2n) + p(2n) = q(2n-1) + p(2n) = p(2n-2) +
p(2n)
Ou seja, os termos p(n) de ordem ímpar e de ordem par realmente formam uma
sequência de Fibonacci.
Os de ordem ímpar começam com p(1) = p(3) = 1 e os de ordem par com p(2) =
2 e p(4) = 3.
[]s,
Claudio.
On Sun, Feb 14, 2021 at 10:03 AM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
wrote:
> Ué! Continua sendo. Só que é outra questão...
>
>
> On Sun, Feb 14, 2021 at 3:34 AM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com>
> wrote:
>
>> Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era
>> uma boa questao com Fibonacci. :)
>>
>> On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Oi, Ralph:
>>>
>>> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos
>>> diferentes dos seus:
>>> 1: 1
>>> 2: 2
>>> 3: 1/2
>>> 4: 3
>>> 5: 1/3
>>> 6: 3/2
>>> 7: 2/3
>>> 8: 4
>>> 9: 1/4
>>> 10: 4/3
>>> 11: 3/4
>>> 12: 5/2
>>> 13: 2/5
>>> 14: 5/3
>>> 15: 3/5
>>> 16: 5
>>> ...
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira <ralp...@gmail.com>
>>> wrote:
>>>
>>>> Meio enrolado, vou escrever meio vagamente.
>>>>
>>>> Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles:
>>>> a1=1/1
>>>> a3=1/2
>>>> a5=2/3
>>>> a7=3/5
>>>> a8=5/8
>>>> ...
>>>> Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci
>>>> consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem
>>>> varias maneiras de continuar:
>>>>
>>>> -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao
>>>> primos entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada
>>>> por numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma
>>>> sequencia crescente) vao ser distintos entre si;
>>>> -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar
>>>> (pode ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...<a_(4k+3)<...< phi < ... <
>>>> a_(4k+1) < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho).
>>>>
>>>> De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos
>>>> dos "a_2n+1, vao ser todos diferentes.
>>>>
>>>> Abraco, Ralph.
>>>>
>>>>
>>>> On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir <
>>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria
>>>>> uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela.
>>>>> Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução.
>>>>>
>>>>>
>>>>> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n.
>>>>>
>>>>> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre
>>>>> uma única vez.
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
