Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões confusas e vestibular do IME
Caro colega, para aplicarmos logaritmo nas equações teríamos que ter x e y reais e positivos. Não eh dado no problema nenhum dado como este. Logo, deveríamos considerar x e y no universo mais geral possível (no caso, os complexos...) Não há também, como provar que x e y são reais positivos (a não ser q alguém aí consiga) Por isso a minha crítica a esta questão, que na minha opinião é o maior desastre dos últimos 10 anos de prova do IME (pelo menos) abraços, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro amigo Alexandre Daibert , o vestibular do IME ( Instituto militar de engenharia ) sem dúvida é o melhor do Brasil ; as provas são bem elaboradas e procuram não só testar o conhecimento do aluno , com questõesde níveis avançados , mais também a sagaciadade do mesmo , com questões de dupla interpretação e/ou com várias soluções . Portanto , uma questão do IME não pode ser encarada , por exemplo , como uma questão da AFA , onde um peixe que nada em direção a superfície da água dentro de um aquário sobre uma balança , não altera o medidor da mesma ! Vamos ao que interessa. No caso da questão enviada , temos : CONSIDERE X e Y DIFERENTES DE ZERO !!! x^ax = (ax)^x Tirando log na base x nos dois lados da equação , temos : logx x^ax = logx (ax)^x ax = x( logx a + logx x ) a = logx a + 1 a - 1 = logx a x^(a-1) = a x = a^(1/[a-1]) Agora é só substituir em y = ax e descobrir o valor de y em função de a . Abraços Luiz H. Barbosa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TEORIA DOS JOGOS
Olá Jorge, Olha, não está explícito se C DISSE q valia muito mais. Vou considerar que disse. Se B quer uma compensação para não fazer lances, ele não tem tanto interesse no quadro. Provalvelmente ele quer tirar vantagem da situação e ganhar algum dinheiro em cima. Devemos considerar o seguinte. Se C se dispõe prontamente a pagar uma quantia muito alta, B saberá q ele pode pagar ainda mais e pedirá mais. C (ao menos se deve mostrar disposto a) pagar uma quantia baixa. Outro fato a considerar é que mesmo que B ganhe 1 dólar, a princípio seria vantajoso para ele, pois ele não tirou nenhum dólar do bolso e obteve lucro sem riscos. Agora veja que B para recuperar um x em dinheiro deve comprar o quadro por um preço e posteriormente vendê-lo por um preço x maior do que comprou. Repare que ele não conseguirá comprar o quadro por 15, pois C disse que o quadro valia muito mais. C tende, em uma disputa fazer lances altos em contrapartida aos lances de B. Visto isso, B estaria em desvantagem na disputa, a princípio. logo, se houver leilão: -se B chegar a comprar o quadro, pagará um alto preço por este, pois C está disposto a pagar caro e a disputa será intensa. Em uma posterior revenda, deveria vendê-lo por este preço caro pelo qual comprou mais o x, que é o que C ofereceu, mais um k (o k representaria a vantagem em relação a ter aceitado a proposta indecorosa...) -se C comprar o quadro, ou pagará um alto preço (o q para ele parece razoável) ou pagará um preço baixo, pois a atividade para B pode lhe parecer não interessante logo no princípio do leilão (o que é o mais provável). Repare que o preço mínimo, neste caso, seria um pouco acima de 15. Visto isso, percebemos que a compra do quadro por B se revelará provavelmente desvantajosa. É vantagem para B fazer negócios e ganhar algo em cima (ao menos é mais vantagem que entrar na disputa com a real intenção de comprar o quadro) A compra do quadro por C a um preço baixo é o evento mais provável, visto que B não estaria muito disposto a fazer lances altos. Depois de estudado tudo isto, poderia afirmar que C deve estar disposto a pagar uma quantia menor que 5 dólares. Uma quantia igual a 5 dólares se revelaria excepcionalmente vantajosa para B e nem tão vantajosa para C, pois ele ganharia com isso alguns poucos dólares (menos que cinco provavelmente) que é a diferença que ocorreria em um provável lance final do leilão (pouco mais de $15 como visto) - $15 O razoável aos dois seria algo em torno de $3, pois B ganharia de graça $3, ganhando C algo a mais que $3 [lance final - 13]. Repare que os $3 são iguais ao X a que nos referimos no início do problema. Quanto maior, menor a vantagem de B entrar no leilão Quantias mais baixas poderiam ser oferecidas a B. Como em toda a negociação, nunca começamos mostrando todo o nosso potencial, até aonde podemos chegar. Logicamente, C deveria começar propondo $1,5 ou $2 dólares para tentar persuadir B a aceitar um valor menor, tendo como limite de valor de aceitação os $3 dólares. Não sei se está correto, mas sinceramente é o que eu faria em uma situação dessas Quanto as desculpas pelo envio deste problema e considerá-lo muito off, sinceramente eu discordo e acho q problemas deste tipo são muito enriquecedores para a lista. Aliás, vc teria algum endereço com material em português sobre este assunto? Se tiver eu agradeço enormemente. Abraços, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ok! Nicolau, obrigado mais uma vez pelo Tira-Teima, pois estava aguardando uma resposta que coincidisse com a enviada pelo prof. André Toom-UFPE (CAMPEÃO!) Nobres Colegas! Este assunto que estou enviando, apesar de um pouco indigesto, trata-se de moderníssima disciplina com propriedades matemáticas inéditas. Caso haja algum interessado, gostaria da sua opinião, pois não há resposta no livro! Um quadro deve ser vendido em leilão e os lances começam com $10. B diz que o quadro vale $15; C acha que o quadro vale muito mais. B e C são os únicos interessados potenciais, e B pede a C alguma compensação para deixar de fazer lances. Ignorando os problemas éticos, que quantia poderia C dispor-se a pagar? Prometo! não mais trazer à lista este assunto um tanto offResposta WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntas simplórias (PG)
Prezado e dileto colega, Sem querer ser chato, mas acho q um questionamento foi algo do tipo, pq o termo geomtrica. Pq a mdia geomtrica teria este nome? (foi o q eu entendi) Para falar verdade tb jah refleti sobre isso e acho q eh porque na geometria em vrios casos ocorre esta mdia geomtrica Por exemplo, considere 3 esferas tangentes uma a uma (com a esfera central tangente a duas). Isto tudo inscrito em um tringulo (com os lados congruentes tangentes s 3 circunferncias) O raio da do meio eh a mdia geomtrica da maior e da menor. Considere uma esfera incrita num tringulo, inscrita numa esfera, inscrita num tringulo, incrita numa esfera, inscrita num tringulo, inscrita numa esfera, inscrita num tringulo ... os lados dos tringulos e os raios das esferas formam duas PGS A altura em um tringulo retngulo (relativa ao ngulo reto) eh a mdia geomtrica das projees dos catetos sobre a hipotenusa. Considere a figura abaixo: Os lados dos quadrados esto em PG Acho que o motivo inspirados do nome progresso geomtrica e mdia geomtrica seria esse (acho mas no tenho certeza, so s reflexes filosficas...) Algum discorda de mim? Se eu estiver falando besteira tudo bem, podem chingar, pq eu sempre falo bobagem nesta lista e sou severamente repreendido soh pq eu sou burro e ignorante (hehehehehe) Abraos, Alexandre Daibert Roberto Gomes escreveu: Em relao a sua primeira dvida eu acho que otermo geometrica devido ao termo central ser a mdia geometrica dos extremos ex a, aq, aq^2 uma PG de razo q aq = sqr(a*aq^2) Roberto Gomes Nelson [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol a todos. Tenho duas dvidas bem ingnuas, peo at desculpas a vocs. Desde j Agradeo. 1) Qual o porque da referncia geometria naProgresso geomtrica? 2) Na soma dos termos de uma PG infinita, gostaria de saber mais exatamente qual a diferena entresequncia convergente e divergente. Grato, Nelson Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! inline: PG.JPG
