Re: [obm-l] questão 4 de matemática
Última conta errada (der) são 12 horas mesmo. Só agora vi a outra resposta. Em 13/07/07, J. Renan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Rafael, Quando você usa várias torneiras em conjunto, para calcular uma equivalente pode usar média harmônica global (como se faz com capacitores, se não me engano). Se n torneiras, cada uma com vazão Z(x) (Volume / Tempo) completam um recipiente de volume V em um tempo t, a vazão total é a soma das vazões de cada uma das torneiras Z(1) + Z(2) + ... + Z(n) = V/T - 1/T(1) + 1/T(2) + ... + 1/T(n) = 1/T No caso desse exercício 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/10 1/T(D) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/15 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(D) = 1/20 1/T(A) + 1/T(C) + 1/T(D) = 1/30 Somando tudo.. 3[ 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) + 1/T(D) ] = 6/60 + 4/60 + 3/60 + 2/60 1/T = 15/90 - T = 6h Acho que é isso.. não entendo muito sobre outras utilizações da média harmônica, mas sei que é conveniente nesse caso. Abraços, J. Renan Em 12/07/07, rafael carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai: Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu ilógicas 12 horas) _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] questão 4 de matemática
Oi Rafael, Quando você usa várias torneiras em conjunto, para calcular uma equivalente pode usar média harmônica global (como se faz com capacitores, se não me engano). Se n torneiras, cada uma com vazão Z(x) (Volume / Tempo) completam um recipiente de volume V em um tempo t, a vazão total é a soma das vazões de cada uma das torneiras Z(1) + Z(2) + ... + Z(n) = V/T - 1/T(1) + 1/T(2) + ... + 1/T(n) = 1/T No caso desse exercício 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/10 1/T(D) + 1/T(B) + 1/T(C) = 1/15 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(D) = 1/20 1/T(A) + 1/T(C) + 1/T(D) = 1/30 Somando tudo.. 3[ 1/T(A) + 1/T(B) + 1/T(C) + 1/T(D) ] = 6/60 + 4/60 + 3/60 + 2/60 1/T = 15/90 - T = 6h Acho que é isso.. não entendo muito sobre outras utilizações da média harmônica, mas sei que é conveniente nesse caso. Abraços, J. Renan Em 12/07/07, rafael carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai: Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu ilógicas 12 horas) _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão 4 de matemática (ilógica resposta?)
Essa torneira D parece mais um ralo, apropósito. A vazão dela é negativa, não é? Em 13/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ai que saudades destes problemas ! Ai vai: Em uma hora, temos: A, B e C enchem 1/10 do tanque B, C e D enchem 1/15 do tanque A, B e D enchem 1/20 do tanque A, C e D enchem 1/30 do tanque. Logo em 1 hora 3 torneiras A, 3 B, 3 C 3 3 D enchem 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/30 = 1/4 do tanque, ou seja as torneiras A, B, C e D (apenas uma de cada tipo) enchem 1/12 do tanque. Ou seja, sua ilógica resposta está lógica e certa :-) Abraços, Nehab PS: só no gostei do segundo artigo indefinido um tanque Ficaria melhor se fosse o tanque... At 14:55 12/7/2007, you wrote: nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai: Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu ilógicas 12 horas) _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Derivabilidade e Continuidade
Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Re: Derivabilidade e Continuidade
Pessoal, com a ajuda do Salhab resolvi o exercício Em 17/05/07, J. Renan [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, peço ajuda da lista na resolução do seguinte exercício 1. Seja g:R ! R uma funçãoo contínua, com g(0) = 2 e tal que g não é derivável em x = 0. (a) Considere a função f(x) = x g(x). Calcule f'(0), se existir. Caso contrário, justifique. (b) Seja f(x) = x(1 + e| x|). Calcule f'(0), se existir. -- Abraços, J.Renan -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais
Olá à todos! Alguém conhece uma fórmula fechada para (Sum de i=1,n) i^k? Para k = 0, temos S = n Para k =1, temos uma PA S = (1+ n)*n/2 Para k=2 pensei no seguinte.. (1-1)^3 = 1^3 - 3*1^2 + 3*1 - 1 (2-1)^3 = 2^3 -3*2^3 + 3*2 -1 ... (n-1)^3 = n^3 - 3*n^2 + 3*n -1 Somando essas n equações percebemos que o primeiro termo das. eq. da direita sempre cancelam o primeiro termo da próxima equação: 0 = -3(S) + 3(Spa) - n + n^3 Desenvolvendo o raciocínio chegamos na conhecida fórmula S = (n+1)(2n+1)*n/6 Para k=3 se ao invés de utilizarmos (n-1)^3, usarmos (n-1)^4 também chegamos na expressão correspondente (S = [(1+n)*n/2]^2) Dúvida: Podemos sempre utilizar uma diferença entre n e 1 e elevar a k+1 afim de achar o somatório das potências dos n naturais elevados a k? Isso me pareceu bastante intuitivo, mas o problema é que a sequência ficaria em função de S(k-1). Como tirar essa recursividade? -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] Corpo de caracteristica zero
Certo, agora compreendi o exercício. Faltava o conceito de corpo de frações mesmo. Muito obrigado Claudio e Jones. Abraços Em 23/02/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja K um corpo de caracteristica zero (ou seja, para todo n em N, 1_k+1_k+...+1_k 0_k (n parcelas)). K contem 0_k e 1_k, por definicao de corpo. Agora, se definirmos n_k = 1_k + 1_k + ... + 1_k (n parcelas), veremos que K contem uma copia de N. Alem disso, n_k em K == -n_k em K == K contem uma copia de Z. Finalmente, m_k em K e n_k em K (n_k 0_k) == m_k/n_k em K == K contem uma copia de Q. Para corpo de fracoes, digite field of fractions ou field of quotients no google e veja o que aparece no Mathworld ou na Wikipedia. []s, Claudio. - Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 23 Feb 2007 06:42:38 -0200 Assunto: [obm-l] Corpo de caracteristica zero Olá, faz alguns dias que estou tentando resolver essa questão do Hoffman, Kunze, Linear Algebra: 8.Prove that each field of characteristic zero contains a copy of the rational number field. A prova que me foi apresentada é a seguinte: Seja f:Z-C tal que f(1_Z) = 1_C. temos que f é o isomorfismo canonico que leva Z em uma copia de Z contido em C, com C é um corpo contendo Z', então C contem o corpo de frações de Z', que é isomorfo a Q. Mas não entendi a prova por não saber o que significa corpo de frações. Poderiam dar uma esclarecida na prova e no conceito de corpo de frações? Desde já agradeço -- Abraços, J.Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Corpo de caracteristica zero
Olá, faz alguns dias que estou tentando resolver essa questão do Hoffman, Kunze, Linear Algebra: 8.Prove that each field of characteristic zero contains a copy of the rational number field. A prova que me foi apresentada é a seguinte: Seja f:Z-C tal que f(1_Z) = 1_C. temos que f é o isomorfismo canonico que leva Z em uma copia de Z contido em C, com C é um corpo contendo Z', então C contem o corpo de frações de Z', que é isomorfo a Q. Mas não entendi a prova por não saber o que significa corpo de frações. Poderiam dar uma esclarecida na prova e no conceito de corpo de frações? Desde já agradeço -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] Equações ITA
O Danilo apontou uma passagem errada, distração.. precisa inverter a resposta rs Abraços Em 17/02/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Bruna, Renan já mandou a solução, mas gostaria de lembrar que já foi abordada nesta lista outra forma de resolver este tipo de questão (em vários emails), que pode ser útil para você: Se dois polinômios possuem raízes em comum, elas coincidem com as raízes de seu mdc. Assim se você souber calcular o mdc entre dois polinômios (que segue a mesma estratégia de mdc entre inteiros)... é um caminho interessante e mais geral. Abraços, Nehab At 20:56 16/2/2007, you wrote: As equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + nbx + 12 = 0, onde a e b são constantes reais e n um inteiro têm duas raízes comuns. Determine nb. -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Demonstração sobre os números naturais
Olá lista! Vi um problema que achei realmente interessante: Mostre que todo inteiro positivo é uma soma de um ou mais números na forma 2^a * 3^b, se a e b são inteiros não-negativos e nenhum dos termos da soma divide o(s) outro(s) Parece que foi originalmente proposto por Paul Erdös. -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] Prova ITA 2007???
