[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação

[Daniel Jelin]

Obrigado, Marcelo, abs!

Em qua., 25 de out. de 2023 00:24, Marcelo Gonda Stangler <
marcelo.gonda.stang...@gmail.com> escreveu:

> Este problema, com um pouco de uso de substituição pode ser mostrado como
> análogo a isolar em x: k=x-e^(-1/x+1)
> Tu precisas limitar o "quanto" estás disposto a fatorar, pois poderiamos
> isolar x deixando-o em função de f(x) tal que f(x)-e^(-1/f(x)+1)=k. Mas
> suspeito que não é isto que queres.
> Se estamos falando de isolar algebricamente x, podemos notar alguns pontos:
>   Exp(x) para valores não triviais causa transformações relativas a x na
> base minimal que contém x de extensão sobre A, o corpo dos algébricos.
>   Se k é algébrico não nulo, x deve ser transcedental, visto que e é
> transcedental e (-1/x+1) pertence ao corpo dos A[x], assim x ser algebráico
> seria um absurdo.
>   Se x é algébrico, à exceção de 1, raiz de -1/x+1, k será transcedental
> uma vez que e o é.
> Assim, à exceção do caso (k,x)=(0,1), não haverá soluções em que x e k são
> algebráicos. Então, ao isolar o x, obteriamos algo em relação a "e" ou "ln".
> Como k=x-e^(-1/x+1), a base minimal de extensão que contém k é a união
> desta base de x, e da base transformada de x por Exp().
> Assim, a base minimal de x teria que ser a união da base de k e da base
> transformada de k por Exp() (1) ou Ln() (2).
> (1) implica que ambos são algébricos e (k,x)=(0,1)
> (2) implica que BM(x) = BM(k) U BM(Ln(k)) = BM(x) U BM(Exp(x)) U
> BM(Ln(k)), também implica (k,x)=(0,1)
>
> Dessa forma provamos que é impossível 'isolar' o x em função de k.
>
> Em ter, 24 de out de 2023 21:15, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
>> reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
>> E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
>> Nesse caso, como se prova isso? abs.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] equação

[Daniel Jelin]

Caros, olá. Tenho a seguinte equação: 1/ln(x) - 1/(x-1) = k, com x e k
reais. Quero isolar o x, mas não consigo. Pergunto: alguém tem alguma dica?
E pergunto tb: é possível que simplesmente não haja meios de isolar o x?
Nesse caso, como se prova isso? abs.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] matemática recreativa

[Daniel Jelin]

amigos, além do prof. melo e souza, o grande malba tahan, sabem dizer que
outros nomes contribuíram para a matemática recreativa no brasil?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l]

[Daniel Jelin]

Tem uma prova famosa, q vale pra dois reais quaisquer a, b, a1. Assim, nb-na>1. Logo, existe algum
inteiro m entre nb e na, de modo que na escreveu:

> É possível provar que entre 2 IRRACIONAIS há sempre um racional?o
> contrário eu sei como fazer
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] probabilidade condicional

[Daniel Jelin]

Obrigado, Ralph!

Em qui, 24 de jun de 2021 23:55, Ralph Costa Teixeira 
escreveu:

> Sim, são falsas!
>
> Seu exemplo mata o problema! Seus eventos A e B são independentes, mas:
>
> Em (1), P (A | B e C) = 0, enquanto P(A | C) = 1/2.
> Em (2), P(A e B | C) = 0, enquanto P(A | C) = P (B | C) = 1/2.
>
> Em suma, quando uma nova informação (C) chega, eventos (A) e (B) que eram
> independentes podem deixar de sê-lo!
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Thu, Jun 24, 2021 at 9:57 PM Daniel Jelin 
> wrote:
>
>> Caros, duas dúvidas elementares sobre probabilidade condicional, quem
>> sabe possam me ajudar. Leio, em mais de um lugar, que:
>>
>> 1) Se A e B são independentes, então P(A | B e C) = P (A | C)
>>
>> A explicação parece fazer sentido: se A não depende de B, tanto que faz
>> que B seja dado ou não.
>>
>> Em conexão com esse problema, leio também que:
>>
>> 2) Se A e B são independentes, então P(A e B | C)=P(A | C)*P(B | C).
>>
>> A explicação, que tb parece boa, é que se P(A e B)=P(A)*P(B), então
>> podemos "condicionar" toda a igualdade a C, e ela ainda será verdadeira.
>>
>> Tenho tentado demonstrar essas afirmações, usando Bayes, mas não chego a
>> lugar nenhum... Além disso, penso que haja contra-exemplos simples pra
>> essas duas afirmações. Por exemplo: lanço dois dados e faço A={o primeiro
>> dado é par}, B={o segundo dado é par}, C={a soma dos dois dados é ímpar}. O
>> que acontece aqui? Essas afirmações fazem mesmo sentido?
>>
>> abs
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] probabilidade condicional

