[obm-l] OBM 2022 Problema

[Prof. Douglas Oliveira]

Determine o maior inteiro positivo k para o qual a afirmação é verdadeira:
Dados k subconjuntos distintos do conjunto {1, 2, 3, ..., 2023}, cada um
com 1011 elementos, é possível particionar os subconjuntos em duas coleções
em  a forma que quaisquer dois subconjuntos na mesma coleção têm algum
elemento em comum.



Abraço do Douglas Oliveira.

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[obm-l] Conjuntos

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos mestres, podem me indicar bons livros de conjuntos, que trabalham
com álgebra dos conjuntos de todas as formas possíveis, por exemplo:
Trabalham com desigualdade de Bon Ferroni, mapas de Karnaugh,
relações com 4 conjuntos e etc.

Att
Prof Douglas Oliveira

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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida

[Prof. Douglas Oliveira]

Equação de Pell

Em seg., 15 de nov. de 2021 13:36, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
>
> Alguém saberia como resolver a seguinte equação:
>
> x^2-7y^2=1, x,y em Z?
>
> Fiz a-7b=1 e achei a= 8 +7k e b=1 +K
> Logo fica fácil que para k=-1 funciona x^2=1 e y^2=0.
> Também funciona para k=8 x^2=64 e y^2=9.
> Mas não sei nem como achar mais soluções nem como provar que só são essas.
> Alguém poderia me dar uma orientação?
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
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[obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[Prof. Douglas Oliveira]

*Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano
horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte
regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo
corta o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto
escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo.
Qual deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do
volume do bolo que ele espera obter?*

*Abraço do Douglas.*

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[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá Luís, rabisquei aqui no papel agora, e pensei assim...

Vamos considerar primeiro o triângulo ABC inscrito no círculo, onde AB=c,
AC=b e BC=a.
Desta forma vamos considerar o problema de "ponta cabeça", onde P se
encontra no círculo e que PA=x e PC=y,
logo PC=x+y.
Vou numerar os passos para  fim de organização.

1) Aplicando ptolomeu no quadrilátero ABCP teremos a razão entre os
segmentos x e y, logo x/y=(c-b)/(b-a).

2) Agora divida o segmento AC nesta razão dada utilizando régua e compasso,
e chame esse ponto de N pertencente à AC

3) Encontre o conjugado hamônico do ponto N fazendo a construção de um
quadrilátero completo assim vai encontrar na reta
 suporte AC o ponto M (conjugado harmonico de N)

4) MN é o diâmetro do círculo de apolonius, agora basta desenhar este
círculo e o ponto de interseção dele
com o circulo original é o ponto que você procura

Bom acho que é isso.
Se errei em alguma coisa, por favor me corrija
Grande abraço
Douglas Oliveira (RCMAT)

Em qua., 10 de jun. de 2020 às 17:24, Luís Lopes 
escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> Recebi o seguinte problema:
>
> Construir P no circuncírculo de um triângulo ABC dado
> tal que PA+PB=PC.
>
> Alguém saberia fazer ?
>
> Obrigado.
>
> Abs,
> Luís
>
>
>
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>

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show


Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5,
> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>
> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>> 1o quadrante.
>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>> y^2 = 0.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>> equação
>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>
>>> Desde já agradeço a ajuda
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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[obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
(xy-7)^2=x^2+y^2.

Desde já agradeço a ajuda
Douglas Oliveira

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.

Douglas Oliveira

Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara 
escreveu:

> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z)   (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
percebi que existe uma em cada quadrante.

Mas não consigo achar uma saída.

Obrigado.
Douglas Oliveira

-- 
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[obm-l] Ajuda em trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, preciso de uma ajuda no seguinte problema abaixo:

Quero descobrir a solução geral para a equação trigonométrica

cos(ax+b)+cos(cx+d)=cos(ex+f)+cos(gx+h)


Sempre que nos deparamos com aqueles problemas de perseguição angular ou
outro tipo de problema de ângulos adventícios, geralmente caímos em um tipo
de equação desta.

Gostaria de uma ajuda, indicação de algum artigo, ou trabalho que fale sobe
isso. Pois acredito que já deve existir algo nesse sentido.

Desde já, muitíssimo obrigado.