Olá, eu fiz a prova (alias, o resultado sai amanhã) você pode conferi-la no site dos grandes cursinhos: Objetivo, COC, Poliedro, ETAPA, etc, etc.. http://www.sistemapoliedro.com.br/new/interna.aspx?Face=2006/resolve/ita/ita2mat.htm Em 27/12/06, cfgauss77 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Gostaria de saber se alguém tem a prova de matemática do ITA - 2007 digitada ou scaneada. O pessoal do ITA são enrolados na publicação das provas. Agradeço!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Matemática Financeira (URGENTE)
Certo Marcelo, acho que entendi. Muito obrigado! Em 02/12/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, bom, com desconto de 6%, o preco vai pra 2820 reais... dando 1500 na hora, sua divida ficaria em 1320, mas, vc tem q pagar 1500 passado 1 mes, isto é, foi cobrado um juros de (1500 - 1320)/1320 = 13,63% nao entendo quase nada de matematica financeira, e nem sei c meus calculos estao corretos, porem, eu imagino que seja assim, se vc tem um investimento com taxa de rendimento superior a 13,63%, vc paga 1500 na entrada e investe os 1320 ... no final do mes, esses seus 1320 viraram um valor maior que 1500, entao vc resgata o dinheiro, paga a segunda parcela e fica com o q sobrou pra vc... isto é, valeu a pena comprar a prazo.. agora, se vc nao tem esse investimento, é melhor pagar a vista! abraços, Salhab - Original Message - *From:* J. Renan [EMAIL PROTECTED] *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Friday, December 01, 2006 11:51 PM *Subject:* [obm-l] Matemática Financeira (URGENTE) Oi pessoal.. estou até envergonhado de enviar esse exercício pra lista por parecer ser tão trivial.. infelizmente eu não entendo absolutamente nada de matemática financeira e preciso fazer um investimento rapidamente.. Uma loja cobra 3.000 reais em um notebook, dividindo em duas vezes de 1.500 reais (sendo que devemos dar um pagamento na hora da compra). Se o cliente optar por comprar a vista ele recebe um desconto de 6%. Dessa forma, qual é a taxa de juros mensal? PS: Comprar a prazo vai valer a pena só no caso de eu ter uma fonta de renda com taxa de rendimento superior a essa taxa de juros, certo? Agradeço qualquer ajuda.. preciso urgentemente saber isso. -- Abraços, J.Renan -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.3/562 - Release Date: 1/12/2006 -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Matemática Financeira (URGENTE)
Oi pessoal.. estou até envergonhado de enviar esse exercício pra lista por parecer ser tão trivial.. infelizmente eu não entendo absolutamente nada de matemática financeira e preciso fazer um investimento rapidamente.. Uma loja cobra 3.000 reais em um notebook, dividindo em duas vezes de 1.500reais (sendo que devemos dar um pagamento na hora da compra). Se o cliente optar por comprar a vista ele recebe um desconto de 6%. Dessa forma, qual é a taxa de juros mensal? PS: Comprar a prazo vai valer a pena só no caso de eu ter uma fonta de renda com taxa de rendimento superior a essa taxa de juros, certo? Agradeço qualquer ajuda.. preciso urgentemente saber isso. -- Abraços, J.Renan
[obm-l] Função Logarítmica?
Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2 c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Isso serve de prova para a minha proposição, né? Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Se f(y) = k * ln(y) então f(y) = log [e^1/k] (y)Ou seja, podemos transformar a base de acordo com k..Ajudou sim Salhab, abraços! Em 02/11/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, veja bem: f(xy) = f(x) + f(y) tomando y = 1, temos: f(x) = f(x) + f(1) .. logo: f(1) = 0 derivando em relacao a x, temos: y f'(xy) = f'(x) fazendo x = 1, temos: y f'(y) = f'(1) = k logo: f'(y) = k / y ... integrando, temos: f(y) = k * ln(y) + c mas f(1) = 0, logo: f(1) = k * ln(1) + c = 0 logo: c = 0 assim: f(y) = k * ln(y), ou, na base 10, temos: f(y) = (k / log(e)) * log(y) ... onde k/log(e) é uma nova contante.. espero ter ajudado, abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Olá novamente,O erro que você cometeu foi o seguinte f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4)O enunciado diz:Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1)O meu problema foi justamente nessa parte, se fosse dessa forma simplificaria um pouco... mas acontece que ele não define f (a + b) =\ Bom, desenvolvendo essa parte ficariaf(x1*x2*x3*x4) - f(x2+1) + f(x3+1) + f(x4+1) +f(x5+1)...a partir daí não consigo lidar com a função com a soma dentro =\Abraços e obrigado pela ajuda J.RenanEm 03/11/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá novamente, já em relacao a questao, vamos resolve-la sem saber que a funcao é o log, ok? por inducao, mostramos que f(x1 * x2 * x3 * ... * xn) = Soma(i=1 até n) f(xi) f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) = f(x1 * x2 * x3 * x4 * x5) eles estao em PG, entao: xn = x1 * q^(n-1) ... logo: x1 * x2 * x3 * x4 * x5 = (x1)^5 * q^(1 + 2 + 3 + 4) = (x1)^5 * q^10 assim: f[(x1)^5* q^10] = f[(x1)^5] + f(q^10) = 5f(x1) + 10f(q) = 12 * f(2) + 2f(x1) logo: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) agora: f(x1/x2) + f(x2/x3) + f(x3/x4) + f(x4/x5) = f(x1/x5) = f(1/q^4) mas, sabemos que f(xy) = f(x) + f(y) ... tomando y = 1/x, temos: f(1) = f(x) + f(1/x) = 0 .. f(1/x) = -f(x) logo: f(1/q^4) = -f(q^4) = -4 f(q) assim: -4 f(q) = -2 f(2x1) = -2[f(2) + f(x1)] 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) assim, temos um sistema: 3 f(x1) + 10 f(q) = f(2) 2 f(x1) - 4 f(q) = -2 f(2) resolvendo, temos: [ 4 * 3+10 *2 ] f(x1) = [ 4 - 20 ] f(2) .. assim: f(x1) = -16/32 f(2) = -f(2)/2 = f(1/2) / 2 logo: 2f(x1) = f(x1^2) = f(1/2) como f é injetiva, temos: x1^2 = 1/2 ... x1 = sqrt(2)/2 tenho certeza que errei alguma conta... po.. ultimamente tenho feito bastante isso... mas acho que deu pra entender a ideia.. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 02, 2006 11:40 PM Subject: [obm-l] Função Logarítmica? Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0) Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando) Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistemalog[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2 X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =) Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!-- Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Função Logarítmica?
Ok! Perfeita a solução Salhab... (da 2)Um colega meu (que também participa da lista) fez essa questão mas não conseguimos explicar o que ele assumiu para faze-la (que x-2y=1 e x+2y=4)Muito obrigado! Caro Nehab, O fato dela ter contradomínio e domínio diferentes já não garante que ela não é derivável (por não ser inversível/bijetora)? Qual é a solução que você conhece?Essa, como disse anteriormente, por ter se desdobrado naquela soma, não faço a mímina idéia de como fazer. Obrigado pelas respostas,Abraços.Em 03/11/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Renan e SalhabOk, a solução é interessante e clássica, se o enunciado informasse que a função f é derivável...Se não o for, o que vocês fariam?Abração,NehabAt 22:40 2/11/2006, you wrote:Por favor, peço ajuda na resolução das seguintes questões:1seja a função f uma função injetora, com domínio em reais positivos e controdominio os reais, tal quef(1) = 0f(xy) = f(x) + f(y) (x0 y0)Se x1,x2,x3,x4,x5 formam uma pg (todos positivos)e sabendo queSoma (i =1 até 5) f(Xi) = 12*f(2) + 2f(x1) e Soma (i=1 até 4) f(Xi/(Xi+1)) = -2f(2x1), então o valor de x1 éa) -2b) 2c) 3d) 4e) 1Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tiveidéias para resolver essa2 (notação log[a][b} a é a base e b logaritmando)Se (Xo,Yo) é uma solução real do sistema log[2][X+Y] - log[3][X-2Y] = 2X² - 4Y² = 4Então Xo + Yo valea) 7/4b) 9/4c) 11/4d) 13/4e) 17/4A segunda questão consegui fazer chutando valores (Inspeção?). Infelizmente não é um método muito confiável =)Sugestões? Qualquer ajuda é bem vinda.A lista tem ajudado bastante, obrigado pessoal!--Abraços,Jonas Renan =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Introdução a Álgebra Linear
Olá amigos da lista.Tendo resolvido vários exercícios de matrizes e sistemas de equações de forma longa e torturante (rs) resolvi procurar soluções alternativas, mais elegantes e mais rápidas. Infelizmente, todas elas caiam em álgebra linear. Somando isso ao fato de que Álgebra Linear é uma das matérias do meu primeiro ano de faculdade, resolvi adiantar esse estudo. Bom, a dúvida é a seguinte, quais livros/sites são recomendados para se ter uma boa introdução a Álgebra Linear? Tive algumas recomendaçoes:Linear Algebra do HoffmanPalestras do Gilbert Strang no site do MIT OpenCourseWare ( http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/index.htm )Comecei a ler esse livro do Hoffman, mas realmente não é o que eu chamo de leitura fácil.Alguém sugere alguma coisa? Agradeço qualquer comentário / sugestão.--Jonas Renan