[Daniel Jelin]

Caros, duas dúvidas elementares sobre probabilidade condicional, quem sabe
possam me ajudar. Leio, em mais de um lugar, que:

1) Se A e B são independentes, então P(A | B e C) = P (A | C)

A explicação parece fazer sentido: se A não depende de B, tanto que faz que
B seja dado ou não.

Em conexão com esse problema, leio também que:

2) Se A e B são independentes, então P(A e B | C)=P(A | C)*P(B | C).

A explicação, que tb parece boa, é que se P(A e B)=P(A)*P(B), então podemos
"condicionar" toda a igualdade a C, e ela ainda será verdadeira.

Tenho tentado demonstrar essas afirmações, usando Bayes, mas não chego a
lugar nenhum... Além disso, penso que haja contra-exemplos simples pra
essas duas afirmações. Por exemplo: lanço dois dados e faço A={o primeiro
dado é par}, B={o segundo dado é par}, C={a soma dos dois dados é ímpar}. O
que acontece aqui? Essas afirmações fazem mesmo sentido?

abs

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] INFLAÇÂO MÁXIMA

[Daniel Jelin]

Curioso, pra mim deu muito perto, 17,6470...%

Resolvi a seguinte inequação, com x = 1 + (inflação):

1.1*1000x - (1.1*1000x - 1000)*0.4>=1000x
1.1 x - 0.44 x + 0.4 >= x
x<=0.4/0.34= 1.176470...

Parece simples. O que tá escapando aqui?

On Fri, Apr 23, 2021 at 11:23 AM Pedro Júnior 
wrote:

> Olá pessoal, acabei me enrolando nesse probleminha da Olimpíada Brasileira
> de Economia. Será que alguém pode me ajudar? Vai junto o gabarito da
> competição, isso foi em 2020.
>
> *01)* Um título comprado por mil reais promete pagar juros reais de 10%
> a.a. A alíquota de imposto é de 40%. Qual a inflação máxima no período para
> que não hajam perdas reais?
> Resp.: 17,62%
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Probabilidade

[Daniel Jelin]

Me parece que a interpretação dada não muda a resposta, se entendi direito.
Teríamos: 50% de chance de continuar na mesma posição (ponto pros dois ou
ponto pra ninguém), 25% de avançar (ponto pra um), 25% de recuar (ponto pro
adversário). Assim, acho que dá para usar o esquema do Ralph:
a=(1/4)*b+(1/4)*(1/2)+(1/2)*a
b=(1/4)+(1/4)*a+(1/2)*b
E resolvendo, temos os mesmos a=2/3 e b=5/6.

Ainda que as probabilidades de fazer e de não fazer o ponto fossem
diferentes, creio que dá na mesma. Seja x a probabilidade de A fazer 1
ponto, então, pelo enunciado, x também é a probabilidade de B fazer 1
ponto. Aí a probabilidade de A não fazer ponto é 1-x, e a de B não fazer
ponto são os mesmos 1-x. Então:

a=(x)*(1-x)*b + (1-x)*(x)*1/2 + (x)(x)*a+(1-x)*(1-x)*a
b=(x)*(1-x) + (1-x)*(x)*a + (x)(x)*b+(1-x)*(1-x)*b
E resolvendo, eliminamos x e voltamos a a=2/3 e b=5/6.

On Thu, Apr 8, 2021 at 8:27 PM  wrote:

> Este é um problema bastante interessante, contudo o seu enunciado, tal
> como está, apresenta uma falha: - É necessário fixar quais são os
> resultados possíveis numa determinada rodada do jogo! Dito assim, o
> enunciado admite, para cada rodada 4 possibilidades: (A=1, B=1); (A=1,
> B=0); (A=0, B=1); (A=0, B=0).
>
>
>
> *Albert Bouskelá*
>
> bousk...@gmail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  *Em nome de
> *Professor Vanderlei Nemitz
> *Enviada em:* quinta-feira, 8 de abril de 2021 14:34
> *Para:* OBM 
> *Assunto:* Re: [obm-l] Probabilidade
>
>
>
> Muito legal esse tipo de problema.
>
> Em que ano caiu, você sabe, Pacini?
>
>
>
> Em sáb., 3 de abr. de 2021 às 15:22, Pacini Bores 
> escreveu:
>
> Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta
> questão do Canguru.
>
> " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do
> oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A
> está 1 ponto a frente de B. Os jogadores  têm probabilidades iguais de
> obter 1 ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ?
>
> (A) 1/2   (B) 2/3  (C) 3/4   (D) 4/5  (E) 5/6
>
>
>
> O que vocês acham ?
>
>  Pacini
>
>
>
>
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Re: [obm-l] Artigo

