Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = 1/(n+1) ). Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos ela não atinge. É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha.
Abs, Claudio. Enviado do meu iPhone > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > > > > > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir > <jefersonram...@gmail.com> escreveu: >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma >> saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou >> andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma >> única vez. >> > > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. > > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e > > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) > > > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando formalizar > algumas inducoes marotas. > > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente no > caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, nunca o > final dela. > > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez na > forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se duas > fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E fracoes com > comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos componentes > diferir. > > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o comprimento > em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera acrescentando o 0 na > cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. > > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional > comecando do 1. > > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando a > operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e possivel > fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o comprimento de > maneira irreversivel. > > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: > > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. > >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. > > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. > > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim sendo, > e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. > > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! > > > >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