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Foi exatamente essa a sensação: foi muita mágica. Por mais que eu tenha tentado, não consegui encontrar uma generalização. Mas vendo agora que, se:(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+... Então, querendo filtrar os pares,é natural utilizar i, pelo seu período, por assim dizer.E também pareceu bem razoável utilizar uma raíz cúbida da unidade nesse caso que você exemplificou. Acho que é o tipo de coisa que aprendemos apenas com o tempo e treino.. Vou fazer mais alguns exercícios desse tipo e ver se entendi bem a essência do método. Ok, obrigado Johann pela explicação e Iuri pela resposta.2006/10/31, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] :Mas a ideia dele e extremamente geral!Beleza não está só nas cartadas mágicas e nos coelhos tirados da cartola, mas na generalização de boas idéias.Talvez voce pense que e muito magica pois ele nao explicou de onde veio o numero imaginario. Mas esta tecnica e bastante famosa e manjada, por assim dizer.Por exemplo, como se calculariaC(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+C(n,9)+C(n,12)+C(n,15)+...Bem, se voce der uma olhada na expressao(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+... sentir-se-á entado a usá-la. Mas temos que filtrar os coeficientes multiplos de 3 dela.Que tal usar uma raiz cubica da unidade (um complexo w tal que w^3=1)?Temos algumas propriedades legais dele, mas a mais util e esta: w^2+w+1=0 Apenas para escrever menos nas proximas contas, seja S0 = C(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+C(n,9)+C(n,12)+C(n,15)+... S1 = C(n,1)+C(n,4)+C(n,7)+C(n,10)+C(n,13)+C(n,16)+... S2 = C(n,2)+C(n,5)+C(n,8)+C(n,11)+C(n,14)+C(n,17)+... Substituindo...(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...(1+w)^n=C(n,0)+C(n,1)w^1+C(n,2)w^2+C(n,3)w^3+...(1+w^2)^n=C(n,0)+C(n,1)w^2+C(n,2)w^4+C(n,3)w^6+... Reescrevendo as equacoes, veja que2^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+... (-w^2)^n=C(n,0)+C(n,1)w^1+C(n,2)w^2+C(n,3)+... (-w)^n=C(n,0)+C(n,1)w^2+C(n,2)w^1+C(n,3)+... Em nome dos Si que eu fiz antes,2^n = S0+S1 +S2 (-w^2)^n = S0+S1w^1+S2w^2 (-w)^n = S0+S1w^2+S2w^1E e so resolver um sisteminha !P.S.: Eu posso ter errado as contas acima e mesmo ter desconsiderado alguns casinhos extremos (como n se nao-multiplo de 3) mas a ideia e essa. Bem, deu pra entende algo depois disso? :P De todo modo e so retornar a ligacao, digo, mail :P 2006/10/30, J. Renan [EMAIL PROTECTED]: Ok!Entendi todos os passos da sua resposta, obrigado! A sua saída, Iuri, foi muito bonita, porém, serve apenas pra esse caso extremamente particular... existe alguma forma mais geral de se resolver esse tipo de exercício? 2006/10/29, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Desenvolvendo (1+i)^n vc tem C(n,0) + i*C(n,1) -C(n,2) -i*C(n,3) + C(n,4)... Ou seja, a parte real do (1+i)^n é a soma que vc quer.Re[(1+i)^n] = 1 - C(n,2) + C(n,4) - ...(1+i)^n = sqrt(2)^n*cis(45º*n)=sqrt(2)^n*cos(45n) + i*sqrt(2)^n*sen(45), e portanto a parte real é sqrt(2)^n*cos(45ºn). Substituindo n por 4n, temos a soma q vc quer: 1 - C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 = sqrt(2)^4n*cos(45*4n) = sqrt(2)^4n*cos(180n) =2^(2n)*cos(180n) cos(180n) = (-1)^nS=2^(2n)*(-1)^nLetra AIuriOn 10/29/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá! Peço ajuda na resolução do seguinte exercício..Para cada n pertencente aos naturais, temos que; 1 - C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 é igual a:a) (-1)^n*2^(2n)b)2^(2n)c)(-1)^n*2^n d)(-1)^(n+1)*2^(2n)e)(-1)^(n+1)*2^n** C(x,y) denota a combinação de x elementos tomados y a y.Pensei em fazer o seguinte... organizar a soma e a subtração e substituir o primeiro 1 por C(4n,0) e o último por C(4n,4n), ai ficamos com: S = C(4n,0) + C(4n,4) + C(4n,8) + ... + C(4n,4n) - [ C(4n,2) + C(4n,6) + C(4n,10) + ... + C (4n,4n-2) ]Não consigo aplicar aquele conceito da soma de uma linha no triângulo de pascal. Cheguei até onde consegui.. qualquer ajuda seria de grande valia! Abraços,Jonas Renan -- Um Grande Abraço,Jonas Renan -- Ideas are bulletproof.V -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos
Ok, obrigado Iuri, Nehab e Salhab!Salhab encontrei a mesma resposta utilizando a idéia do Iuri e do Nehab, acho que teve algum errinho de conta ali mesmo.e mais uma vez, muito obrigado!Abraços, J.RenanEm 28/10/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, a raiz dupla tambem eh raiz da derivada do polinomio, entao: x^2 + 6x - 2 = 0 raizes: [ -6 +- raiz(36 + 8) ] /2 = [ -6 +- 2sqrt(11) ] / 2 = -3 +- sqrt(11) bom, 3 sqrt(11) 4 ... logo, a raiz sqrt(11) - 3 está em ]0, 1[... substituindo no polinomio original, temos: [ 11sqrt(11)+ 3*9*sqrt(11) - 3*3*11 - 27 ] + 3 [11 - 6sqrt(11) + 9] - 2 [sqrt(11) - 3] + d = 0 18sqrt(11) - 60 + d = 0 d = 60 - 18sqrt(11) da uma conferida nas contas, já que nao bateu com sua resposta... abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 27, 2006 11:13 PM Subject: [obm-l] Raízes duplas em intervalos Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a (I)2ab+a^2 = -2 (II)d = - a^2b (III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.16/504 - Release Date: 27/10/2006
Re: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
Olá MarcioObrigado pela correção, vai me impedir de cometer vários erros... Vivendo e aprendendo.Em 29/10/06, Marcio Cohen [EMAIL PROTECTED] escreveu:Renan, O fato de se ter D = Dm = 0 para todo m não garante que um sistema indeterminado, como mostra o exemplo: x+y+z = 1 x+y+z = 1 x+y+z = 2 no qual se tem D=D1=D2=D3=0 mas o sistema é impossível. Ao provar que D=Dm=0 para todo m você pode concluir que o sistema é indeterminado ou impossível. No caso dessa questão, como (0,0,...,0) é solução, o sistema é indeterminado. Abraço, Marcio Cohen On 10/28/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: Como é um sistema normal, podemos usar a regra de CramerSendo m um número natural qualquer em [1 , n]x_m = Dm/DOnde Dm denota o determinante da matriz incompleta com os coeficientes de m trocados pelo termo independente. (e bem... D o determinante da matriz incompleta) Bom... já mostraram várias vezes que D = 0, daí x_m = Dm/0Porém Dm também é zero! (Como os coeficientes estão em PA vale usar a soma dos extremos, p. exemplo, pra mostrar que Dm é zero)x_m = 0/0 (indeterminação) para qualquer m no intervalo [1,n] Em 28/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por: a_1 .x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0a_2 .x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0...a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0 onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: FAz o determinante e veja q ele dara zero(eh mt facil ver isso) daih, ele sera ou impossivel ou indeterminado.mas (0,0,...,) eh uma solucao.logo ele naum eh impossivel e entao eh indeterminado. O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
[obm-l] Soma de binomiais
Olá! Peço ajuda na resolução do seguinte exercício..Para cada n pertencente aos naturais, temos que;1 - C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 é igual a:a) (-1)^n*2^(2n)b)2^(2n)c)(-1)^n*2^n d)(-1)^(n+1)*2^(2n)e)(-1)^(n+1)*2^n** C(x,y) denota a combinação de x elementos tomados y a y.Pensei em fazer o seguinte... organizar a soma e a subtração e substituir o primeiro 1 por C(4n,0) e o último por C(4n,4n), ai ficamos com: S = C(4n,0) + C(4n,4) + C(4n,8) + ... + C(4n,4n) - [ C(4n,2) + C(4n,6) + C(4n,10) + ... + C (4n,4n-2) ]Não consigo aplicar aquele conceito da soma de uma linha no triângulo de pascal. Cheguei até onde consegui.. qualquer ajuda seria de grande valia! Abraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Soma de binomiais
Ok!Entendi todos os passos da sua resposta, obrigado! A sua saída, Iuri, foi muito bonita, porém, serve apenas pra esse caso extremamente particular... existe alguma forma mais geral de se resolver esse tipo de exercício? 2006/10/29, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Desenvolvendo (1+i)^n vc tem C(n,0) + i*C(n,1) -C(n,2) -i*C(n,3) + C(n,4)... Ou seja, a parte real do (1+i)^n é a soma que vc quer.Re[(1+i)^n] = 1 - C(n,2) + C(n,4) - ...(1+i)^n = sqrt(2)^n*cis(45º*n)=sqrt(2)^n*cos(45n) + i*sqrt(2)^n*sen(45), e portanto a parte real é sqrt(2)^n*cos(45ºn). Substituindo n por 4n, temos a soma q vc quer: 1 - C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 = sqrt(2)^4n*cos(45*4n) = sqrt(2)^4n*cos(180n) =2^(2n)*cos(180n) cos(180n) = (-1)^nS=2^(2n)*(-1)^nLetra AIuriOn 10/29/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote:Olá! Peço ajuda na resolução do seguinte exercício..Para cada n pertencente aos naturais, temos que; 1 - C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 é igual a:a) (-1)^n*2^(2n)b)2^(2n)c)(-1)^n*2^n d)(-1)^(n+1)*2^(2n)e)(-1)^(n+1)*2^n** C(x,y) denota a combinação de x elementos tomados y a y.Pensei em fazer o seguinte... organizar a soma e a subtração e substituir o primeiro 1 por C(4n,0) e o último por C(4n,4n), ai ficamos com: S = C(4n,0) + C(4n,4) + C(4n,8) + ... + C(4n,4n) - [ C(4n,2) + C(4n,6) + C(4n,10) + ... + C (4n,4n-2) ]Não consigo aplicar aquele conceito da soma de uma linha no triângulo de pascal. Cheguei até onde consegui.. qualquer ajuda seria de grande valia! Abraços,Jonas Renan -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
Como é um sistema normal, podemos usar a regra de CramerSendo m um número natural qualquer em [1 , n]x_m = Dm/DOnde Dm denota o determinante da matriz incompleta com os coeficientes de m trocados pelo termo independente. (e bem... D o determinante da matriz incompleta) Bom... já mostraram várias vezes que D = 0, daí x_m = Dm/0Porém Dm também é zero! (Como os coeficientes estão em PA vale usar a soma dos extremos, p. exemplo, pra mostrar que Dm é zero)x_m = 0/0 (indeterminação) para qualquer m no intervalo [1,n] Em 28/10/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por: a_1 .x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0a_2 .x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0...a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0 onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: FAz o determinante e veja q ele dara zero(eh mt facil ver isso) daih, ele sera ou impossivel ou indeterminado.mas (0,0,...,) eh uma solucao.logo ele naum eh impossivel e entao eh indeterminado. O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Dúvida trigonometria