Um grande abraço do
Douglas Oliveira

-- 
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Re: [obm-l] Dois problemas

[Prof. Douglas Oliveira]

Hum , para o primeiro problema, acredito que deve existir alguma
sequencia periódica, tal que a_n+k=a_n,
ou seja, n(n+1)/2=(n+k)(n+k+1)/2 (mod10).
Logo 2nk+k^2+k=0 (mod20), fácil ver que k=20 satisfaz o problema, logo
a_n+20=a_n, para todo n.
Vamos calcular a_1+a_2+a_3+a_4+...a_20=70.
Acredito que para cada valor de n, podemos fazer o seguinte que n=20t+r,
onde r é o resto na divisão de n por 20.
Assim a soma a_1+a_2+a_3+a_4+...+a_n=tx70+a_1+a_2+a_3+...+a_r, desta forma,
fica dependendo do valor de n.
É isso.

Forte abraço
Douglas Oliveira

Em dom., 26 de abr. de 2020 às 19:35, Rogério Possi Júnior <
roposs...@hotmail.com> escreveu:

> Boa noite.
>
> Quem pode ajudar com esses dois problemas:
>
> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de
> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n.
>
> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e
> R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N;
> por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais
> R(N)=4N+3.
>
> Sds,
>
> Rogério
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Prof. Douglas Oliveira]

Já foi respondido aqui na lista

https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg50069.html

Eu e o Ralph.

Douglas Oliveira.
Um abraço.

Em seg, 6 de abr de 2020 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em qua., 11 de mar. de 2020 às 23:10, Vanderlei Nemitz
>  escreveu:
> >
> > Boa noite!
> > Alguém tem uma ideia para esse problema?
> >
> > Muito obrigado!
> >
> > De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3
> turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
> >
> >
> > A resposta é 37584.
> >
>
> Não me parece ser algo fácil.
>
> Minha ideia aqui seria simplesmente fazer inclusão-exclusão. Se
> calculássemos de quantas formas pelo menos um par de compatriotas
> acaba lado a lado, bastaria achar o complementar disso.
>
> Mas dá um trabalho...
>
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Prof. Douglas Oliveira]

Já foi respondia de duas formas aqui.

https://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg50069.html

Em sex, 13 de mar de 2020 19:36, Daniel Jelin 
escreveu:

> Uma solução, braçal:
>
> 1) Começamos com 3 ingleses. Há 35 maneiras de colocar outros 6 cidadãos,
> indistintamente, de modo a garantir que 2 deles estejam separando os três
> ingleses: é uma combinação com repetição para escolher, entre 4
> possibilidades, a posição de 4 indivíduos, ou seja, CR4,4 = C7,4 = 35.
> Ilustrando os ingleses por um traço, são essas as maneiras:
>
> 0-1-1-4
> 0-1-2-3
> 0-1-3-2
> 0-1-4-1
> 0-1-5-0
> 0-2-1-3
> 0-2-2-2
> 0-2-3-1
> 0-2-4-0
> 0-3-1-2
> 0-3-2-1
> 0-3-3-0
> 0-4-1-1
> 0-4-2-0
> 0-5-1-0
> 1-1-1-3
> 1-1-2-2
> 1-1-3-1
> 1-1-4-0
> 1-2-1-1
> 1-2-2-1
> 1-2-3-0
> 1-3-1-1
> 1-3-2-0
> 1-4-1-0
> 2-1-1-2
> 2-1-2-1
> 2-1-3-0
> 2-2-1-1
> 2-2-2-0
> 2-3-1-0
> 3-1-1-1
> 3-1-2-0
> 4-1-1-0
>
> 2) Para cada uma das 35 maneiras acima, há um certo número de maneiras de
> posicionar franceses (sem fazer distinção entre os franceses) e turcos (sem
> fazer distinção entre os turcos):
>
> Para o caso '0-1-1-4', por exemplo, temos o seguinte: 2 possibilidades
> para colocar 4 cidadãos no fim da fila, de modo a manter separados
> franceses e turcos ('francês-turco-francês-turco' ou
> 'turco-francês-turco-francês'); e 2 possibilidades para escolher a posição
> do terceiro cidadão turco e do terceiro cidadão francês; ou seja, 2 x 2 = 4
> possibilidades; Evidentemente, também são 4 as possibilidades para os casos
> '1-4-1-0', '4-1-1-0', '0-1-4-1', '0-4-1-1', '1-1-4-0'. Total: 6 x 4 = 24
> possibilidades.
>
> Para '0-1-2-3', temos o seguinte: 2 possibilidades para colocar 3 cidadãos
> no fim da fila ('francês-turco-francês' ou 'turco-francês-turco'); 2
> possibilidades para colocar 2 cidadãos juntos ('francês-turco' ou
> 'turco-francês') e uma possibilidade para colocar o turco ou francês que
> sobrou. ou seja, 4 possibilidades. Como são doze os casos análogos
> ('1-3-2-0', '0-3-2-1', '2-1-3-0' etc.), temos 48 possibilidades.
>
> E assim por diante:
>
> Para '0-1-5-0', são 2 possibilidades e dois casos análogos ('0-1-5-0' e
> '0-5-1-0'), então são 4 possibilidades.
>
> Para '0-3-3-0', são 2 possibilidades - e o caso é único.
>
> Para '0-2-2-2', são 8 possibilidades; há duas variações ('0-2-2-2' e
> '2-2-2-0'), total: 16 possibilidades
>
> Para '0-4-2-0', são 4 possibilidades; há duas variações ('0-4-2-0' e
> '0-2-4-0'), total: 8 possiblidades
>
> Para '1-1-1-3', são 6 possibilidades, há quatro variações ('1-1-1-3',
> '1-1-3-1', '1-3-1-1' e '3-1-1-1'), total: 24 possibilidades
>
> Para '1-1-2-2', são 8 possibilidades, há 6 variações ('1-1-2-2',
> '1-2-2-1', '2-1-1-2', '2-2-1-1', '2-1-2-1' e '1-2-1-2'), total de 48
> possibilidades.
>
> 3) Somando todas as possibilidades, temos 24+48+4+2+16+8+24+48=174
> possibilidades.
>
> 4) Agora vamos permutar os três ingleses (6 possibilidades), os três
> turcos (6 possibilidades) e os três franceses (6 possibilidades). Total:
> 216 possibilidades
>
> 5) Então temos 174 * 216 = 37584 possibilidades
>
> On Fri, Mar 13, 2020 at 9:22 AM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> Não sei se minha mensagem chegou para vocês.
>> Por via das dúvidas, te encaminho.
>>
>> Alguém tem uma ideia para esse problema?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> De quantos modos se podem sentar em fila, 3 ingleses, 3 franceses e 3
>> turcos, de modo que não fiquem dois compatriotas juntos?
>>
>>
>> A resposta é 37584.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.