[obm-l] Probleminha de Probabilidade Fácil q eu naum sei fazer
Tem um problema de probabilidade aki, q eu lembro q a solução era simples, mas me esqueci como se faz. Me ajudem por obséquio! Pegando todos os números com 5 algarismos com o primeiro algarismo diferente de zero (algarismo da dezena de milhar) qual a probabilidade de pegarmos um número cujos algarismos estejam em ordem crescente? exemplo: 13456 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacoes reciprocas
Não entendi porque as equações recíprocas são casos particulares de equações palindromas (nome estranho...). Pelo q vc disse eu entendi q as equações palindromas são equações recíprocas de primeira classe. Não? (Dê um exemplo de equação palindroma q naum é recíproca) As equações recíprocas de segunda classe seriam recíprocas mas não seriam palindromas, pelo q entendi, por isso, não seria um caso particular. Estou certo? Outra pergunta: Qual a origem desse nome? Palindromas... (eskisitíssimo) Abraço, Alexandre Daibert Claudio Buffara escreveu: Oi, pessoal: Esse negocio de equacoes reciprocas eh um caso particular das chamadas equacoes palindromas. Uma equacao palindroma (e.p.) de grau n eh aquela onde o coeficiente de x^k eh igual ao coeficiente de x^(n-k), para 0 = k = n. Podemos supor s.p.d.g. que a equacao eh monica (por que?). Nesse caso, uma equacao palindroma de 3o. grau seria da forma: x^3 + ax^2 + ax + 1 = 0 E uma de 4o. grau seria: x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0. A vantagem de termos uma e.p. de grau n eh que ela pode ser reduzidas a uma equacao de grau = [(n+1)/2]. Isso decorre dos seguintes resultados, faceis de demonstrar: 1) Se u 0 eh raiz de uma e.p., entao 1/u tambem eh raiz; 2) Uma e.p. de grau impar sempre admite -1 como raiz. Nos casos de n = 3 e n = 4, os 2 resultados acima permitem que todas as raizes sejam achadas com facilidade, apenas com o conhecimento de equacoes do 2o. grau. Acho que eh um bom exercicio tentar obte-las explicitamente. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão chata!!!!. help!!!!
Estou com preguiça de fazer conta. isolar x da equação da reta jogar na equação da circunferência calcular delta =0 (condição de tangência) de delta = 0 calcular k (vai dar uma equação de segundo grau em k) se der algum k inteiro, fique feliz, se não der refaça todas as contas, hehehhe. Se após refazer o k ainda não for inteiro, pule pela janela mais próxima =) abraços, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] escreveu: uma reta (s)= 3y + 4x-12 é tangente a circunferência (y)= x²+y²-4/3x-ky+k=0, em que K pertence ao inteiros(Z), determine K? _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQ. RECÍPROCAS - CONSERTO
Olha, eu jah estudei todos os livros do Iezzi e considero eles muito bons. Logicamente, pode ter erros (como no caso dessa equação, que não é recíproca logicamente) Mas os livros da coleção raramente têm algum erro. Abraços, Alexandre Daibert Jorge Paulino escreveu: Faltou digitar a palavra SIMÉTRICOS na mensagem anterior.. Galera, tô estudando equações recíprocas pelo livro do Iezzi, mas acho que a teoria não fica de acordo em exemplos do tipo x^2+x-1=0. Pelo livro é recíproca, pois os coeficientes equidistantes dos extremos são SIMÉTRICOS, mas as raízes são (-1 mais/menos sqrt(5))/2, não sendo inversas uma da outra. Alguém conhece um material diferente para estudar esse assunto? Jorge Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Baricentros e arestas de poliedros
Este problema do IME eu ateh fiz, mas não sei se está certo. Ninguém respondeu ainda naum... Um abraço, Alexandre Daibert Claudio Buffara escreveu: Oi, pessoal: Alguem chegou a fazer um problema que o Daibert propos?: Determinar todos os inteiros positivos n que podem ser iguais ao numero de arestas de algum poliedro convexo. E aqui vai um outro: Caracterizar todos os poliedros de arestas A1, A2, ..., An tais que o baricentro eh dado por: (A1 + A2 + ... + An)/n. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] TRIGONOMETRIA!!!
Neste caso, o período de [cos 2x] = pi, período de [1+sen2x] = pi logo, período de f(x) tb seria pi Se isso for verdade, temos q ter f(x)=f(x+pi) (condição necessária mas não suficiente, pois poderiam haver submúltiplos de pi) cos (2x + 2pi)/[1 + sen[2x + 2pi]] = (cos2x)/(1+sen2x) É o mais formal que eu consegui... Abraços, Alexandre Daibert Matrix Exatas escreveu: E aí galera blz, muito obrigado morgado pela resolução, mas me restararam algumas dúvidas: Considere a função real definida por y=(cos2x)/(1+sen2x) e as seguintes informações: I- A função é decrescente em todo seu domínio II- O gráfico da função apresenta assíntotas nos arcos pi/2+k.pi II- A função é negativa em [0,pi/4[ IV- A função admite inversa em [0,pi/2] São verdadeiras somente as afirmações contidas nos itens: a)I e II; b)II e III; c)III e IV; d)I e IV I eh falsa: basta observar que f(pi/4) = 0 e f(pi)=1. II eh falsa: as assintotas sao as verticais que cortam o eixo das abscissas nos pontos em que sen2x = -1, ou seja, x = 3pi/4 + kpi III eh falsa: no intervalo citado, 2x estah no primeiro quadrante e y eh positivo. IV eh (apesar da linguagem do enunciado ser horrivel) correta: no intervalo citado f eh decrescente e, portanto, invertivel. O que é assíntotas? Como eu poderia achar o período dessa função (y=(cos2x)/(1+sen2x))? espero que me ajudem MATRIX _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão_muito_boa_de_geometria_do_IME
Vc saberia me dizer qual o nmero desta Eureka??? Alis, j ouvi dizer que o IME costuma "pegar emprestado" de vez em quando umas questes da Olimpada (de geometria s eu acho). Isso verdade? Alexandre Daibert Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu: Hoje estou com preguia,va na Eureka que tem um problema igual Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] wrote: Calma gente, s mais uma questozinha do IME (vcs esto me devendo as respostas das outras questes ainda heim =) ) Figurinha do IME Quatro restas se interceptam formando quatro tringulos conforme figura abaixo (acima!!). Prove que os crculos circunscritos aos quatro tringulos possuem um ponto em comum. Alexandre Daibert Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros
Sem a integral pra mim ficou melhor mesmo, sou burro e ainda nem estudei essas coisas de cobrinhas estranhas de integral ainda. :-) S uma idia intuitiva, gostaria de saber se vlida. Em analtica a mdia aritmtica entre a e b = [a+b]/2 O baricentro do triangulo ABC = [a+b+c]/3 o baricentro do tetraedro ABCD=[a+b+c+d]/4 (no r3) O baricentro de um tetraedro no regular seria [a+b+c+d]/4 tambm? e o baricentro de uma pirmide de base quadrada seria [a+b+c+d+e]/5 ? e o baricentro de um cubo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8? e o baricentro de um paraleleppedo seria [a+b+c+d+e+f+g+h]/8 tambm? posso falar isso? ou isso pura induo vulgar completamente errada? obs: me desculpe se estiver errado, mas eu sou realmente sem noo e ignorante. :-P abraos Alexandre Daibert Claudio Buffara escreveu: on 02.10.03 01:00, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pra falar a verdade o q eu queria saber mesmo eh o porque do (A + B + C + D)/4 o baricentro? desculpe minha ignorncia em geometria espacial, eh a parte q eu menos sei na matemtica (acho q deu pra perceber) mas o baricentro do tetraedro regular eh igual a 1/4 da altura? Como provar isso (de preferncia fora da analtica)? A definicao geral de baricentro em R^3 usa integrais triplas. O baricentro M de um solido S em R^3 cujo volume eh bem definido (isso eh um ponto mais tecnico sobre teoria da medida, mas para um tetraedro ou qualquer outro solido da geometria classica essa condicao eh sempre obedecida) eh o ponto do R^3 de coordenadas (x_M,y_M,z_M) tais que: x_M = Integral(sobre S) x*dxdydx / Volume(S) y_M = Integral(sobre S) y*dxdydx / Volume(S) z_M = Integral(sobre S) z*dxdydx / Volume(S) Um bom exercicio de integracao eh provar que, para um tetraedro regular de vertices A, B, C e D, o baricentro eh justamente o ponto M=(A+B+C+D)/4 No caso do problema das esferas associadas ao tetraedro voce estah interessado apenas em provar que existe um unico ponto que eh equidistante dos vertices, das faces e das arestas. Esse ponto eh justamente o baricentro, mas isso eh irrelevante para o problema. O que voce quer antes de mais nada eh provar que existe um ponto M que eh equidistante dos vertices. Suponha que a aresta do tetraedro regular ABCD mede a. Seja P o centro da base ABC, a qual eh um triangulo equilatero. Naturalmente PA = a*raiz(3)/3 (isso eh geometria plana, que eu estou supondo sabida). Alem disso, o lugar geometrico dos pontos que equidistam de A, B e C eh uma reta perpendicular a ABC e passando pelo seu centro P. Como DA = DB = DC = a, D pertence a essa reta == PD eh perpendicular ao plano ABC Assim, usando Pitagoras, PD = raiz(AD^2 - PA^2) = raiz(a^2 - a^2/3) = a*raiz(6)/3 = altura do tetraedro. Agora, soh precisamos escolher o ponto M de PD tal que MA = MD (= x). MA^2 = PM^2 + PA^2 e PM = PD - MD == MA^2 = (PD - MD)^2 + PA^2 == x^2 = (a*raiz(6)/3 - x)^2 + a^2/3 == (2*a*raiz(6)/3)*x = 2*a^2/3 + a^2/3 = a^2 == x = MD = 3a/(2*raiz(6)) = a*raiz(6)/4 = (3/4)*PD == PM = (1/4)*PD = (1/4)*altura. O ponto M poderia nao existir, o que faria com que a equacao acima na incognita x nao tivesse solucao. No entanto, como a equacao tem solucao, concluimos que M existe (e de fato eh unico, pois a equacao tem uma unica solucao - lembre-se: M estah na semi-reta de origem em P e que contem D) Repare que isso prova que M eh equidistante das faces (por que?). Alem disso, com mais uma aplicacao de Pitagoras, voce prova que M eh equidistante das arestas. Alem disso, se voce introduzir coordenadas, voce vai ver que M = (A+B+C+D)/4. Um abraco, Claudio. Claudio Buffara escreveu: on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para a resoluo de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert Tem tambem a esfera tangente as arestas... Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de preferencia) - por exemplo: A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0). O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z. Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a. O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?) Agora fica facil: R(inscrita) = |OH| R(circunscrita) = |OA| R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2. Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Questões_confusas_e_vestibular_do_IME
Dileto e Prezado Colega, Olha, sinceramente eu acho esta questo estranhssima. Vc sups x0 e y0 e achou um resultado que mostrava que ele era realmente maior que zero. Para se aplicar logaritmo vc teria realmente que ter o x e y0. Vamos supor que exista alguma resposta negativa (alis, no sei se realmente no tem). Se voc suposse no problema x e y0 haveria como no final, depois de ter suposto x0 encontrar x0 ??? Outra coisa, h tambm a resposta x=0 e y=0, que verifica o sistema. S para piorar a situao, imaginemos que o problema tem como universo o universo dos complexos (como ele no informou, o natural seramos pensar a equao no universo dos complexos, concordam? ). Prove que no h nenhuma raiz imaginria para essas equaes... Estava pensando aki, na sua resposta: (a - 1)logx = log a x^(a-1)=a no universo dos complexos x respresentaria as razes (a-1)-simas de a, certo? Por isso fico na dvida se vc provou realmente que x e y so maiores que zero. Gostaria que mais colegas ajudassem na discusso deste problema estranhssimo, que a meu ver foi um problema mal formulado. abraos, Alexandre Daibert Camilo Marcantonio Junior escreveu: Oi Alexandre, No acompanhei muito bem a sua discusso e no sei exatamente o nvel de formalizao que voc deseja. De qualquer forma, creio que no haja grandes problemas para resolver essa questo. Vamos ver. Aplica logaritmo na primeira equao e reza pra x e y serem maiores que 0. Voc chegar ento a : y logx = x logy Substituindo a segunda equao, vem: ax logx = x log(ax) = a logx = log(ax) (lembre-se de que estamos supondo x0) Ento: a logx = loga + logx = (a - 1)logx = log a = x = a ^ [1/(a - 1)] = y = a ^ [a/(a - 1)] e, felizmente, x e y 0. um abrao, Camilo */Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED]/* wrote: Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questes do IME algumas vezes so confusas, peo que me enviem a formalizao para o seguinte problema da prova de 1997: (IME 1997) Resolva o sistema abaixo: x^y = y^x y=ax onde, a diferente de 1 e a0 = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = *Yahoo! Mail http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://mail.yahoo.com.br* - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://br.yahoo.com/info/mail.html inline: smile_n.gifinline: tongue_n.gifinline: laughing_n.gif
[obm-l] Mais IME...
Aí gente, o IME já tah enchendo por aki neh? hehehe. vai mais uma aê. Eu fiz esse problema, mas como achei que tava muito simples deve ter alguma coisa errada, pq as questões de combinatória do IME constumam ser boas... (IME 98) Uma embarcação deve ser tripulada por oito homens, dois dos quais só remam do lado direito e apenas um, do lado esquerdo. Determine de quantos modos esta tripulação pode ser formada, se de cada lado deve haver quatro homens Observação: A ordem dos homens em cada lado distingue a tripulação. Tem só mais uma aki: (IME 98) Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo em função de a e b. | 1 -23 | | x || -4 | | 5 -67 | | y || -8 | | 6 8a | | z || b | Só não sei fazer a parte da interpretação geométrica (resolver sistema linear pelo amor de Deus...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão muito boa de geometria do IME
Calma gente, s mais uma questozinha do IME (vcs esto me devendo as respostas das outras questes ainda heim =) ) Quatro restas se interceptam formando quatro tringulos conforme figura abaixo (acima!!). Prove que os crculos circunscritos aos quatro tringulos possuem um ponto em comum. Alexandre Daibert inline: IME.JPG
[obm-l] Questões IME (ultra-foda!)
Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c(I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? (IME 96) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. obs2: essa eu até fiz, mas gostaria de conferir a resposta. (IME 93) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista. Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que são mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME. Alexandre D. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Esferas e Tetraedros
Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questões confusas e vestibular do IME
Aos colegas que discordaram de mim quando eu disse que as questões do IME algumas vezes são confusas, peço que me enviem a formalização para o seguinte problema da prova de 1997: (IME 1997) Resolva o sistema abaixo: x^y = y^x y=ax onde, a diferente de 1 e a0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esferas e Tetraedros
Pra falar a verdade o q eu queria saber mesmo eh o porque do (A + B + C + D)/4 É o baricentro? desculpe minha ignorância em geometria espacial, eh a parte q eu menos sei na matemática (acho q deu pra perceber) mas o baricentro do tetraedro regular eh igual a 1/4 da altura? Como provar isso (de preferência fora da analítica)? Claudio Buffara escreveu: on 01.10.03 03:46, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para a resolução de esferas inscritas e circunscritas a um tetraedro regular de lado conhecido (calcular o raio) Alexandre Daibert Tem tambem a esfera tangente as arestas... Sugestao: de coordenadas para cada um dos vertices (pondo 3 no plano x,y de preferencia) - por exemplo: A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = (a/2,a*raiz(3)/2,0). O vertice D serah um dos dois pontos equidistantes desses 3 (um tem coordenada z positiva e o outro negativa). Facilita se voce perceber que a projecao dele sobre o plano x,y eh justamente o centro H = (A+B+C)/3 do triangulo equilatero ABC, ou seja, D = (a/2,a*raiz(3)/6,z) para algum z. Agora eh soh usar o fato de que |AD| = a. O centro das esferas eh o ponto O = (A+B+C+D)/4 (por que?) Agora fica facil: R(inscrita) = |OH| R(circunscrita) = |OA| R(tangente as arestas) = |OM|, onde M = ponto medio de AB = (A+B)/2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!)
Realmente, ocorrem poucas vezes, mas acho q o IME deveria tomar mais cuidado com isso, pois sendo a prova de apenas 10 questões uma questão mal colocada pode prejudicar de maneira substancial um candidato (prejudica mais aliás, os bons candidatos). Alexandre D. Igor Castro escreveu: Dividir harmonicamente um segmento é dividi-lo internamente e externamente na mesma razão. Ex, AB=10, C está sobre AB tal que AC=6, D está depois de B tal que BD=20. Repare que AC/BC = AD/BD. Ou seja, C e D dividem AB harmonicamente numa certa razão (mais a fundo, vc pode provar que representam o pé das bissetrizes internas e externas e daí concluir mais coisas) Não acho que os problemas do ime sejam mal elaborados. Na minha opinião, o que ocorre as vezes(poucas diante de todos os problemas) é que devido a complexidade dos problemas e a necessidade de adaptá-los a uma prova de concurso de nível médio pode deixar o enunciado um pouco estranho ou confuso. Mas isso realmente ocorre poucas vezes. []´s Igor Castro - Original Message - *From:* Roberto Gomes mailto:[EMAIL PROTECTED] *To:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *Sent:* Wednesday, October 01, 2003 8:34 AM *Subject:* Re: [obm-l] Questões_IME_(ultra-foda!) Não concordo com vc, pelo contrário acho as provas do IME muito bem elaboradas, não vejo nada de confuso. sobre divisão harmonica e questões com essa de geometria vc poderá encontra no livro Geometria II do Morgado que por sinal, para mim, é uns dos melhores livros de geometria que eu conheço. Roberto Gomes */Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]/* wrote: Caros colegas, gostaria da ajuda dos senhores, por obséquio, se não for incomodar muito, para a resolução dos seguintes problemas de vestibulares do IME: (IME 96) Dados os trinômios de segundo grau: y = ax^2 + bx + c (I) y = a´x^2 + b´x + c´ (II) Cosidere, sobre o eixo Ox, os pontos cujas abscissas são as raízes do trinômio (I) e A´B´ os pontos cujas abscissas são raízes do trinômio (II). Determine a relação que deve existir entre os coeficientes a, b, c, a´, b´, c´, de modo que A´B´divida o segmento AB harmonicamente. obs1: O que significa esta divisão harmônica? As extremidades podem ser iguais? ou seria a divisão do segmento em 3? Como divido um segmento em 3 harmonicamente? (IME 96) Determine os números naturais n para os quais existem poliedros convexos de n arestas. obs2: essa eu até fiz, mas gostar! ia de conferir a resposta. (IME 93) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H desta altura construímos as perpendiculares HD e HE sobre os lados AB e AC; seja P o ponto da interseção de DE com BC. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também, de modo análogo Q e R sobre os lados CA, AB. Demonstre que os pontos P, Q, R são colineares. obs3: Esta questão tem uma figura, q eu considerei desnecessária. Caso alguém não tenha entendido me diga q eu faço a figura e mando pra lista. Gostaria de aproveitar a oportunidade em q estou abrindo a discussão destes problemas do IME para expressar a minha indignação sobre alguns problemas deste vestibular. Por anos temos visto que o IME não se cansa de colocar questões mal-elaboradas em seu vestibular, no sentido de ter interpretações ambíguas, não só na prova de matemática. Mesmo o aluno mais bem preparado fica confuso frente a algumas questões, que s! ão mal-colocadas realmente. Fico me perguntando qual o objetivo dos professores ao colocar questões confusas no vestibular. Selecionar os melhores candidatos, provavelmente não é, pois as vezes um bom candidato pode ser eliminado porque não soube interpretar uma questão confusa. Gostaria de saber se esta opinião é só minha, ou se mais algum colega da lista compartilha do mesmo sentimento em relação ao vestibular do IME. Alexandre D. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = *Yahoo! Mail http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://mail.yahoo.com.br* - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! http://br.rd.yahoo.com/s/c/m/?http://br.yahoo.com/info/mail.html
[obm-l] Proporção áurea. Qual o motivo do nome?
Estava mexendo em uma página q falava sobre proporção áurea e me deparei com o seguinte: Sejam as grandezas a e b; a sua soma a + b nos fornece o termo requerido: (a + b)/a = a/b que é uma proporção célebre e que se funda na seção ou corte de ouro. Como assim??? Qual a origem do termo proporção áurea? O que o corte do ouro tem a ver com isso? Gostaria de aproveitar e abrir algum tipo de discussão sobre o tema. Já ouvi falar que alguma coisa na Monalisa do Da Vinci tem a ver com proporção áurea, não me lembro direito. Alguém sabe dizer??? Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúvida muito suga!)
Estou com uma dúvida cruel em equações polinomiais e gostaria da ajuda dos senhores. Consideremos uma equação polinomial de coeficientes inteiros (A0, A1, A2, A3, ..., An). Sabe-se q toda equação tem um número par de raízes complexas e um número par de raízes irracionais. Logo, toda equação de grau ímpar terá ao menos uma raiz racional. Sabe-se que todas as raízes racionais são da forma p/q tal que: p e q são primos entre si p é divisor de An q é divisor de A0 Consideremos a equação: 3x^3 + 5x - 18 = 0 É uma equação de grau 3, logo terá ao menos uma raiz racional. Porém, traçando-se o gráfico pelo Grafeq temos q há apenas uma raiz real, e esta raiz tem valor aproximado 1,514735 Esta raiz é única, portanto deveria ser racional, não obedece à lei de formação p/q, portanto parece não ser racional. A raiz multiplicada por 3 deveria ser um número inteiro. O q aconteceu afinal Onde está o erro Todas as raízes racionais são realmente da forma p/q (Caso isto seja falso, peço uma demonstração de que existem raízes racionais que não obedecem a esta lei de formação, pois eu tenho uma demonstração q afirma q as raízes obedecem a esta lei) Aguardo respostas extremamente urgentes!!! Alexandre Daibert - Juiz de Fora = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Juros....