OláEstou me aventurando por terrenos desconhecidos, mas eu acho que o método mais adequado para encontrar valores aproximados de equações transcendentes que contenham apenas funções trigonométricas e números é pela expansão da função utilizando as séries de Taylor. Sobre a expansão da tangente, você pode encontrar mais aqui: http://www.maths.mq.edu.au/~steffen/pdf/tam.pdf--Abraços,J. Renan 2006/10/28, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Vc sabe por exemplo a tg(60) = raiz(3).raiz(3) é aproximadamente 1,74, e 7/4=1,75. Dai ficamos com a letra A. Se não souber a raiz(3), vc poderia elevar ao quadrado tanto a tg(60) quanto o 7/4, e ai veria que 3 é aproximadamente 49/16. 3 seria 48/16. Essas contas são facilmente feitas sem calculadora, IuriOn 10/28/06, Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Como faço para calcular o valor de x na equação abaixo sem o uso de calculadora ? ( deixem os cálculos) tg x = 7/4 ( tangente de x igual a sete quartos )(a) 60º15' (b) 45º15' (c) 80º25' (d) 50º30'
[obm-l] Raízes duplas em intervalos
Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a (I)2ab+a^2 = -2 (II)d = - a^2b (III) Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9 Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan
Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos
Olá Nehab!O que eu queria Nehab, era achar uma solução mais geral que não caísse em um sistema de equações (se fosse de um grau maior o negócio ia complicar). Tinha me esquecido desse teorema que você falou sobre multiplicidade de raízes. Esse tipo de exercício sempre 'cheira' uma saída utilizando o teorema de bolzano (ao menos pra mim, que não tenho o olfato muito desenvolvido). Vou ver se consigo resolver também por essa forma que você sugeriu. Obrigado pela resposta rápida!Abraços,J. RenanEm 28/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu:UéRenan.Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursos básicos envolvendo polinômios.. Mas se quiser complicar :-), ache oMDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +de a derivada dele, pois se umpolinômio possui raiz a de multiplicidade k1, então p'(x)possui raiz a com multiplicidade k-1... Achei exatamente o mesmoresultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).Logo,prefiro sua solução !Abraços,NehabAt 22:13 27/10/2006, you wrote: Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constantereal. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ?Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que sejamais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b) Onde a e b são as raízesx^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a(I)2ab+a^2 = -2 (II) d = - a^2b(III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3 e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] (ITA - 91) Nº COMPLEXOS
Olá Zeca, quando fui resolver as provas dos anos anteriores do ITA tive um pouco de dificuldade nesta. Mas aqui vai uma dica: ache a expressão de cotg(t/2)Em 24/10/06, Zeca Mattos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se z = cost + isent, onde 0 t 2pi, então podemos afirmar que w = (1 + z)\(1 - z) é dado por: RESP.: icotg(t\2)Agradeço antecipadamente qualquer ajuda. Zeca Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Duvidas (Problema das torneiras)
Olá AlineVolume do tanque : VVazão de A: Za = V/5Vazão de B: Zb = V/4A enxeu o tanque por 1 hora.V' = Za*1V' = V/5Ou seja, quando B é ligada 1/5 do tanque já está cheio, falta enxer 4/5 logo4/5V = Za*t + Zb*t4/5V = Vt/5 + Vt/44/5 = 9t/20t = 16/9 = 1 hora, 46 minutos e 40so tempo total éT = t + 1T = 2 horas, 46 minutos e 40sOutra forma de pensar depois de ter descoberto que o volume a ser preenchido era 4/5 é: Em 1 hora A e B enxem juntas: V/5 + V/4 = 9V/20Então 9V/20 está para 1 hora assim como 4/5V está para t(9V/20)/1 = (4/5V)/to que nos dá t = 16/9É isso, bons estudos Em 24/10/06, matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguém poderia me ajudar nesta questão . Um tanque é abastecido por duas torneiras A e B. A torneira A enche o tanque em 5 horas. Já a torneira B enche-o em 4 horas. Qual o tempo necessário para enchermos o tanque, inicialmente vazio, se abrirmos a torneira B 1 hora após termos aberto a torneira A? a) 2h 46min 40s b) 2h 45min 20s c) 2h 42min 00s d) 2h 40min 30s e) 2h 48min 15s Aline.
Re: [obm-l] trt_pe
Caro ÍtaloAcho que a afirmação de que 1 é primo pode causar alguns distúrbios nessa lista (imagina se começarem um debate sobre isso!)Número primo: Número primo é um número inteiro que tem exatamente quatro divisores. (wikipédia)Mais a frente na mesma página lemos: Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos. Não sei até onde está certo e até onde está errado, uma vez que a wikipédia é uma enciclopédia livre. Sei, entretanto, que este tema é controverso. Discordo com a sua resolução, uma vez que os algarismos tem que ser distintos. Mas assumindo que ela estivesse certa, a alternativa correta deveria ser Quadrado Perfeito. Afinal, a raiz de 1 é um número inteiro. Corrijam-me se cometi algum engano nesse comentárioFonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primoAbraços,Jonas Renan
Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Será que o teorema de Ceva que foi falado há poucos dias na lista não pode ajudar?Parece que a prova sai por ele, preciso pensar um pouco, não quero submeter respostas erradas rs Em 16/09/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: E aquela de provar quetriangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero? O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las! []s, Claudio. -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Geometria tetraédrica.
Parece que está tudo certo Marcelo! Alias, como eu mesmo já havia comentado com você, a sua solução está mais do que completa, você ainda provou a altura do tetraedro e o raio da circunscrita.Ótimo, continue mandando as soluções! 2006/9/11, Marcelo Amorim Menegali [EMAIL PROTECTED]: É a primeira vez que escrevo para a lista... espero não ter feito nenhuma besteira! Considerando que, na molécula de metano, o carbono ocupa o centro de um tetraedro regular ABCD de lado L, podemos resolver o problema do seguinte modo: Primeiro, dando nomes a alguns pontos:-Ponto O: centro da circunferência que circunscreve o tetraedro (é onde está posicionado o átomo de carbono)-Pontos ABC: vértices da base do tetraedro ABCD-Ponto H: é o centro do triângulo ABC Agora, podemos encontrar o ângulo AÔB do seguinte modo: A partir da lei dos cossenos no triângulo AHB:AB² = AH² + BH² - 2*AH*BH*cos(120°)Mas AH=BH e AB=L, logo:L² = 2AH² + AH² - AH = L/Raiz(3) A partir do triângulo AHD:Pelo teorema de Pitágoras,AD² = AH² + DH² - L² = L²/3 + DH² - DH = L*Raiz(6)/3 Agora trabalharemos com o triângulo AOH:Mais uma vez, pelo Teorema de Pitágoras:AO² = AH² + OH²Mas AO é o raio da circunferência circunscrita (chamaremos essa medida de R) e OH=(DH-DO)=(DH-R)Temos, portanto: R² = L²/3 + (L*Raiz(6)/3 - R)²Isolando R, encontramos:R=L*Raiz(6)/4 Agora, para finalizar, aplicamos a lei dos cossenos no triângulo AOB:AB² = AO² + BO² -2*AO*BO*cos(AÔB)L² = 3*L²/4 - 3*L²/4*cos(AÔB)Isolando cos(AÔB), encontramos:cos(AÔB) = -1/3 Utilizando uma calculadora, encontramos que o valor aproximado de AÔB é 109°28'16 Espero ter ajudado! Abraços, Marcelo A. Menegali 2006/9/11, J. Renan [EMAIL PROTECTED]: Olá Lucas!O seu problema é interessante, mas lembre-se de que nem sempre ligações com geometria tetraédrica medem 109º 28'. Existem desvios. O gás metano, entretanto, não é uma dessas exceções, sendo que nessa molécula o Carbono ocupa o centro do tetraedro e cada hidrogênio um vértice. Vamos pensar nesse caso. Seria útil ter a distância do átomo de carbono até cada átomo de hidrogênio. Com esses dados em mãos poderíamos montar um triângulo isósceles calcular o ângulo da ligação. Essa distância você consegue com a informação de que o carbono está sobre a intersecção de todas as alturas do tetraedro. Será que isso ajuda Lucas?Estou sem tempo para fazer a solução! Ainda essa semana tento escreve-la pra você!AbraçosJ.Renan Em 11/09/06, Lucas Z. Portela [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Meu professor de química passou para a turma esse desafio, e, como estudante do 2º ano EM, não tenho a mínima noção de matemática de 3º grau para resolver esse impasse. Ele pediu uma maneira de provar que o ânguloentre os átomos em uma ligação com geometria tetraédrica mede 109º 28'. Já tentei de várias maneiras, pois não conheço fórmula nem sistema que sirva para achar isso. Tentei construir o tetraedro em voltadas ligaçõese separei um dos tetraedros menores que se formaram. Estipulei que cada um dos lados do tetraedro maior (que são iguais) valem 1, mas não consegui uma maneir de calcular a medida dos menores, que acho que seriam úteis para fazer Pitágoras, talvez, e achar o angulo, mas me perdi nesse pedaço. Se alguém puder me dar uma luz... Agradeço desde já. Abraços, Lucas. -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Geometria tetraédrica.