[Daniel Jelin]

não sei ao certo, meu caro, mas, falando como professor (e leitor), suponho
que não. e não é tanto por ser muito ou pouco avançado. receio que o
assunto fuja às preocupações do ensino básico - mesmo que a sua prova seja
elementar. repara, nada contra provas matemáticas na escola, ao contrário.
acho importante mostrar para os alunos de onde vêm os teoremas, claro, mas:
apenas das propriedades que eles de fato usam; e apenas as demonstrações
que eles têm condição de acompanhar do princípio ao fim, sem que isso se
torne um fardo adicional. será o caso?

claro, algumas provas podem interessar ao professor mesmo que ele não tenha
a intenção de levá-la a todos os alunos. a irracionalidade de pi, talvez,
pra ficar no mesmo campo. leria com gosto uma investigação sobre a
irracionalidade de pi, passo a passo, com as armas da matemática do ensino
médio. tem isso? sei lá eu. mas a transcendência de pi? que tipo de
questão, que problema (escolar) esbarra na transcendência de pi? uma
sugestão: se vc puder mostrar que o professor deveria, sim, se importar com
isso, que questões importantes passam por aí, opa, então beleza, aí fica
mto legal, aí tem tudo a ver.

abs

On Tue, Mar 30, 2021 at 2:14 PM Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> wrote:

> Vcs acham que a revista RPM aceitaria uma prova para transcendência de pi,
> ou isso é algo avançado demais para revista?
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Daniel Jelin]

Não achei uma solução na linha régua e compasso. Segue uma tentativa por
trigonometria. Dado o triângulo ABC, seja x o ângulo BAC, seja y o ângulo
ABC. Queremos P no circuncírculo tal que PB+PC=PA. Então P deve ser tal que
AP intersecta BC. Assim formamos os triângulos ABP e ACP.

Os triângulos ABC, ABP e ACP estão inscritos na mesma circunferência, de
modo que:

PA/sen(ABP) = 2r
PB/sen(BAP) = 2r
PC/sen(CAP) = 2r

Seja alfa o ângulo CAP. Então:

ABP=CAP=alfa
BAP=x-alfa
ABP=y+alfa

E assim

PC=2r*sen(alfa)
PB=2r*sen(x-alfa)
PA=2r*sen(y+alfa)

Queremos PB+PC=PA, então:

2r*sen(x-alfa)+2r*sen(alfa)=2r*sen(y+alfa)
sen(x-alfa)+sen(alfa)=sen(y+alfa)
sen(x)*cos(alfa)-sen(alfa)*cos(x)+sen(alfa)=sen(y)*cos(alfa)+sen(alfa)*cos(y)

E pondo sen(alfa) e cos(alfa) em evidência:

sen(alfa)*(1-cos(x)-cos(y))=cos(alfa)*(sen(y)-sen(x))

E agora temos que:

tg(alfa)=(sen(y)-sen(x))/(1-cos(x)-cos(y))

Conhecendo CAP=alfa, achamos P, sob as condições:

0
wrote:

> Se o triângulo for equilátero, qualquer ponto do arco AB serve.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> > Em 10 de jun de 2020, à (s) 17:24, Luís Lopes 
> escreveu:
> >
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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Re: [obm-l] Probabilidade

[Daniel Jelin]

Que interessante! Pra mim deu isso tb, por outro caminho. Podemos ter: 0,
1, 2, 3, 4 ou 5 caras no máximo. 1 cara: podemos escolhemos 1 posição
qualquer dentre as 10; 2 caras: podemos escolher 2 posições de um total de
9, porque 1 posição entre caras deve ser garantido pra coroa; 3 caras:
escolhemos 3 posições de um total de 8, guardando 2 posições entre as
caras. 4 caras: escolhemos 4 posições de 7; 5 caras: escolhemos 5 de 6; e
pra 0 cara, claro, temos uma só opção. A chance de sair cara e coroa é a
mesma, 1/2, então temos:

(1/2)^10*(C10,1 + C9,2 + C8,3 + C7,4 + C6,5 + 1)=144/1024

On Wed, Jul 22, 2020 at 12:46 AM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Vou chamar coroa de C e cara de K. Vamos criar duas funcoes:
>
> f(n)=numero de sequências de n lançamentos sem CC, terminando com K.
> g(n)=numero de sequências de n lançamentos sem CC, terminando com C.
>
> Por exemplo:
> f(1)=1 (K); g(1)=1 (C); f(2)=2 (CK, KK); g(2)=1 (KC)...
>
> Pois bem, note que f(n+1)=f(n)+g(n) -- para a sequência de n+1 elementos
> terminar com K, basta que não haja CC nos n primeiros;
> Por outro lado, g(n+1)=f(n) -- para a sequência de n+1 elementos terminar
> com C, a sequência dos n primeiros (nao pode ter CC e tem que terminar com
> K).
>
> Juntando as coisas, temos f(n+1)=f(n)+f(n-1) -- Fibonacci! O que queremos
> deve ser (f(10)+g(10)) / 2^10. Mas g(10)=f(9), então queremos f(11)/1024.
>
> Bom, melhor fazer logo no braco:
> {f(n)} = 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...
> (Fibonacci, com um ligeiro "shift" pois nao começa com 1,1,...)
>
> Portanto, acho que a resposta deve ser 144/1024. Acertei?
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
> On Tue, Jul 21, 2020 at 10:33 PM marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> wrote:
>
>> Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de não sair
>> duas caras consecutivas?
>> Eu achei que fosse (3/4)^9, mas fui informado que a resposta não é essa.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

[Daniel Jelin]

Pra mim deu 91 também: C(13,3) - 13*C(6,2).
Acho que dá pra generalizar para polígonos regulares de 2n+1 lados: serão
C(2n+1,3) - (2n+1)*C(n,2) triângulos, que significa o total de triângulos
menos aqueles cujos vértices estão todos de uma mesma 'banda' do polígono.
abs,
Daniel


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On Thu, Jun 18, 2020 at 11:48 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
> vértices de P1, P2, ..., P13.
>
> Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar
> triângulos... Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma
> vez? P1P2P6 conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são
> **distintos**, mas neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria
> um múltiplo de 13, pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13
> rotações também, que seriam distintas).
>
> ---///---
>
> Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
> único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
> anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
> AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
> qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
> determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
> BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
> tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
> x+y+z=13.
>
> Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele
> seja acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema
> combinatório:
>
> "Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
> 1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
> Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
> "Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5
> satisfazendo 0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
> Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
> a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
> e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
> não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
> Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
> {a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
> Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
> {x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}
>
> ---///---
>
> Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
> cada vértice importa... Bom, basta notar que:
> a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos
> (tome um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
> b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
> ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
> pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
> dos números).
> (Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
> repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
> digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
> contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
> permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
> 3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
> Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
> 91? Errei algo?
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
>
> On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
> vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:
>
>> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
>> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
>> circunscrito ao polígono?
>>
>> A resposta é 36???
>>
>> At.te,
>>
>> Vitório
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Daniel Jelin]

Uma solução, braçal:

1) Começamos com 3 ingleses. Há 35 maneiras de colocar outros 6 cidadãos,
indistintamente, de modo a garantir que 2 deles estejam separando os três
ingleses: é uma combinação com repetição para escolher, entre 4
possibilidades, a posição de 4 indivíduos, ou seja, CR4,4 = C7,4 = 35.
Ilustrando os ingleses por um traço, são essas as maneiras:

0-1-1-4
0-1-2-3
0-1-3-2
0-1-4-1
0-1-5-0
0-2-1-3
0-2-2-2
0-2-3-1
0-2-4-0
0-3-1-2
0-3-2-1
0-3-3-0
0-4-1-1
0-4-2-0
0-5-1-0
1-1-1-3
1-1-2-2
1-1-3-1
1-1-4-0
1-2-1-1
1-2-2-1
1-2-3-0
1-3-1-1
1-3-2-0
1-4-1-0
2-1-1-2
2-1-2-1
2-1-3-0
2-2-1-1
2-2-2-0
2-3-1-0
3-1-1-1
3-1-2-0
4-1-1-0

2) Para cada uma das 35 maneiras acima, há um certo número de maneiras de
posicionar franceses (sem fazer distinção entre os franceses) e turcos (sem
fazer distinção entre os turcos):

Para o caso '0-1-1-4', por exemplo, temos o seguinte: 2 possibilidades para
colocar 4 cidadãos no fim da fila, de modo a manter separados franceses e
turcos ('francês-turco-francês-turco' ou 'turco-francês-turco-francês'); e
2 possibilidades para escolher a posição do terceiro cidadão turco e do
terceiro cidadão francês; ou seja, 2 x 2 = 4 possibilidades; Evidentemente,
também são 4 as possibilidades para os casos '1-4-1-0', '4-1-1-0',
'0-1-4-1', '0-4-1-1', '1-1-4-0'. Total: 6 x 4 = 24 possibilidades.