Seu computador parece estar com vírus. favor verificar! Cláudio (Prática) escreveu: (1 + 0,1025/2)^2 = 1,105126... exp(0,1020) = 1,107383... 1,105126... Logo, um investimento a 10,2% aa com juros compostos continuamente é melhor. Um abraço, Claudio. - Original Message - *From:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *To:* [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] *Sent:* Sunday, September 14, 2003 12:26 AM *Subject:* [obm-l] Juros Qual o melhor investimento10,25% ao ano, com juros compostos semestralmente ou 10,20% ao ano com juros compostos continuamenteUm cara me perguntou isso hoje, não tenho certeza sobre o enunciado, mas ele me disse que viu esse problema em um livro do ElonAlguém já ouviu falar?? Será esse o enunciado correto??? Um abraço, Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] UM PROBLEMA INTERESSANTÍSSIMO!
Se foi voc quem bolou este problema gostaria de parabeniz-lo! Na minha opinio, este eh um dos mais interessantes problemas q eu jah li na Super. Por acaso eu comprei esta revista, e fiz questo de passar o problema a todos meus amigos do cursinho. (muitos ficaram encucados com o fato de o nome dos alunos ser bernardo e arnaldo, no me pergunte pq... hehehehe) :-) Soh quero aproveitar e propor um problema simples (e talvez clssico): Um professor chega um dia na classe, observa q os alunos esto conversando demais e prope um castigo: "A partir de semana que vem, vcs tero um teste por semana, e eu s avisarei um dia antes, de forma q vcs tero no mximo 24 horas para estudar" Um aluno se levanta e desafia o professor: "Vc est mentindo!" Qual dos dois est com a razo? obs: os alunos soh tm aula dias de semana Alexandre Daibert edmilson motta escreveu: Oi, Johann. Eu que criei esse problema para a Super e no igual ao problema que voc est citando(Banco IMO 91). L pedia para provar que uma hora algum responde sim. Aqui tem que descobrir um nmero. Foi adaptado sim, mas a adaptao deu trabalho!! Abraos, Ed. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse e muito velhoVeja o da OCM e tente o caso geral:prove que, seja la quais foremn os numeros, alguem sempre dir sim, supondo que os caras sao inteligentes e sinceros --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ol Turma! Valeu Will pela excelente informao dos links. Muito Obrigado! A e B, os melhores alunos da sua classe, fazem o seguinte jogo: cada um escreve um nmero natural diferente de zero em uma folha de papel e d essa folha ao professor. O professor escreve no quadro-negro os nmeros 1994 e 2990, sendo que um deles a soma dos nmeros de A e B. Ento ele pergunta a A: "Voc sabe o nmero de B?". A diz "no" e o professor pergunta a B se ele sabe o nmero do outro. B tambm diz "no" e o professor questiona novamente A, que ainda no sabe a resposta. B, perguntado mais uma vez, d a resposta correta. Qual o nmero de A? Olha Gente! H dcadas, no via um problema to engenhoso quanto este. (CAMPEO!). Sua resoluo encontra-se na revista superinteressante. OK! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, cmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! SiteBuilder - Free, easy-to-use web site design software http://sitebuilder.yahoo.com = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
Tive uma dvida nessa resoluo. Depois de tudo feito, faltando calcular o coeficiente de x. supondo para um problema menor, como calcularamos o coeficiente de x no grau 23 brao na expresso fatorada do tipo (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) q no podemos desmembr-la, pois voltaramos ao problema inicial. obs: desculpe minha ignorncia, mas sou um mero pobre, ignorante e humilde vestibulando... :-P Claudio Buffara escreveu: on 07.08.03 01:38, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: ... O problema determinar o nmero de solues inteiras no negativas do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 ... Oi, Alexandre: A solucao classica pra esse tipo de problema eh via series formais (vide artigo do Eduardo Tengan na Eureka 11). No caso, nem precisamos usar series infinitas, mas apenas polinomios. Precisamente, voce estah interessado no coeficiente de x^23 do polinomio formal: f(x) = a(x)*b(x)*c(x)*d(x)*e(x), onde: a(x) = 1 + x^16 b(x) = 1 + x^8 + x^16 = (x^24-1)/(x^8-1) c(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16 + x^20 = (x^24-1)/(x^4-1) d(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^20 + x^22 = (x^24-1)/(x^2-1) e(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^21 + x^22 + x^23 = (x^24-1)/(x-1) Voce consegue ver o porque disso? Logo: f(x) = (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) Pondo esta expressao para f(x) (que de fato eh um polinomio de grau 97) para ser avaliada pelo PARI-GP, eu achei que o coeficiente de x^23 eh igual a 74. Logo, existm 74 solucoes inteiras nao-negativas para a sua equacao. Naturalmente, Mathematica, Matlab ou Maple tambem podem ser usados. O que eu nao recomendo eh fazer na mao. Nao soh ha uma grande chance de voce errar alguma conta, mas tambem voce vai ficar de saco tao cheio que corre o risco de comecar a odiar matematica e abondonar esta bela ciencia pela razao errada. O PARI-GP eh um software de matematica (especialmente teoria dos numeros) que pode ser baixado gratuitamente da internet. O site eh este aqui: http://www.parigp-home.de/ Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções de sistemalinear
Bem, estou querendo mais o caso particular, resolver generalizando pra mim parece algo bem difícil, mesmo pq eu naum sei ainda nem como resolver este caso particular, sakou? :-) Por isso estou implorando por algum tipo de ajuda dos nobres colegas. Bem, se vcs conseguirem o caso partcular e quiserem generalizar depois, bom divertimento! soh me mostrem a resolução depois tb! Paulo Santa Rita escreveu: Ola Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Conforme outros membros desta lista ja observaram, a questao que voce propos nao tem solucao. Todavia, se voce aceitar que as solucoes sejam formadas por INTEIROS NAO NEGATIVOS, ela tem solucao. Alias, uma generalizacao natural PODE SER : (Generalizacao) Discutir as solucoes formadas por INTEIROS NAO-NEGATIVOS da equacao : A1*X1 + A2*X2 + ... + An*Xn = B onde os Ai e o B sao inteiros positivos. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1113,060803 on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
Desculpem-me pelo meu erro. O problema é determinar o número de soluções inteiras não negativas... Sendo assim como posso resolver? (nível de segundo grau se possível) Claudio Buffara escreveu: on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Oi, Alexandre: Se a, b, c, d, e sao inteiros positivos, entao o menor valor possivel para: 16a + 8b + 4c + 2d + e eh igual a 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1 = 31 23. Logo, o sistema dado (composto duma unica equacao) nao tem solucao em inteiros positivos, ou seja, o numero de solucoes pedido eh zero. Provavelmente, o enunciado nao eh bem esse. De uma conferida. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
hehehe, tudo bem, isto eh normal, huhuhuh
:-)
Aleandre Augusto da Rocha escreveu:
Desculpe pela viagem total que foi o ultimo reply... nunca mais leio meus
emails antes de tomar cafe.
Se alguem precisar de alguma coisa eu sou aquele na mesinha do canto com um
saco de papel cobrindo o rosto.