Olá Lucas!O seu problema é interessante, mas lembre-se de que nem sempre ligações com geometria tetraédrica medem 109º 28'. Existem desvios. O gás metano, entretanto, não é uma dessas exceções, sendo que nessa molécula o Carbono ocupa o centro do tetraedro e cada hidrogênio um vértice. Vamos pensar nesse caso. Seria útil ter a distância do átomo de carbono até cada átomo de hidrogênio. Com esses dados em mãos poderíamos montar um triângulo isósceles calcular o ângulo da ligação. Essa distância você consegue com a informação de que o carbono está sobre a intersecção de todas as alturas do tetraedro. Será que isso ajuda Lucas?Estou sem tempo para fazer a solução! Ainda essa semana tento escreve-la pra você!AbraçosJ.RenanEm 11/09/06, Lucas Z. Portela [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Meu professor de química passou para a turma esse desafio, e, como estudante do 2º ano EM, não tenho a mínima noção de matemática de 3º grau para resolver esse impasse. Ele pediu uma maneira de provar que o ânguloentre os átomos em uma ligação com geometria tetraédrica mede 109º 28'. Já tentei de várias maneiras, pois não conheço fórmula nem sistema que sirva para achar isso. Tentei construir o tetraedro em voltadas ligaçõese separei um dos tetraedros menores que se formaram. Estipulei que cada um dos lados do tetraedro maior (que são iguais) valem 1, mas não consegui uma maneir de calcular a medida dos menores, que acho que seriam úteis para fazer Pitágoras, talvez, e achar o angulo, mas me perdi nesse pedaço. Se alguém puder me dar uma luz... Agradeço desde já. Abraços, Lucas.
Re: [obm-l] anotando estudos
Muito bom Eric!Eu particularmente prefiro organizar meus estudos por semana ao invés de fazê-lo diariamente, acho que dá mais liberdade de manipulação dos horários. Mas planejar realmente é essencial.Abraços Em 09/09/06, Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desde 2002 tenho anotado meu tempo de estudo paraautomotivacao e para saber meu progreso. Para istodesenvolvi um metodo proprio. Segue link para donwloaddos arquivos que permitem fazer isso. http://rapidshare.de/files/32463301/Estudos.zip.htmlEstudos diarios.docEstudos diarios.pdfambos com o mesmo conteudo: uma folha para serimpressa frente e verso e fotocopiada. Nas copiasanotar os estudos a lapis. Suas colunas sao: Data (pode ser preencida no formato dd/mm), dia da semana(com o dia da semana abreviado pelas 3 primeirasletras), inicio (horario de inicio do estudo noformato hh:mm), final (horario final de estudo),desconto (tempo total estimado das interupcoes em minutos), tempo (tempo do estudo propriamente dito,isto eh, o tempo decorrido, em minutos, entre o inicioe o final tirando o desconto), pequena descricao doestudoe as planilhas (as originais estao no formatodo OpenOffice, que faz o mesmo que o MS Office, mas egratuito pedi para salvar tb no formato xls)...estudo mes a mes 2006.odsestudo mes a mes 2006.xlsBasta preencher a coluna Total do mes com o número de minutos estudados em cada mes que a planilha faz oresto. Tem tb um grafico no final, ilustrando orendimento.Estudo dia a dia.odsEstudo dia a dia.xlsAqui preenchemos a coluna Tempo em minutos com o tempo de estudo e a planilha calcula nosso rendimentonas outras colunas.Aguardo feedback!Eric.== http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001www.mathfire.pop.com.brEnciclopedia de Matematica - AulasFormulas para primos - Grupos de EstudoProjeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED]MSN: [EMAIL PROTECTED]==___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora!http://br.acesso.yahoo.com= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação
Que saída em Salhab, parabénsnote que: senx - cosx = sqrt(2) / sqrt(2) * [senx - cosx] = sqrt(2) * [ senx * cos45 - sen45 * cosx ] = sqrt(2) * sen ( x - 45 )Em 06/09/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, note que: senx - cosx = sqrt(2) / sqrt(2) * [senx - cosx] = sqrt(2) * [ senx * cos45 - sen45 * cosx ] = sqrt(2) * sen ( x - 45 ) logo: senx - cosx = m ... sqrt(2) * sen ( x - 45 ) = m . sen( x - 45 ) = m/sqrt(2) primeiramente, temos que ter: -1 = m / sqrt(2) = 1 -sqrt(2) = m = sqrt(2) se m = 0, entao: sen( x - 45 ) = 0 x - 45 = k * 180 .. x - pi/4 = k * pi x = [1 + 4k] pi/4 k=0 ... x = pi/4 k=1 ... x = 5pi/4 5pi/4 - pi/4 = pi ... logo, nao vale b-a = pi/2 se m 0, entao, se0 = alfa = pi/2 ... temos: x - 45 = alfa ... x = 45 + alfa x - 45 =180 - alfa ... x = 45 + 180 - alfa (45+ 180 -alfa) - (45 + alfa) = 180 - 2alfa = 90 ... alfa = 45!! logo: m/sqrt(2) = sen(45) = sen(135) m = 1 se m 0, entao, se 0 = alfa = pi/2 ... temos: x - 45 = 180 + alfa ... x = 45 + 180 + alfa x - 45 = 360 - alfa ... x = 45 + 360 - alfa (45 + 360 - alfa) - (45 + 180 + alfa) = 90 180 - 2alfa = 90 ... alfa = 45!! logo: m/sqrt(2) = sen(225) = sen(315) ... m = -1 assim, os possiveis valores de m são: 1 e -1. abracos, Salhab - Original Message - From: ilhadepaqueta To: obm-l Sent: Tuesday, September 05, 2006 6:02 PM Subject: [obm-l] equação Por gentileza, Se a e b são duas raízes, situadas no intervalo [0,2pi], da equação sen x - cos x = m e se b-a =(pi/2), quais são os possíveis valores de m. Obrigado mais uma vez No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/438 - Release Date: 5/9/2006 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Teorema de Ceva
Artur, leia sobre o teorema de Ceva aqui http://www.obm.org.br/semana/menelaus.docEm 06/09/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem a ignorancia. Qua é o teorema de Ceva? De fao, não conheco.AbracosArtur-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto: [EMAIL PROTECTED]]Emnome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 6 de setembro de 2006 10:51Para: obm-lAssunto: Re:[obm-l] Teorema de Ceva-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brCópia:Data: Wed, 06 Sep 2006 03:22:54 +0800Assunto: [obm-l] Teorema de Ceva Estou tentando provar a recíproca do teorema de Ceva, alguém pode meajudar? Grato desde já. --Desenhe o triangulo ABC e as cevianas AK, BL e CM.Suponhamos que AM*BK*CL = MB*KC*LA (i) Seja P o ponto de interseccao de BL e CM.Suponha que AP intersecta o lado BC no ponto X.Usando Ceva no triangulo ABC com as cevianas concorrentes AX, BL e CM,temos:AM*BX*CL = MB*XC*LA(ii) (i) e (ii) == (AM*CL)/(MB*LA) = KC/BK = XC/BX.Como X e K pertencem a BC, temos que X = K e, portanto, AK (=AX) passa porP.[]s,Claudio.= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Série
Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série.Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5) Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor | --| 1 | 2.5 | --| 2 | 3.75 | --| 3 | 4.375 | --| 4 | 4.6875 | --A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5. Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:OláPodemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui). Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), bloge agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Série
Olá Bruno.Não entendi muito bem o teorema que você citou na sua 2ª prova. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Abraços2006/9/1, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: Oi, Jonas.Quais passagens você não entendeu? Se eu souber, terei prazer em explicar melhor. Pelo que compreendi, vc não disse as mesmas coisas, deu outra idéia!Quanto à sua solução, só para explicitar o seu k, acho que vc pensou isso: a_(n+1) = a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k)Tomando lim para n -- oo, temos:lim a_(n+1) = lim [ a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) ]Como lim a_1 * 2^(-n) = 0, e lim sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) = sum(k=1..oo) 5 * 2^(-k) = (5/2) / (1 - 1/2) = 5, temos que lim a_(n+1) = 0 + 5 = 5Logo, a seqüência a_n converge para 5. Legal.AbraçoBruno On 8/31/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote:Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série. Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5) Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor | --| 1 | 2.5 | --| 2 | 3.75 | --| 3 | 4.375 | --| 4 | 4.6875 | --A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5. Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:Olá Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui). Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre
Re: [obm-l] Problema com Integral
Muuuito obrigado, agora entendi. Não tinha pensado em chamar de q-UC de q*, fiquei quebrando a cabeça com essa integral. Sabia que caia numa integral do tipo dq/q, pela presença do e , também a constante de integração foi um problema rs.Mas agora está tudo bem, obrigado novamente!Em 29/08/06, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:Renan,Essa equacao e o que chamamos de um equacao diferencial linear de 1a ordem e ja esta pronta para integrar, ou seja,dq/(q-UC) = -dt/RCFazendo passo a passo, chame de q*=q-UC. Entao, dq*=dq, logo,dq*/q* = -dt/RC , Integrando ambos os termos,ln(q*)=-t/RC + K, onde K e uma constante de integracao. Substituindo q*=q-UCln(q-UC)=-t/RC + Kq = UC - exp(-t/RC + K) = UC - exp(-t/RC).exp(-K), chame exp(-K) = A. Entao,q = UC - A(exp(-t/RC)).Agora, para t=0 e q=0, temos0 = UC - A = A=UC.Portanto, a resposta final segue imediatemente, q=UC(1-exp(-t/RC)).Faca o grafico dessa equacao em MATLAB ou Excel.Regards,LeandroLos Angeles, CA.From: J. Renan [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Problema com Integral Date: Mon, 28 Aug 2006 22:53:51 -0300Olá pessoal da Lista!Estou com um sério problema com uma integral aqui (sou colegial ainda =\),por favor, poderiam me mostrar porque a integral de: dq/(q-UC) = -dt/RCé (para q = 0 quando t=0)q = CU(1-e^[-t/RC])(essa é a fórmula para a carga em um capacitor [de capacitância C, em umcircuito RC onde o gerador tem f.e.m. U e o resistor tem resistência R] emum tempo t)--Um Grande Abraço,Jonas Renan=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] ESCALAS ARITMÉTICAS!