Para '0-1-2-3', temos o seguinte: 2 possibilidades para colocar 3 cidadãos
no fim da fila ('francês-turco-francês' ou 'turco-francês-turco'); 2
possibilidades para colocar 2 cidadãos juntos ('francês-turco' ou
'turco-francês') e uma possibilidade para colocar o turco ou francês que
sobrou. ou seja, 4 possibilidades. Como são doze os casos análogos
('1-3-2-0', '0-3-2-1', '2-1-3-0' etc.), temos 48 possibilidades.

E assim por diante:

Para '0-1-5-0', são 2 possibilidades e dois casos análogos ('0-1-5-0' e
'0-5-1-0'), então são 4 possibilidades.

Para '0-3-3-0', são 2 possibilidades - e o caso é único.

Para '0-2-2-2', são 8 possibilidades; há duas variações ('0-2-2-2' e
'2-2-2-0'), total: 16 possibilidades

Para '0-4-2-0', são 4 possibilidades; há duas variações ('0-4-2-0' e
'0-2-4-0'), total: 8 possiblidades

Para '1-1-1-3', são 6 possibilidades, há quatro variações ('1-1-1-3',
'1-1-3-1', '1-3-1-1' e '3-1-1-1'), total: 24 possibilidades

Para '1-1-2-2', são 8 possibilidades, há 6 variações ('1-1-2-2', '1-2-2-1',
'2-1-1-2', '2-2-1-1', '2-1-2-1' e '1-2-1-2'), total de 48 possibilidades.

3) Somando todas as possibilidades, temos 24+48+4+2+16+8+24+48=174
possibilidades.

4) Agora vamos permutar os três ingleses (6 possibilidades), os três turcos
(6 possibilidades) e os três franceses (6 possibilidades). Total: 216
possibilidades

5) Então temos 174 * 216 = 37584 possibilidades

On Fri, Mar 13, 2020 at 9:22 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Bom dia!
> Não sei se minha mensagem chegou para vocês.
> Por via das dúvidas, te encaminho.
>
> Alguém tem uma ideia para esse problema?
>
> Muito obrigado!
>
> De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3
> turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
>
>
> A resposta é 37584.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] A estranha forma de contagem do odômetro do carro de Joãozinho

[Daniel Jelin]

Achei 2020. Por inclusão/exclusão, somamos o total de múltiplos de 2, 3, 5,
7 menores que 8837; subtraímos o total de múltiplos de 2*3, 2*5, 2*7, 3*5,
3*7, 5*7; somamos o total de múltiplos de 2*3*5, 2*3*7, 2*5*7, 3*5*7; e
finalmente subtraímos o total de múltiplos de 2*3*5*7; e assim obtemos o
total de números que o odômetro pulou: 6817. Então são 2020 os números que
o odômetro marcou. abs



On Sun, Dec 15, 2019 at 6:34 PM jamil dasilva 
wrote:

> O odômetro do carro de Joãozinho registra a quilometragem com um defeito,
> sempre pulando múltiplos de 2, 3, 5 ou 7. Se agora está marcando 8837 km,
> quantos quilômetros ele já rodou desde que o comprou, quando marcava 0 km ?
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Contagem de Permutações

[Daniel Jelin]

Até chegarmos à marcação 2783915460, temos, se entendi bem:

2*9! (permutações começando com 0, 1)
6*8! (permutações começando com 20, 21, 23, 24, 25, 26)
6*7! (permutações começando com 270, 271, 273, 274, 275, 276)
2*6! (permutações começando com 2780, 2781)
5*5! (permutações começando com 27830, 27831, 27834, 27835, 27836)
1*4! (permutações começando com 278390)
2*3! (permutações começando com 2783910, 2783914)
1*2! (permutações começando com 27839150)
1*1! (permutações começando com 278391540)

Somando tudo, são 99 permutações. Então 2783915460 indica o km 100

On Mon, Nov 25, 2019 at 11:35 AM Jamil Silva  wrote:

> O odômetro de um carro tem exatamente dez dígitos e registra a
> quilometragem com um defeito, relacionando cada quilômetro rodado a uma e
> somente uma  das permutações dos dez dígitos em ordem estritamente
> crescente, conforme mostrado abaixo.
>
>  Quantos quilômetros esse carro já rodou se, atualmente, a marcação está
> em 2783915460 ?
>
> 1 km > 0123456789
> 2 km > 0123456798
> 3 km > 0123456879
> 4 km > 0123456897
> 5 km > 0123456978
> 6 km > 0123456987
> 7 km > 0123457689
> 8 km > 0123457698
> 9 km > 0123457869
> 10 km --> 0123457896
> 11 km --> 0123457968
> 12 km --> 0123457986
> 13 km --> 0123458679
> .
> .
> .
>
> ? km > 2783915460
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos.

[Daniel Jelin]

Achei 8 triângulos. Assim: seja c o lado maior, oposto ao ângulo C, e sejam
a e b os demais lados, com a maior ou igual a b; C é obtuso, então
-1 wrote:

> Perdão, precisam ser lados inteiros.
>
> Em sex., 22 de nov. de 2019 às 20:39, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Do jeito que está escrito, uma infinidade.
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> > Em 22 de nov de 2019, à(s) 19:18, Guilherme Abbehusen <
>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>> >
>> > 
>> > Olá,Â
>> >   Preciso de ajuda com a seguinte questão:Â
>> >
>> > Tendo em vista a leis dos Cossenos, marque a quantidade de triângulos
>> obtusângulos que podemos formar com lados menores do que 7.
>> > a) 6
>> > b) 7
>> > c) 8Â
>> > d) 9
>> > e) 10
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Área

[Daniel Jelin]

acho que podemos fazer o seguinte. sejam os pontos m a interseção de da'
com cd'; n a interseção de ab' com da'; o a interseção de bc' com ab'; e p
a de cd' com bc'. queremos a área de mnop. da' e bc' são paralelos, assim
como cd' e ab', então mnop é um paralelogramo

traçamos uma reta r paralela a bc' passando por b' e chamamos de f o ponto
em que r corta a reta que contém ab. e sejam i e j as interseções de d'b'
com, respectivamente, da' e bc'. então, os triângulos afb', d'im e d'jp são
semelhantes. sejam h a altura de abcd, h1 a altura de d'im, h2 a altura de
d'jp e h3 a altura de afb'. temos que:

af = ab + ab/4 = 5ab/4
d'i = ab/4
d'j = 3ab/4
h3 = h/2

por semelhança, h1=h/10 e h2=3h/10

a área de mijp (que escolha de letras...) é a área de d'jp menos a de d'im,
que é igual a (3ab/4 * h1 * 1/2) - (ab/4 * h2 * 1/2) = ab*h/10. a área de
mnop é a área de mijp + jino. mas mijp e jino são congruentes, então a área
pedida é ab*h/5 = 1/5, já que área de abcd é 1.

On Sun, Oct 27, 2019 at 11:44 AM gilberto azevedo 
wrote:

> Pra deixar claro, o ligamento dos pontos dessas interseções forma um
> quadrilátero, é a área deste que se quer descobrir.
>
> Em dom, 27 de out de 2019 11:31, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Area = 0, dado que é a intersecção de 4 segmentos. Logo, só pode ser um
>> segmento, um ponto ou vazia.
>>
>> Enviado do meu iPhone
>>
>> > Em 27 de out de 2019, à(s) 10:23, gilberto azevedo 
>> escreveu:
>> >
>> > 
>> > Dado um paralelogramo abcd de área 1 e a' , b' , c' , d' os pontos
>> médios de ab, bc, cd , ad respectivamente. Calcule a área da figura
>> formada pela intercessão de ab', cd' , da' , bc'.
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Daniel Jelin]

Ops, corrigindo, cos x é BP/l, não sobre 2. Abs
Em 25/10/2019 14:30, "Daniel Jelin"  escreveu:

> Uma solução alternativa nos reais, gente, aqui da minha turma do mestrado.
> Seja l o lado do triângulo. Seja x o ângulo APB. PAB é 90-x. PAQ é x-60.
> Cos(x)=BP/2. Sen (x) = a/l. Cos (x-60)=b/l. Resolvendo a diferença de
> arcos, temos BP=2b-3^1/2*a. Abs
> Em 25/10/2019 12:29, "Prof. Douglas Oliveira" <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Vamos fazer por complexos.
>>
>> 1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.
>>
>> 2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.
>>
>> 3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.
>>
>> 4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)
>>
>> Abraço
>> ProfDouglasOliveira
>>
>> Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
>>> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
>>> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>>>
>>>
>>> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
>>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>>>
>>>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b ,
>>>> na qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero.
>>>> Portanto, escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o
>>>> triângulo equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>>>
>>>> Agradeço desde já.
>>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Daniel Jelin]