-Auggy
- Original Message -
From: "Alexandre Daibert" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, August 07, 2003 12:38 AM
Subject: [obm-l] Nmero de solues de sistema linear - Correo
Desculpem-me pelo meu erro. O problema determinar o nmero de solues
inteiras no negativas...
Sendo assim como posso resolver? (nvel de segundo grau se possvel)
Claudio Buffara escreveu:
on 06.08.03 02:15, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Gostaria de ajuda para o seguinte problema:
Calcular o nmero de solues do sistema:
16a + 8b + 4c + 2d + e = 23
sendo a, b, c, d, e inteiros positivos.
se possvel usar somente conhecimentos de ensino mdio, se isto no for
possvel, pelo tente explicar mais ou menos o q est fazendo para q um
ignorante aluno q ainda no entrou em um curso superior possa entender
:-)
Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED]
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Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Oi, Alexandre:
Se a, b, c, d, e sao inteiros positivos, entao o menor valor possivel
para:
16a + 8b + 4c + 2d + e eh igual a 16*1 + 8*1 + 4*1 + 2*1 + 1 = 31 23.
Logo, o sistema dado (composto duma unica equacao) nao tem solucao em
inteiros positivos, ou seja, o numero de solucoes pedido eh zero.
Provavelmente, o enunciado nao eh bem esse. De uma conferida.
Um abraco,
Claudio.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Número de soluções de sistema linear - Correção
No, isto no caiu em vestibular nenhum, eu cheguei nisto no meio de um problema, q eh o seguinte: Tendo 10 caixas e 1000 moedas, colocar as caixas nas moedas de modo q qualquer quantidade de 1 a 1000 moedas possam ser pegas de modo a no abrir nenhuma caixa. Se no me engano este problema eh do homem q calculava. tem uma soluo mais usual para ele q eh ir colocando 1, 2, 4, 8, ... moedas em cada caixa, e no fim as q sobrarem colocar na ltima caixa. Sobram 23 moedas, mas elas no precisam ser colocadas necessariamente apenas na ltima caixa. Se vc pensar em cima do problema vc chega q o nmero de solues do problema o nmero de solues inteiras no negativas da equao: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23. Claro q isto vai alm do q se esperava q a pessoa fizesse no problema. Cheguei a este resultado e quis, por curiosidade, saber como calcular o nmero de solues deste tipo de equao, visto q o clculo no brao seria muito trabalhoso. Pensei q houvesse alguma soluo por anlise combinatria deste problema, porm mais avanada q a resoluo clssica da equao a + b + c + d = 10 por exemplo. Mas pelo que eu entendi, este tipo de problema, pelo q vimos ateh aki, mesmo com problemas menores, ou vc calcula todas as solues no brao mesmo ou joga em um computador. No h mtodo matemtico q seja pouco trabalhoso. Mas mesmo assim gostaria de agradecer imensamente ao colega, pois as suas explicaes contribuiram muito para mim. :-) Se algum quiser a minha resoluo deste problema das caixas e como eu cheguei a isso, depois me d um toque q colocarei minha resoluo aki com pacincia Alexandre Daibert Claudio Buffara escreveu: Re: [obm-l] Nmero de solues de sistema linear - Correo A partir da expressao fatorada eu acho que nao dah. Voce teria que multiplicar os 5 polinomios abaixo (a(x), b(x), etc...), o que relamente daria um trabalhao. Porisso eu usei o software. Agora, esse problema caiu em algum vestibular? Se caiu, acho uma tremenda idiotice por parte da banca, pois uma vez achados os polinomios (o que eh facil, quando voce conhece o metodo) o problema vira 100% mecanico - apropriado para um computador. Esta eh a beleza deste metodo de resolucao, o qual transforma um problema de combinatoria num problema mecanico de multiplicar polinomios. Tente fazer este aqui no braco (muito menos trabalhoso): "Achar o numero de solucoes inteiras nao negativas de de 3x + 2y + z = 10." Depois compare a dificuldade do metodo dos polinomios formais com a da enumeracao pura e simples das solucoes (fazendo primeiro x = 0 e contando as solucoes de 2y + z = 10; depois x = 1 e contando as solucoes de 2y + z = 7; etc...) Um abraco, Claudio. on 09.08.03 06:00, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Tive uma dvida nessa resoluo. Depois de tudo feito, faltando calcular o coeficiente de x. supondo para um problema menor, como calcularamos o coeficiente de x no grau 23 brao na expresso fatorada do tipo (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) q no podemos desmembr-la, pois voltaramos ao problema inicial. obs: desculpe minha ignorncia, mas sou um mero pobre, ignorante e humilde vestibulando... :-P Claudio Buffara escreveu: on 07.08.03 01:38, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: ... O problema determinar o nmero de solues inteiras no negativas do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 ... Oi, Alexandre: A solucao classica pra esse tipo de problema eh via series formais (vide artigo do Eduardo Tengan na Eureka 11). No caso, nem precisamos usar series infinitas, mas apenas polinomios. Precisamente, voce estah interessado no coeficiente de x^23 do polinomio formal: f(x) = a(x)*b(x)*c(x)*d(x)*e(x), onde: a(x) = 1 + x^16 b(x) = 1 + x^8 + x^16 = (x^24-1)/(x^8-1) c(x) = 1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16 + x^20 = (x^24-1)/(x^4-1) d(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^20 + x^22 = (x^24-1)/(x^2-1) e(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^21 + x^22 + x^23 = (x^24-1)/(x-1) Voce consegue ver o porque disso? Logo: f(x) = (1+x^16)*(x^24-1)^4/((x^8-1)*(x^4-1)*(x^2-1)*(x-1)) Pondo esta expressao para f(x) (que de fato eh um polinomio de grau 97) para ser avaliada pelo PARI-GP, eu achei que o coeficiente de x^23 eh igual a 74. Logo, existm 74 solucoes inteiras nao-negativas para a sua equacao. Naturalmente, Mathematica, Matlab ou Maple tambem podem ser usados. O que eu nao recomendo eh fazer na mao. Nao soh ha uma grande chance de voce errar alguma conta, mas tambem voce vai ficar de saco tao cheio que corre o risco de comecar a odiar matematica e abondonar esta bela ciencia pela razao errada. O PARI-GP eh um software de matematica (especialmente teoria dos numeros) que pode ser baixado gratuitamente da internet. O site eh este aqui: http://www.parigp-home.de/ Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lis
[obm-l] Número de soluções de sistema linear
Gostaria de ajuda para o seguinte problema: Calcular o número de soluções do sistema: 16a + 8b + 4c + 2d + e = 23 sendo a, b, c, d, e inteiros positivos. se possível usar somente conhecimentos de ensino médio, se isto não for possível, pelo tente explicar mais ou menos o q está fazendo para q um ignorante aluno q ainda não entrou em um curso superior possa entender :-) Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sistema de duas equações e duas incógnitas. Como resolver???