Um comentário rápido: O ENEM teve duas ou três questões parecidas com essas (envolvia escalas aritméticas). Infelizmente a maioria das questões de física/química/matemática deixaram muito a desejar. Em 29/08/06, Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Pessoal!Quanto ao primeiro problema de escala, deve-se escolher a alternativa com oVPL mais elevado, que é a oportunidade número 2. Mas, a regra básica da TIRnos diz que dvemos escolher a oportunidade número 1, porque a TIR é igual a 50%. A TIR da oportunidade número 2 é apenas 10%. Onde está o problema daTIR? O problema está em ignorar as diferenças de escala. Embora aoportunidade número 1 tenha maior TIR, o investimento é muito menor. Em outras palavras, o retorno percentual mais elevado na oportunidade número 1é mais do que contrabalançado pela capacidade de obter um retorno pelo menosdecente sobre um investimento muito maior na oportunidade número 2. A TIR pode ser ajustada ou corrigida.Medimos um comprimento com uma régua graduada em cm e achamos um resultadocompreendido entre 16cm e 17cm. Com um nônio, cujos traços são obtidosdividindo-se 29cm em 30 partes, medimos a parte excedente encontrando coincidência do 12º traço. Qual o valor do comprimento medido?O sistema solar tem 4,5 * 10^9 anos de idade. Os primeiros hominídeossurgiram na Terra há cerca de 4,5 milhões de anos. Imagine uma escala em que o tempo transcorrido entre o surgimento do sistema solar e a época atualcorresponda a um ano de 356 dias. De acordo com tal escala, há quantas horasos hominídeos surgiram na Terra?Abraços!_ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acessehttp://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] log PA
Se forma uma PA então vale a propriedade dos extremoslog(k)[X] + log(n)[X] =2*log(m)[X]Vale também log (a)[b] = 1/log(b)[a], então
1/log(x)[k] + 1/log(x)[n] = 2/log(x)[m]{log(x)[n] + log(x)[k]}/log(x)[k]*log(x)[n] = 2/log(x)[m]Sabemos que log(x)[n] + log(x)[k} = log(c)[nk]
2*log(x)[N] = log(x)[KN]*log(x)[M]/log(x)[K]Ainda 2*log(x)[n] = log(x)[n²] e log(x)[M]/log(x)[K] = log(k)[M]
log(x)[N²] = log(x)[KN]*log(k)[M]log(x)[N²] = log(x)[KN^{log(k)[M]}]Entãox^log(x)[KN^{log(k)[M]}] = N²
N² = KN^(log(k)[M])Q.E.DAcho que essa é a prova, tentei fazer o mais detalhado possível.Em 29/08/06, ilhadepaqueta
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Por gentileza, usei log(base)(logaritmando)
demonstrar que se os números log(k)(x), log(m)(x), log(n)(x), x diferente de 1, formam uma PA, então:
n^2 = (kn)^{log(k)(m)}
Obrigado mais uma vez!
-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. --Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1? Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia [EMAIL PROTECTED]: Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
Agora ficou mais claro o argumento utilizado pelo Leonardo Maia, muito obrigado pelo Bruno2006/8/24, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: Observe o seguinte:1) Naquele polinômio só aparecem potências pares de x e o 1. 2) Todos os coeficientes são positivos.Assim, cada um dos termos C(2n,i) * x^2i é positivo (ou nulo), então a soma de todos eles é também positiva (ou nula). Uma soma positiva ou nula, acrescida em 1 unidade é sempre maior do que ou igual a 1. Logo, p(x) = 1, para todo x real, e portanto não possui raízes reais. BrunoOn 8/24/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. --Não entendi muito bem essa justificativa, quais são as condições para uma equação possuir apenas raízes reais? O último termo dividido pelo primeiro não fornece o produto das raízes ? Por que esse não poderia ser 1? Desculpem a intromissão e a pergunta fora do assunto.2006/8/23, leonardo maia [EMAIL PROTECTED]: Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Um Grande Abraço,Jonas Renan -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Livro de Física para Ensino Médio
Gosto do Ramalho, mas para uma preparação pro ITA acho que o Halliday é o mais indicado, é só saber quais tópicos pularEm 17/08/06, Hugo Fernandes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal.Achei estranho que ninguém tenha citado o livro do Ramalho, Fundamentos da Física(3 vol.), neste tópico... Eu estudei por ele, quando me preparei para o concurso do ITA em 1994. Vocês não acham legal? Eu lembro que na minha prova havia pelo menos um problema quase que copiado dele... só mudavam os valores, se não estou enganado. De qualquer forma, gostaria de saber a opinião de vocês. Tem um outro livro que eu tenho aqui em casa (na verdade, é uma coleção em 5 vol.), bem antigo, do Prof. Dalton Gonçalves, Física do Científico e do Vestibular. Não é muito bom para exercícios (os exercícios são, em sua quase totalidade aplicações diretas de fórmulas) porém a teoria é muito bem explicada e rigorosa. Além desses, só pra citar, tem também o Física Básica (4 vol.), do H. Moysés Nussensveig. É excelente, mas como o Halliday e o Tipler, exige algum conhecimento de Cálculo. Os exercícios são excelentes.Um grande abraço.Hugo.Marcus Aurelio [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu tenho esse livro no meu computador... (em PDF) …quem quiser me avise De: owner- obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner- obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de aguinaldo goncalves jrEnviada em: quarta-feira, 16 de agosto de 2006 12:36 Para: obm-l@mat.puc-rio.brCc: [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Livro de Física para Ensino Médio Iuri, Me interessei pelo Sareava, que livro é esse??? Grato AguinaldoIuri [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu to me preparando pro ita. Pra quem tá começando, normalmente indicam o Fisica Classica do Sergio Calçada, ou entao o Tópicos da Fisica, que nao sei o autor. Se a base já for boa, e dependendo do concurso que você vai participar, vale a pena partir pra outros como Halliday ou Tipler. Tem um pouco de cálculo e algumas teorias que não caem em lugar nenhum, mas ajuda bastante. Além desses, tem o Saraeva, que é só de problemas, e vem com todos resolvidos. Eu pelo menos acho que é o mais dificil dos que eu citei, apesar de ele resolver tudo com matemática elementar. IuriOn 8/16/06, Pierry Ângelo Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou me preparando para concursos militares e gostaria que me informassem um bom livro de física com uma teoria rigorosa e com bons exercícios. Agradeço desde já.-Pierry Ângelo Pereira http://pierry.fronteirasonline.commsn: [EMAIL PROTECTED] O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] OFFTOPIC - Quimica - Quem puder ajudar, agradeco
Só irá precipitar se você agitar a água.. Caso você não toque nela conseguirá fazer uma solução supersaturadaEm 13/08/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: hmm.. eh uma ideia legal.. mas quando eu resfriar, uma parte do enxofre solubilizado vai precipitar né? eu precisava dele dissolvido a temperatura ambiente... mas obrigado pela sugestao.. abracos, Salhab - Original Message - From: diego andres To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, August 12, 2006 8:27 PM Subject: Re: [obm-l] OFFTOPIC - Quimica - Quem puder ajudar, agradeco você poderia aumentar a temperatura da soluçao ja que a curva de solubilidade do enxofre é endotermica,ou seja ,maior temperatura vai favorecer uma maior solubilidade[]Diego AndrésSalhab [ k4ss ] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá,sei que nao é o objetivo desta lista, mas estou precisando de uma ajuda com quimica, e, como sei que muitos aqui nao sao necessariamente matematicos, envio esta mensagem.o enxofre é insoluvel em agua, porem, preciso solubiliza-lo de algum modo.alguem sabe como fazer isso?existe algum outro composto que eu posso colocar na agua para que essa solubilizacao seja possivel?agradeco qualquer ideia..abracos,Salhab=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.10.9/417 - Release Date: 11/8/2006 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] UFPR
Olá, muitissimo obrigado Marcelo!Seu jeito me ajudou a dissipar algumas dúvidas, vi uma outra solução também...raiz(x²+y²) é a distância da origem a um ponto genérico...2x+y=3 é a equação de uma reta... A distância da origem até a reta 2x+y-3=0 é então o menor valor para raiz(x²+y²).Obrigado novamenteAbraços.Em 25/06/06, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, isolando y temos: y = 3 - 2x ok.. vamos calcular x^2 + y^2... assim: x^2 + (3-2x)^2 = x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 5x^2 - 12x + 9 o valor mínimo dessa funcao se da quando x = -b/2a = 12/10 = 1,2 substituindo, temos: x^2 + y^2 é mínimo quando x = 1,2 e y = 3 - 2,4 = 0,6 assim: x^2 + y^2 mínimo é: 1,8 = 18/10 = 9/5 assim, o valor mínimo de raiz(x^2+y^2) é raiz(9/5) = raiz(45)/5 obs: o valor mínimo de raiz(x^2+y^2) se da quando x^2+y^2 é mínimo pois a funcao raiz quadrada é crescente. abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 25, 2006 12:43 PM Subject: [obm-l] UFPR Colegas da lista, essa questão foi retirada de um vestibular da UFPR...Se 2x+y=3, qual é o valor mínimo de raiz(x²+y²) ?a)1/5 b)2/5 c) raiz(45)/7 d) raiz(45)/5 e) raiz(3)Por favor, me ajudem!-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
[obm-l] UFPR
Colegas da lista, essa questão foi retirada de um vestibular da UFPR...Se 2x+y=3, qual é o valor mínimo de raiz(x²+y²) ?a)1/5 b)2/5 c) raiz(45)/7 d) raiz(45)/5 e) raiz(3)Por favor, me ajudem! -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Tá complicado!!!