Douglas oliveira

Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
> assim que tiver um tempinho.
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>> poderia me informar se está correto?
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa noite!
>>>> Creio ter conseguido.
>>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>>> 3^2003 algarismos
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Boa tarde!
>>>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>>>
>>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Boa tarde!
>>>>>> Questão complicada.
>>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>>>>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>>>>> parece que não...
>>>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>>>>> para n>=2.
>>>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>>>>> conjectura esteja correta.
>>>>>>
>>>>>> Saudações,
>>>>>> PJMS
>>>>>>
>>>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> Saudações
>>>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>
>>>>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma olhada
rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, assim que
tiver um tempinho.

Douglas Oliveira.

Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
> poderia me informar se está correto?
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> Creio ter conseguido.
>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>> 3^2003 algarismos
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>>
>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Boa tarde!
>>>>> Questão complicada.
>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>>>>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>>>> parece que não...
>>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>>>> para n>=2.
>>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>>>> conjectura esteja correta.
>>>>>
>>>>> Saudações,
>>>>> PJMS
>>>>>
>>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> Saudações
>>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] obm U

[Prof. Douglas Oliveira]

Teoria dos números, combinatória, Geometria, análise, cálculo e álgebra.



Em sáb, 22 de fev de 2020 13:07, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>
> Acho q eu não me fiz entender. Então eu quero saber só a matéria que cai
> na obm nível U, tipo análise, álgebra, topologia, teoria dos números, etc
>
> O
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


Saudações
Douglas Oliveira

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[obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Prof. Douglas Oliveira]

1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT
e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão
alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é
equilátero.

2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
  . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/
f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq
= rs.

Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x,
e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

Saudações
Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá caros amigos,
preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p)
ao somatório
S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a p-1, sendo p primo ímpar.

Saudações
Douglas Oliveira

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[obm-l] Números complexos (valor mínimo)

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, gostaria de uma ajuda.
Sem usar derivadas...
Como calcular o valor mínimo de lz^4+z+1/2l^2 onde o modelo de z vale 1.

Saudacoes
Douglas Oliveira

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[obm-l] Funcional equation

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá, como podemos achar todos os polinômios que satisfazem

P(x^2+1)=[P(x)]^2+1


Saudacoes
Douglas Oliveira

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Re: [obm-l]

[Prof. Douglas Oliveira]

Então, parece que existe sim, de uma olhada aqui
http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html

Gardner 1977 e guy 1994, além da fórmula existem soluções inteiras para tal
equação.