Um colega meu está procurando uma solução para este problema. Alguém ajudaria? Calcule x e y, x e y pertencentes a R+ x^y = 3 y^x = 2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Polinômios
Este problema é do livro do Iezzi de polinômios. alguém poderia me ajudar?? O Polinômio P(x) é igual ao produto de sua derivada P´(x) por (x - a). Calcule o grau do polinômio P(x) obs: favor usar apenas conhecimentos básicos de derivada para a resolução Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Obrigado pelas explicações ao Morgado e ao Paulo. Foram bem esclarecedoras. Espero não cometer novamente um erro destes :-) Paulo Santa Rita escreveu: Ola Prof Morgado, Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado. Conforme o Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem : fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O DETERMINANTE DA MATRIZ A+I DE ORDEM N-1 E DIFERENTE DE ZERO, tudo que voce pode concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ A+I e pelo menos N-1, isto e, que se o determinante da nova matriz A+I for igual a zero entao, necessariamente, com base no teorema de Rouche-Capelli, ao atribuir um valor arbitrario ( digamos : ALFA ) a nova varialvel Xn e transformando a coluna N nos termos independentes, teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes, possivel e determinado. E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que 2, entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a matriz resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica; igualmente, se suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz resultante e da forma A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto lhe dizer e que o raciocinio do paragrafo anterior podera ser aplicado duas vezes ... Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que os livros de ensino medio abordam, que e o seguinte : TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma combinacao linear das demais filas paralelas, o determinante desta matriz nao se altera COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear das demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a zero OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna. Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1110,280703 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300 ASSINALEI O ERRO. Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1, x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a conclusao que este sistema eh impossivel. Alexandre Daibert wrote: Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro na minha demonstração para mim. A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas olhe no fim deste e-mail q também está postado) resumindo a idéia principal da questão anterior: no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas) (A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na questão anterior) provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico: X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos iguais a zero provando para matriz 1x1: A (1x1) = matriz unidade [0] X = matriz unidade [x] AX = -X [0]*[x] = -[x] [0] = -[x] x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1 provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para matriz nxn o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) : x1 + ax2 + bx3 + ... = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0 .. -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0 por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0) para A nxn temos: x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0 ... -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0 -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0 fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! da última equação, constatamos q x(n)=0 x(n)=0 = X=(0) = det (A + I) diferente de zero = (A + I) é inversível para todo n segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois não é válida para a seguinte matriz A: || 0 1 || || 1 0 || cujo det (A + I) = 0 Aguardo ansiosamente respostas Alexandre Daibert Alexandre Daibert escreveu: Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo
Re: FW: [obm-l] Demonstração da trigonometria
Desculpe pela pressa ao escrever este problema. Na primeira resoluo voc no teria tambm que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos) A segunda resoluo realmente bem mais interessante. :-P Claudio Buffara escreveu: Oi, Alexandre: Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o conjunto dos naturais: A minha ideia eh provar que se n 2, entao existira um valor de x para o qual a identidade falha. Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x. 1) n eh impar: Nesse caso, tome x = 5pi/4 == cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) == cos^n(x) + sen^n(x) 0 1 2) n eh par e 2: Nesse caso, tome x = Pi/4 == cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) == cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) 1/2 == cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) 1/2 + 1/2 = 1 Logo, n soh pode ser igual a 2. * O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais. Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x). Derivando em relacao a n: f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x) 0 sen(x) 1 e 0 cos(x) 1 == ln(sen(x)) 0 e ln(cos(x)) 0 == f'(n) 0 para todo n == f eh monotona decrescente == f eh injetiva == existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2). Um abraco, Claudio. -- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Demonstrao da trigonometria Oi, Morgado: Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que a questao eh demonstrar que: Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2. Um abraco, Claudio. on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: ??? Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] disse: Gostaria de uma demonstrao formal para o seguinte (a nvel de segundo grau por favor), procurei e no achei em nenhum lugar: sen^x + cos^x = 1 provar que n=2 Alexandre Daibert = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Informação sobre listas de discussão
Eu sei que esta lista não é nem um pouco adequada para este tipo de informação, mas como sei q alguns dos senhores podem me ajudar, gostaria de saber aonde encontro listas de discussão como essa nas áreas de física e química. Peço desculpas desde já aos que se sentiram incomodados com meu e-mail, mas é q eu procurei na internet e não achei nenhuma. :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Olha, eu fiz uma demonstrao mas acho q est errada, gostaria que algum achasse o erro na minha demonstrao para mim. A resoluo usa a idia da resoluo da questo do IME q eu tinha enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogneos. (dvidas olhe no fim deste e-mail q tambm est postado) resumindo a idia principal da questo anterior: no sistema linear homogneo (onde X eh matriz-coluna das incgnitas) (A + I)X=(0) , X = (0) implica q A inversvel (est provado na questo anterior) provemos por induo finita q X=(0) para todo A anti-simtrico: X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos iguais a zero provando para matriz 1x1: A (1x1) = matriz unidade [0] X = matriz unidade [x] AX = -X [0]*[x] = -[x] [0] = -[x] x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1 provamos q se valida para matriz (n-1)x(n-1) vlida tambm para matriz nxn o sistema linear homogneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) : x1 + ax2 + bx3 + ... = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0 .. -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0 por hiptese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0) para A nxn temos: x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0 ... -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0 -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0 fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se no posso, pq no posso?) da ltima equao, constatamos q x(n)=0 x(n)=0 = X=(0) = det (A + I) diferente de zero = (A + I) inversvel para todo n segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria vlida no soh para matrizes antisimtricas, mas para toda matriz com a diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que estranho, pois no vlida para a seguinte matriz A: || 0 1 || || 1 0 || cujo det (A + I) = 0 Aguardo ansiosamente respostas Alexandre Daibert Alexandre Daibert escreveu: Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe. Valeu a! Quero s deixar apara o pessoal da lista a resoluo q eu tinha comentado por sistemas lineares homogneos, q eu lembrei aki: sendo BX=(0), um sistema linear homogneo (B matriz quadrada nxn, X matriz coluna n) temos q o sistema ser possvel determinado se e somente se X = (0) (matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B diferente de zero (pois o sistema determinado) resumindo: X = (0) = det B dif. de 0 fazendo B = (A + I) temos (A + I)X = (0) AX + X = (0) AX = -X (1) A^2*X = -AX de (1): A^2*X = X A^3X = AX kAX = -X -kX = -X (k-1)X=(0) como k diferente de 1 X = (0) (logo a matriz A + I inversvel) algum teria alguma idia de pegar algo desta soluo aki para o nosso problema?? tentei fazer algo, mas no cheguei em nada... Valeus a!!!