Uma solução alternativa nos reais, gente, aqui da minha turma do mestrado.
Seja l o lado do triângulo. Seja x o ângulo APB. PAB é 90-x. PAQ é x-60.
Cos(x)=BP/2. Sen (x) = a/l. Cos (x-60)=b/l. Resolvendo a diferença de
arcos, temos BP=2b-3^1/2*a. Abs
Em 25/10/2019 12:29, "Prof. Douglas Oliveira" 
escreveu:

> Vamos fazer por complexos.
>
> 1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.
>
> 2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.
>
> 3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.
>
> 4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)
>
> Abraço
> ProfDouglasOliveira
>
> Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>
>> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
>> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
>> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>>
>>
>> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
>> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>>
>>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b , na
>>> qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero. Portanto,
>>> escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o triângulo
>>> equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] PROBLEMA

[Daniel Jelin]

queremos fazer com que cada umas das 12 caixas indique um conjunto único de
outras 4 caixas (aquelas que o mágico irá abrir) de tal modo que o par de
caixas que contenham as moedas seja uma das 6 combinações dos 4 elementos,
2 a 2, desse conjunto. vamos imaginar as caixas numeradas de 1 a 12.

são 12 caixas. então serão 12 conjuntos, cada qual com 6 combinações
possíveis. então serão 72 combinações. como há 66 maneiras de escolher um
par de caixas entre 12 delas, é preciso que nossas 72 combinações tenham no
máximo 6 repetições - ou então não cobriremos todas os pares possíveis.

conseguiremos todas as combinações necessárias se cada conjunto de 4
números for montado de tal forma que as diferenças entre seus elementos
componham um sistema de restos módulo 12, o que pode ser feito, por
exemplo, tomando as caixas x + 1, x + 2, x + 4 e x + 8 (mod 12). as
diferenças entre esses elementos, importando a ordem, vão desde o 1 até o
11 (mod 12). conforme variamos o x, garantimos a variedade de combinações
(e as repetições antes mencionadas serão a dos pares de elementos mod 6).

ao assistente do mágico, caberá escolher a caixa x. ao mágico, caberá abrir
as caixas x + 1, x + 2, x + 4 e x + 8. assim, por exemplo, se o assistente
escolhe a caixa x = 3, essa é a senha para o mágico abrir as caixas 4, 5, 7
e 11. falta combinar o que é x.

sejam a e b os números das caixas que contêm as moedas. e seja b > a. o que
o assistente tem a fazer é verificar a diferença (b - a). seguindo nosso
sistema de restos, se (b-a) for 1, 3 ou 7, ele deve apontar a caixa x = a -
1 (mod 12) - lembrando que 1, 3 e 7 são justamente as diferenças (mod 12)
de [(x+2)-(x+1)], [(x+4)-(x+1)] e [(x+8)-(x+1)]. se (b - a) for 2, 6 ou 11,
o assistente deve apontar a caixa x = a - 2 (mod 12) - lembrando que 2, 6 e
11 são as diferenças (mod 12) de [(x+4)-(x+2)], [(x+8)-(x+2)] e
[(x+1)-(x+2)]). se (b - a) for 4, 9 ou 10, deve-se apontar a caixa x = a -
4 (mod 12) - lembrando que 4, 9 e 10 são justamente as diferenças
[(x+8)-(x+4)], [(x+1)-(x+4)] e [(x+2)-(x+4)]). e, finalmente, se (b - a)
for 5, 6 ou 8, aponta-se a caixa x = a - 8 (mod 12). - lembrando que 5, 6 e
8 são as diferenças [(x+1)-(x+8)], [(x+2)-(x+8)] e [(x+4)-(x+8)]). o mágico
completa o número abrindo x+1, x+2, x+4 e x+8 (mod 12).

abs

On Tue, Sep 3, 2019 at 7:06 PM  wrote:

> Problema
>
> Um mágico e seu assistente realizam uma mágica da maneira seguinte. Há 12
> caixas vazias e fechadas, colocadas em fila. O mágico sai da sala e uma
> pessoa do público escolhe duas caixas e esconde em cada uma delas uma
> moeda, deixando a fila de caixas da mesma forma como era, mas o assistente
> sabe quais são as duas caixas que têm moedas. O mágico retorna para a sala
> e o assistente escolhe uma caixa que ele sabe que está vazia. Das
> restantes, o mágico então escolhe quatro caixas que são abertas
> simultaneamente. O objetivo do mágico é que, entre essas quatro caixas,
> duas contenham as moedas.
>
> Desenvolva um método que permita que o mágico e seu assistente realizem a
> mágica com sucesso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] algebra

[Daniel Jelin]

Deve haver um jeito mais elegante, mas dá pra fazer por substituição:

(1) x=(8-y)/(1+y)
(2) y=(15-z)/(1+z)
(3) z=(35-x)/(1+x)
(4) Com (1) e (3), achamos z=3+4y
(5) De volta a y + z + yz = 15, e sabendo que y é positivo, achamos y = 1
(6) Então z = 7 e x = 7/2
(7) Então xyz + x + y + z = 49/2 + 7/2 + 1 + 7 = 36

On Fri, Feb 15, 2019 at 7:54 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> assuma que x, y, z são numeros positivos tais que satisfazem as equações
> abaixo . Determine o valor de xyz + x+y+z
>
> x+y+xy = 8
> y+z+yz = 15
> z+x+ zx = 35
>
> Eu encontrei  xyz + x+y+z + xy +xz + yz = 71, mas...
> o gabarito diz que a resposta é 36
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Quadrilátero

[Daniel Jelin]

Alternativamente, se o lado que mede 2 for oposto ao que mede 4, teríamos:
x^2 = 16 + 4 - 9 = 11. O que faz pensar se não existe uma solução que
contemple simultaneamente as duas respostas, será?

On Mon, Feb 11, 2019 at 8:22 AM Vinícius Raimundo 
wrote:

> Considere os vértices do quadrilátero sendo A, B, C e D. Com AB=3, BC=2,
> CD=4 e DA=x
>
> Tome ainda P sendo o encontro das diagonais do quadrilátero. Então:
>
> PA^2 + PB^2=9  (1)
> PB^2 + PC^2=4  (2)
> PC^2 + PD^2=16  (3)
> PD^2 + PA^2=x^2  (4)
>
> Fazendo (1)+(3)-(2), temos:
> PD^2 + PA^2=16+9-4 =>
> => x^2=21
>
> Em dom, 10 de fev de 2019 às 20:28, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Um quadrilátero tem diagonais perpendiculares e as medidas de três dos
>> seus lados são 2, 3 e 4. A medida do outro lado pode ser:
>> a) raiz(20)  b) raiz(21)  C) raiz(22) d) raiz(23) e) nda
>>
>> --
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>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] combinatória: média de ônibus diferentes

[Daniel Jelin]

Caros, td bem? achei o problema abaixo em um site aparentemente abandonado.
ainda é possível checar a resposta, mas não se inscrever para conferir ou
discutir soluções. enfim, tive um bom trabalho pra chegar na resposta dada
como certa (29.37), e só o fiz com muita ajuda do computador, por isso
gostaria de saber se alguém tem uma ideia elegante pra questão. a minha,
braçal demais, foi primeiro calcular 40 probabilidades: de pegar apenas 1
ônibus; de pegar exatamente 2 ônibus; exatamente 3, exatamente 4... até 40;
depois, multiplicar cada probabilidade de pegar n ônibus por n; e por fim
somar todos esses produtos. alguém?

"Há 60 ônibus, numerados de 1 a 60, e cada dia Thelma dirige um deles, por
sorteio. Após 40 dias de trabalho, na média quantos ônibus diferentes
Thelma terá dirigido? Exemplo: se todo dia couber a ela, por sorteio, o
ônibus número 9, então ela terá dirigido apenas um ônibus; se ao longo dos
40 dias acontecer de cair sempre o 9 ou 3 no sorteio, então ela terá
dirigido apenas dois ônibus. arredonde sua resposta para duas casas
decimais"

o problema original:

http://projecteureka.org/problem/question/1207

Thelma drives shuttle buses.  There are 60 of them in the yard numbered 1
to 60. Each day that she works she is randomly assigned a bus.  After 40
days of working, on average how many different buses has she driven?  For
example:  If she just happened to be assigned bus number 9 each of her 40
days then she will have only driven one bus, or if she just happened to be
assigned bus number 9 or bus number 3 on each of her 40 days she will have
driven only 2 different buses.
Round your answer to 2 decimal places.

-- 
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