Sem tempo pra responder agora, mas será que fazendo o diagrama de Van-Euler você não consegue a solução mais facilmente? todos os que são gêmeos quádruplos também são gêmeos duplos e triplos, os triplos tb são duplos... só estruturas os subjconjuntos e mão na mssa... boa sorte Em 16/06/06, Alexandre Bastos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros amigos, agradeço a quem me tirar do prego com essa questão. Minha resposta só dá 51, mas o resultado é 48.Grato Alexandre Bastos O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O numero de filhos do emir é: A) 111 B) 48 C) 51 D) 78 Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] como eh q faz?
Olha, essa questão é simples... Vamos pensar da seguinte forma meus amigosPeguem um quadrado de área 1 (ele será o quadrado branco). Este é nosso primeiro termoPeguem agora três quadrados de mesma área (serão os amarelos). Estes são o nosso segundo termo. Distribua-os da seguinte forma. Um do lado do quadrado branco, outro em cima, outro na diagonal superior. Agora peguem cinco quadrados de mesma área (serão os azuis). Estes são o nosso terceiro termo. Distribua-os da seguinte forma: dois quadrados amarelos terão cada um um quadrado azul ao seu lado (o amarelo que está do lado do branco e o que está na diagonal), dois quadrados azuis acima e um na diagonal. É fácil perceber que sempre um quadrado maior está sendo formado. Depois da adição do nosso segundo termo, temos um quadrado de lado 2, portanto, soma das áreas 4. Depois da adição do terceiro termo, a área sobe para 9... e eis ai uma prova geométrica para o problema. Anexei uma figura, vamos ver se vai junto =)Abraços.Agora, pegue três quadrados e coloque um do lado desse quadrado de área 1, outro em cima, e um na diagonal superior. Agora Em 16/06/06, Matheus Rabelo Lopes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Geraldo...Bom, andei pensando na questão 1+3 +5+7 ...+(2n-1)= n(ao quadrado) , e nãoencontrei nenhuma comprovação da teoria que essa questão envolve, só mesmopor testes de valores de (n).Gostaria de saber a comprovação desta questão.Ficaria grato se me mandasse asolução.Ateh Mais!From: bruno silva santos [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: RE: [obm-l] como eh q faz?Date: Thu, 15 Jun 2006 11:54:42 -0800 cara o enunciado correto e 1+3 +5+7 ...+(2n-1)= n(ao quadrado) se vc naosouber pa faca por inducaoFrom: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: Lista _OBM obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] como eh q faz? Date: Thu, 15 Jun 2006 17:31:19 + (GMT)auguem pode me mostrar pq q: n^2 = 1+2+3+...+ (2*n - 1)__ Fale com seus amigosde graça com o novo Yahoo! Messengerhttp://br.messenger.yahoo.com/_ MSN Messenger: converse com os seus amigos online.http://messenger.msn.com.br= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= _MSN Alertas --• |¯¯¯| É gl! – Os gols da Copa no seu MSN http://signup.alerts.msn.com/alerts/login.do?PINID=2430448returnURL=http://copa.br.msn.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Um Grande Abraço,Jonas Renan aelevadoaoquadrado.GIF Description: GIF image
[obm-l] Exercícios do E. Fundamental
Olá à todos da lista!Bem sei que muitos professores de matemática acompanham diariamente a lista. Me propus há algumas semanas a fazer um curso preparatório para uma grande escola aqui da região, mas me afastei da matemática do ensino fundamental, perdendo a noção do que é e do que não é capaz o aluno mediano de fazer. A ocasião me força agora a bolar uma prova de matemática para classificar os alunos em turmas de acordo com as notas, mas estou cum um pouco de receio sobre o nível das questões. Abaixo mostro 2 delas e peço que opinem... 1– Um piloto do avião Super-Tucano está realizando uma operação de busca. Junto dele está um co-piloto, necessário atodas as operações. O avião parte da base até a cidade B, demorando 1 hora e 40 minutos para chegar.Depois, levanta vôo novamente e segue até a cidade A, demorando 1 hora e 20 minutos. Quando chegam a cidade A, o piloto e o co-piloto são surpreendidos por um ataque e o co-piloto é forçado a seguir sozinho a viagem, fugindo as pressas. O co-piloto sabe que a distância entre a base e a cidade B, que é de 500 km, sabe que o ângulo formado entre a base, a cidade A e a cidade B corresponde a 90º e que o avião consegue voar 10.000 m com um litro de gasolina. Sabendo que o avião tem 29 litros de gasolina e que a velocidade dele é constante em todas essas viagens, marque a alternativa que indica, respectivamente, se ele conseguirá chegar ou não até a base e o tempo que demora a viagem a) Não, 50 minutosb) Não, 1 horac) Sim, 40 minutosd) Sim, 1 hora e 202 -Considere a equação x² + bx + c=0. Sabendo que m e n são as raízes dessa equação e que m e n são dois números naturais consecutivos e primos (com mn), assinale a alternativa correta: a) b+c = 5b) b-c = 11c) b = -b + m*nd) (-b)² – c² = -11Vocês acham que essas questões separam conseguem avaliar com eficácia o conhecimento dos alunos? Acham que as questões exigem mais do que deveria? Agradeço desde já pela ajuda pessoal, abraços!
Re: [obm-l] análise combinatória
Olá Anna, estou um pouco sem tempo, não vou resolver, mas te dar uma idéia1) Equivale a dizer: Quantos números de 4 algarismos diferentes são maiores que 4326?O primeiro algarismo pode conter números de 4 até 9, ou seja, 6 números diferentes, o segundo poderá ter, então, 8 algarismos (um dos 9, menos o do primeiro), o terceiro 7 e o quarto 6. Fazendo dessa forma estamos considerando o número como maior que 4000 e não maior que 4326, devemos então excluir desses números os números entre 4000 e 4326 que não tenham algarismos repetidos. O problema fica então em achar quantos são esses números. Um grande abraço,Jonas RenanEm 16/05/06, Anna Luisa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa tarde tds. Por favor se alguém puder ajudar, pois não sei o que estou fazendo de errado nesses 2 exercícios, mas minhas respostas não batem c/ o gabarito. 1) Com os algarismos 1, 2, ..., 9 formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos são maiores que 4.326? 2) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com 5 algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera cpmp segredo, mas sabe que atende às condições: - se o primeiro algarismo é ímpar, entãoo último algarismo também é ímpar; - se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; - a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5. Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo Dr. Z? Desde já agradeço a ajuda. Anninha.
[obm-l] Equação, somatória e triângulo isósceles
Olá à todos da Lista! Preciso de uma ajudona para resolver esses problemas (até sexta 12/5)..1 - Obter a pertencente ao cojunto dos números reais, para que a equação abaixo tenha somente raízes reais3^(x²+1/x²) = 81/3^(1*(x+1/x)) Resposta: [-1;1]2- Seja a definição [x] a parte inteira do nº real x, use-a para encontrar uma fórmula para somatória de i = 1 até i = (n²-1) de [(i^1/2)] em função de n.(Resposta: n*(n-1)*(4n+1)/6 3 -No triângulo ABC vale a relação:sen(A/2)*cos³(B/2)=sen(B/2)*cos³(A/2)Provar que ABC é triângulo isósceles-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Equação, somatória e triângulo isósceles
Olá Ricardo, muito obrigado pela resolução desse exercício, passei tempo de mais me entretendo com o link na sua assinatura e demorei pra responder (ótimo site esse seu mundo bizarro!). Voltando a matemática:
Entendi perfeitamente todas as passagens, exceto essa:{ Isso significa que o termo a aparece na somatória x vezes, onde x = [(a+1)^2-1]-[a^2]+1 = a^2+2a+1-1-a^2+1= 2a+ }
Por que ele aparece essas x vezes? Qual o argumento para encontrar esse x?Agradeço novamente pela ajuda!Um grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Equação, somatória e triângulo isósceles
Só um comentário... eu não entendi o raciocínio que você usou para fazer essa transformação, mas da análise da sequência:1+1+1+2+2+2+... = 3*1+5*2+7*3+9*4+11*5+...(n-1)(2(n-1)+1)Consigo montar a somatória, obrigado novamente Ricardo
2006/5/11, J. Renan [EMAIL PROTECTED]:
Olá Ricardo, muito obrigado pela resolução desse exercício, passei tempo de mais me entretendo com o link na sua assinatura e demorei pra responder (ótimo site esse seu mundo bizarro!). Voltando a matemática:
Entendi perfeitamente todas as passagens, exceto essa:{ Isso significa que o termo a aparece na somatória x vezes, onde x = [(a+1)^2-1]-[a^2]+1 = a^2+2a+1-1-a^2+1= 2a+ }
Por que ele aparece essas x vezes? Qual o argumento para encontrar esse x?Agradeço novamente pela ajuda!Um grande Abraço,Jonas Renan
-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] O MUNDO ALGÉBRICO!
Olá LuísPara esse dos peixes mesmo, pensei de uma forma diferente do Aldo Munhoz.O homem tem uma quantidade de peixes inicial que mentamente denominei de P.Para o primeiro ele vendeu metadedo que tinha e mais metade de um peixe, então ele ficou com (P-1)/2.