[obm-l] Demonstração da trigonometria
Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar: sen^x + cos^x = 1 provar que n=2 Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo, hehehehe. Valeu aí! Quero só deixar apara o pessoal da lista a resolução q eu tinha comentado por sistemas lineares homogêneos, q eu lembrei aki: sendo BX=(0), um sistema linear homogêneo (B é matriz quadrada nxn, X matriz coluna n) temos q o sistema será possível determinado se e somente se X = (0) (matriz coluna todos os elementos iguais a zero) o que implica q det B é diferente de zero (pois o sistema é determinado) resumindo: X = (0) = det B dif. de 0 fazendo B = (A + I) temos (A + I)X = (0) AX + X = (0) AX = -X (1) A^2*X = -AX de (1): A^2*X = X A^3X = AX kAX = -X -kX = -X (k-1)X=(0) como k diferente de 1 X = (0) (logo a matriz A + I é inversível) alguém teria alguma idéia de pegar algo desta solução aki para o nosso problema?? tentei fazer algo, mas não cheguei em nada... Valeus aÊ!!! Eduardo Casagrande Stabel escreveu: Oi Daibert, Minha solução é muitíssimo avançada, precisarás de anos de estudos para compreendê-la... mas se você tentar, quem sabe consiga ainda hoje. Eu estou usando algumas propriedades bem simples sobre matrizes. Por exemplo, se A é uma matriz quadrada e suas colunas (vetores com n coordenadas) são A = [c_1 c_2 ... c_n] então a matriz é inversível (isto é, existe uma outra matriz B tal que AB = matriz identidade) se e somente se podemos encontrar constantes reais (nem todas nulas) v_1, v_2, ..., v_n tais que v_1*c_1 + ... + v_n*c_n é o vetor nulo. Esta expressão pode ser reescrita como Av = vetor nulo, onde v é a matriz coluna 1 por n com coordenadas v_1, v_2, ..., v_n. Fora esta propriedade, só uso fatos muito simples que certamente se ensinam no segundo grau. Primeiro, suponho por absurdo que existe um vetor não-nulo (pense como uma matriz 1 por n) v tal que (A + I)*v = 0 (este zero sendo a matriz 1 por n com zeros em suas coordenadas) Ou seja, estou supondo (pelo que discuti no primeiro parágrafo) que a matriz não é inversível. Pretendo chegar a uma contradição para concluir que esta hipótese é furada e portanto A + I deve ser inversível. (esta técnica de demonstração é conhecida como redução ao absurdo e é muito freqüente em matemática). Multiplicamos as matrizes (esta é a propriedade distribuitiva, que você deve conhecer) A*v + I*v = 0 A matriz I mantém qualquer matriz, ou seja A*v + v = 0, daí A*v = - v Nós sabemos, da hipótese, que A^3 = k*A onde k é um número real diferente de 1. Isto é uma igualdade de matrizes. Se esta igualdade vale, podemos multiplicar os dois lados por uma matriz e a igualdade continará valendo (concordas?). Multiplique então pela nossa matriz (ou vetor) v. Deve valer: A^3*v = k*A*v(1) Vamos trabalhar com essas duas expressões. A primeira é o produto de quatro matrizes, a saber, A*A*A*v. Como o produto de matrizes é associativo (=tanto faz a ordem da multiplicação) podemos associá-las assim A*( A* (A*v) ) A expressão bem de dentro nós já calculamos. Daí a expressão fica A*(A * (-v) ) = - A*( A*v ) Novamente a expressão do meio já foi calculada, daí ela fica - A * ( A*v ) = - A * ( -v ) = A * v = - v Ou seja A^3*v = - v Por outro lado k*A*v = k * (A*v) = k*( - v) = - k*v Daí igualando as expressões em (1) - v = - k * v v = k * v Pense nesta expressão. Temos a matriz v à esquerda e a mesma matriz v à direita, só que com todos suas coordenadas multiplicadas por k. Para valer essa expressão ou a matriz (vetor) v é cheio de zeros (o que contraria o que dissemos de v lá no começo) ou então o numero real k é igual a 1 (o que contraria o enunciado). Conclusão: não pode valer a hipótese de que A + I é não inversível, pois ela nos conduz a uma contradição. Espero que agora você já tenha penetrado no cálculo vetorial superior. ;) Abração! Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Ih, desculpa aí mas eu sou soh vestibulando do ITA, ainda naum cheguei nessa parte de cálculo vetorial de curso superior :-P mas valeu mesmo assim Alexandre Daibert Eduardo Casagrande Stabel escreveu: Oi Alexandre. Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro. Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k 1. Agora suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível. Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí Av = -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v = A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica A^3u = kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v = -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado; (2) v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo. Conclusão: A + I tem de ser inversível. Abraço, Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Fábio, Olha, eu não
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Fábio, Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi direito, hehehe). :) Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh por o enunciado dela aki: Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este caminho?? talvez ajudasse em algo... Fábio Dias Moreira escreveu: -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST) Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de forma compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0. [...] Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema: Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução, tome sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se x aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos termos é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que p(x) != x. Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo. Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o termo pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se fizermos inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo é multiplicado por x^2, certamente não-negativos. Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao termo gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam. Agora considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0 ou 1 e P é um produtório de um núme s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior da matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m apropriadamente). Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar esses últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para formar novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem ser negativos de circulação. Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma? Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)? Se sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil. Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA? Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu mando para a lista. []s, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
De que ano é esta questão?? A. C. Morgado escreveu: Propuseram-me um problema que estah me perturbando um pouco. Para resolve-lo tive que usar fatos que nao sao do conhecimento usual de um (bom) aluno de ensino medio. Alguem conseguiria uma soluçao em nivel de vestibular do ITA? Problema: Prove que se a matriz real A eh anti-simetrica entao a matriz I + A eh invertível. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Caro Morgado, gostaria de pedir desculpas, mas naum tive acesso à questão original, a questão foi me passada desta forma, com a afirmação S(12000)=10 (com o sinal de igual!) por isso eu achei o problema extremamente estranho e esquisito. Gostaria se alguém tivesse o enunciado original da questão pudesse me passar para verificação da questão original, pois da forma q eu coloquei aos senhores, a questão está muito mal colocada. A. C. Morgado escreveu: Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Conforme o esboço de prova abaixo, S(n) nao pode ser inteiro para n1. Alem disso, me inclua fora do voces. Quando voce nao gostar de um problema, por favor, replique a mensagem original. O problema que introduzi na discussao eh muito interessante e foi de uma das primeiras OBM. Foi introduzido na discussao porque o Artur nao conhecia o resultado. Voce esta reclamando de um problema que uma leitura superficial do enunciado revelava conter hipoteses falsas. Meus comentarios a respeito do problema estao explicitos nas duas mensagens que enviei. Repetindo, eh impossivel, para n1, que S(n) seja inteiro. Alexandre Daibert wrote: Espera aí, vcs estão dizendo q a resposta do problema é q simplesmente não há reposta??? Não é por nada não, disseram q o problema é interessante, mas se eu entendi direito o problema é uma porcaria, está na cara q não existe S(k)=100 , mas ele dá a entender que quer um número q seja, digamos, muito próximo a 100. Gostaria de lançar outro problema então. O mesmo problema, mas agora utilizando ao invés de S(k)=100, S(k)o mais próximo de100. Alguém teria alguma solução?? Outra dúvida, S(12000) é realmente igual a 10 exatamente Espero alguma resposta dos colegas :) Alexandre Daibert A. C. Morgado escreveu: Tome a fração cujo denominador fatorado contem a maior potencia de 2, 2^p. Essa fraçao eh unica (prove por absurdo!). Some as fraçoes, reduzindo-as ao denominador que seja o MMC dos denominadores. Tal MMC serah (2^p)*impar . Constate, com imensa alegria, que o numerador da soma eh impar. Conclua. Artur Costa Steiner wrote: (nao sei se existe algum inteiro k que leve a S(k) = 100) Eu sei. Isso foi um problema de uma das primeiras OBM. Prove que nao existe n1 tal que soma de 1/k com k variando de 1 a n seja inteiro. O problema eh interessante, inclusive pporque parece ser mais dificil do que verdadeiramente eh. Oi Morgado! Poderia dar uma deixa de como provar isso? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE.......
Aonde eu consigo o download deste programa aí??? q programas q tem amis bom de matemática??? alguém pode me ajudar? MuriloRFL escreveu: segundo o maple, S(15092689) = 100.000 S(1.509268*10^43) Eh claro que S(12 000) nao eh igual a 10 exatamente, Alexandre. Segundo o Maple, S(12000) = 9,969919260. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Progressões: EXTREMAMENTE FODA!!!!!!! URGENTEEE!!!
Temos a sequência: S(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/n S(12000) = 10 qual a ordem de grandeza de k, sendo S(k) = 100 ? obs: acho q S(12000) não eh exatamente 10, mas um número próximo de 10 :) Espero respostas dos dignos companheiros Alexandre Daibert - Juiz de Fora - [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