Para o segundo ele vendeu um terço do que sobrou mais um terço de um peixe, então, depois da segunda venda ele ficou com: 2/3*(P-1)/2 - 1/3 (que é uma conta realmente simples, já que existe um dois no numerador e outro no denominador, o que nos deixa com denominador 3, que é o mesmo do um). Logo, ele fica com (P-2)/3.
Para o quarto ele vende um quarto do que sobrou mais um quarto, então, depois dessa venda ele fica com: 3/4*(P-2)/3 -1/4 (seguindo o mesmo raciocínio da conta anterior fica fácil aritmeticamente falando) (P-3)/4.
Usando a mesma lógica para o último comprador sabemos que ele fica com (P-4)/5... e isso é o mesmo que 11 ! Ai ficou fácil, P-4 = 55, P = 59.Enunciei esse raciocínio porque me pareceu mais simples de ser desenvolvido sem o uso de um papel (pela simplificação nos denominadores).
Um Grande Abraço,Jonas Renan2006/5/9, Aldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]:
Putz, sem fazer conta no papel fica complicado este problema dos peixes.Mas no papel fica fácil:Seja n o númeo de peixes,1o freguês pega n/2+1/2 = (n+1)/22o freguês pega 1/3(n/2-1/2) +1/3 = (n+1)/6
3o freguês pega 1/4[2/3(n/2-1/2)-1/3]+1/4 = (n+1)/124o freguês pega 1/5{3/4[2/3(n/2-1/2)-1/3]-1/4}+1/5 = (n+1)/20Sobram ainda 11 peixes, de modo que: (n+1)/2 + (n+1)/6 + (n+1)/12 +(n+1)/20 + 11 = n.Disso vem n=59.
Abraços,AldoJorge Luis Rodrigues e Silva Luis wrote: Ok! Artur, Ojesed e demais colegas! Parabéns pelas suasPutz coloquiais opiniões, destacando os algarismos romanos e mundo algébrico. Segundo
Tom Budzynski, professor de Medicina Comportamental da Universidade da Flórida, a matemática ajuda a combater perda de memória. Pensar com prazer deve ser uma boa aeróbica cerebral, e isso, com certeza, vale
para todas as idades. Tentem resolver o problema abaixo sem usar calculadora, papel ou lápis. Divirtam-se! Um rapaz criava peixinhos dourados: decidiu vendê-los da seguinte forma: ao primeiro freguês, vendeu a metade dos seus peixes mais meio
peixe; ao segundo, um terço do que sobrou mais um terço de um peixe; ao terceiro vendeu um quarto do que sobrou mais um quarto de um peixe; ao quarto, vendeu um quinto do que sobrou mais um quinto de um peixe.
Sobraram onze peixes dourados e, é claro, nenhum deles estava dividido. Quantos peixes ele tinha? Bom, já que um inteiro tem cinco quintos ou quatro quartos ou três terços. Logo, os onze peixes que restaram são 55 quintos. Com mais um
quinto de um peixe temos 56 quintos. Mas, como não podemos misturar a quinta parte da quantidade com um quinto de um peixe, como chegarmos à resposta de 59 peixes dourados? A propósito, vejam abaixo uma elegante resolução de outro probleminha
bastante conhecido... Numa sala há bancos e pessoas. Se 12 pessoas se sentarem em cada banco, sobrarão 4 lugares no último banco, mas, se sómente 10 pessoas sentarem em cada banco, então 196 pessoas ficarão de pé. Quantos
bancos e quantas pessoas há na sala? Se em cada banco eu coloco 10 pessoas sobram 196 em pé, e se peço para duas se levanterem do último banco para que ele fique com 8, como interessa a primeira distribuição, então vão sobrar (em pé) 198, as
quais, de duas em duas, devem completar as 12 pessoas em cada um dos bancos. Como 198 dividido por dois dá 99, posso dizer que temos 100 bancos (um com 8 pessoas e 99 com 12). Já encontrei o número de
bancos. É só fazermos as outras contas para chegar ao total de 1196 pessoas. Abraços! _ COPA 2006: (¯`·._.·[ Ooola ]·._.·´¯) e + frases para seu MSN
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divis?o de polin?mios - Problema IME
Olá Sérgio! Na verdade eu já até imprimi o seu trabalho, mas como não havia encontrado a questão, não pude garantir que ela era do IME. Vou checar aqui a resolução, muito obrigado pelas informações! Em 04/05/06, Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: oi Renan,Na verdade, o problema do IME eh similar ao que voce propoe.Ma prova de 1994/1995 aparece o seguinte problema (questao 10):IME 1994/1995 (10 questao)Prove que o polinomioP(x) x^999 + x^888 + x^777 +...+ x^111 + 1 e' divisivel porx^9 + x^8 + x^7 + ... + x + 1Eu tenho uma solucao no material do imehttp://lps.ufrj.br/sergioln/~imepagina 148 da versao ime9b.pdf Abraco,sergioOn Thu, 4 May 2006, J. Renan wrote: Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui. Estudando divisibilidade de polinômios me deparei com o seguinte exercício (a fonte diz que é IME, mas não encontrei esse exercício entre os exercícios do IME): Prove que o polinômio p(x) = x^ + x^ + x^ + ... + x^ + 1 é divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + + x^1 + 1 Creio eu que tenha que utilizar a teoria das congruências (mod). agradeço desde já pela ajuda. -- Um Grande Abraço, Jonas Renan -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
[obm-l] Divisão de polinômios
Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui. Estudando divisibilidade de polinômios me deparei com o seguinte exercício (a fonte diz que é IME, mas não encontrei esse exercício entre os exercícios do IME): Prove que o polinômio p(x) = x^ + x^ + x^ + ... + x^ + 1 é divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + + x^1 + 1Creio eu que tenha que utilizar a teoria das congruências (mod). agradeço desde já pela ajuda. -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Divisão de polinômios
Olá Artur! Entendi todos os procedimentos que você fez, determinação das raízes, uso da fórmula da PG... só não entendi essa última conclusão: Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suaspotencias inteiras tanbem o sao Agradeço desde já todo tempo despendido na tarefa, poderia por favor me dar algum exemplo aritmeticamente simples do que você falou? Isso sai diretamente daquela segunda lei de Moivre? Em 04/05/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: ps, desculpe. Depois de mandar a mensagem eu vique comi mosca. Mostrar que os 2 polinomios tem umaraiz comum nao prova a divisibilidade de p por g.Mas vejamos o seguinte. Pelas formulas de soma de PGs, para x1 temos g(x) = (x^10 - 1)/(x-1). Tambem parax1, temos p(x) = (x^)^10 - 1)/(x^ - 1). Asraizes de g sao, portanto, as raizes decimas de 1 comexcecao do proprio 1. As raizes de p sao as raizes indice das raizes 10 de 1, excluindo-se a propriauniddae.Se um complexo z eh raiz da unidade, entao todas suaspotencias inteiras tanbem o sao, de modo que toda raizde g eh raiz de p. E com isto, agora sim, provamos que g divide p.Artur--- J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá à todos da lista, esse é o primeiro tópico que inicio aqui.Estudando divisibilidade de polinômios me deparei com o seguinte exercício (a fonte diz que é IME, mas não encontrei esse exercício entre os exercícios do IME): Prove que o polinômio p(x) = x^ + x^ + x^ + ... + x^ + 1 é divisível por g(x)= x^9 + x^8 + x^7 + + x^1 + 1 Creio eu que tenha que utilizar a teoria das congruências (mod). agradeço desde já pela ajuda. -- Um Grande Abraço, Jonas Renan__Do You Yahoo!?Tired of spam?Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] IME Versao 9
Olá Sergio e demais membros da lista!Essa é a minha primeira aparição na lista, venho lendo os exercícios, mas nunca tenho tempo de parar e escrever as soluções que encontro. Em um momento mais apropriado irei me apresentar, vim apenas replicar a mensagem por enquanto... Sérgio, o arquivo tem sido fundamental para mim e para muitos outros estudantes que sonham com vestibulares como ITA e IME, é um instrumento de divulgação do conhecimento e, portanto, de igualdade social. A maioria dos vestibulares cobra um conteúdo muito além do que é dado nas escolas públicas. Isso, evidentemente, exclui boa parte da população brasileira do acesso à faculdade. Embora o arquivo não seja um livro texto para ensinar matemática, contém resoluções valiosas, que contribuem para o aprendizado da matéria. Por fim, qualquer iniciativa que ajude a divulgar o conhecimento contribui uma melhoria da sociedade. Parabéns e Muito Obrigado pelo belo arquivo! Em 28/04/06, Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Paulo e demais colegas da lista,Agradeco o retorno, ateh mesmo afetuoso, que voces medao. Sem as contribuicoes e motivacoes destalista, eu nunca teria feito nada. Tentei darmerito a esta lista nesta nova versao do material. A semente de tudo foi plantada pela propriaexistencia da lista e pela dedicacao de variosde voces a manter isto aqui funcionando.Eu mesmo nao sou muito ativo na lista, poistento concentrar esforcos fazendo este material. Em geral este eh o unico canal que uso paradivulgar o material.Alem disto, varias pessoas da propria listasao co-autoras do material:- fornecendo solucoes;- corrigindo as minhas solucoes (sempre educadamente) - enviando novos enunciados de provas.Repito: sem esta lista, o material nao existiriaou nao seria tao bom.Grande abraco,sergioPS Em tempo : Quais sao as duas questoes que estao sem resposta ? Voce pode apresentar os enunciados aqui ?vou colocar estas questoes numa proxima msg.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