Abraço
Douglas Oliveira

Em sex., 29 de nov. de 2019 às 20:12, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> Tentei fazer o mesmo com R=1e l=√3, mas desisti qdo vi o tamanho das
> contas.
>
> Em sex, 29 de nov de 2019 16:09, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Acho que com números complexos e alguma álgebra sai.
>>
>> Se os vértices do triângulo forem R, Rw  e Rw^2 (onde w = cis(2pi/3) e R
>> é um real positivo) e P = z, então:
>> a = |z - R|, b = |z - Rw|; c = |z - Rw^2| ==>
>> a^2 + b^2 + c^2 = |z - R|^2 + |z - Rw|^2 + |z - Rw^2|^2 = 3*|z|^2 +
>> 3*R^2   (se não errei nenhuma conta)
>>
>> Neste caso, L^2 = 3*R^2, de modo que o lado direito da expressão do
>> enunciado será igual a (3*|z|^2 + 6*R^2)^2 = 9*(|z|^4 + 4*R^2*|z|^2 +
>> 4*R^4).
>>
>> O lado esquerdo deve dar um pouco mais de trabalho...
>>
>>
>> On Tue, Nov 26, 2019 at 7:00 PM gilberto azevedo 
>> wrote:
>>
>>> Pesquisando achei uma relação muito interessante, mas não achei nenhuma
>>> demonstração dela na web.
>>> Pra quem se interessar Seja um ponto P no interior de um triângulo
>>> equilátero de lado l, e a,b,c a distância desse ponto aos vértices do
>>> triângulo. Provar que :
>>> 3( a⁴ + b⁴ + c⁴ + l⁴) = ( a² + b² + c² + l²)²
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l]

[Prof. Douglas Oliveira]

Será que não sai usando somente congruência módulo 8?

Em ter., 12 de nov. de 2019 às 20:07, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Esdras,
> tem como você postar, mesmo para o caso apenas de n par?
>
> Grato!
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:52, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Carlos Gustavo,
>> grato pela luz, estava tão obsecado e só rodando em círculos, tal qual
>> patrulha perdida.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 19:19, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Dá para mostrar que a única solução com a e b pares é (2, 2). Agora com
>>> a e b ímpares, não consegui.
>>>
>>> Em ter, 12 de nov de 2019 18:19, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa noite!
>>>> Agora captei vosso pensamento.
>>>> Só que ao transformar a equação em uma equação de Pell, nós maculamos a
>>>> função 3^n.
>>>> Em verdade a solução para a par a= 2n, seria (2,2); pois, como
>>>> mencionara anteriormente se a é par, b também o é.
>>>> Só que quando procuramos as outras soluções, baseando-se na propriedade
>>>> de que a norma em Q [RAiz(A)] conserva a multiplicação. Só que quando eu
>>>> pego a solução
>>>> 3 + 2 Raiz(2) e elevo ao quadrado 17 + 12 Raiz(2). Se eu pegar
>>>> 17^2-2*12^2=1 eu atendo x^2 - 2Y^2=1. E assim sucessivamente. Mas não
>>>> existe n inteiro tal que 3^n=17, então não é uma solução da equação
>>>> original.
>>>> Creio que seja um pouco mais complicada a solução. Pois o difícil é
>>>> saber quando atende também a 3^n.
>>>> Acredito que deva haver uma forma de restringir a essas soluções, pois,
>>>> definir em que condições a solução terá x como uma potência de 3 seja bem
>>>> difícil.
>>>> Estou apanhando mais do que mala velha em véspera de viagem.
>>>> Se alguém postar uma solução, me ajudaria bastante.
>>>>
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>>
>>>> Saudações,
>>>> PJMS.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 17:25, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Boa tarde!
>>>>> Douglas,
>>>>> perdoe-me pela minha miopia, mas você poderia detalhar melhor onde
>>>>> entra a equação de Pell?
>>>>> A equação de Pell não é x^2-Dy^2 = N?
>>>>> Se a é par b é par e se a ímpar b é ímpar para atender mod8,
>>>>> Não consegui captar a sugestão.
>>>>>
>>>>> Saudações,
>>>>> PJMS
>>>>>
>>>>> Em ter., 12 de nov. de 2019 às 16:50, Prof. Douglas Oliveira <
>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Hum, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n.
>>>>>>
>>>>>> Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1
>>>>>> Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por
>>>>>> exemplo, da pra ver que são infinitas soluções usando a equação de Pell.
>>>>>>
>>>>>> Abraco
>>>>>> Douglas Oliveira.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo <
>>>>>> gil159...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> [HELP]
>>>>>>>
>>>>>>> Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que :
>>>>>>> 3^a = 2b² + 1.
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>
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>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

[Prof. Douglas Oliveira]

*Vamos deixar a preguiça  um pouco de lado, decidi escrever um pouco.*

*Equações de Pell são equações diofantinas não lineares da forma  x2 – Dy2
= m, onde D é um número natural e m um número inteiro. Se m = 1 temos a
equação  x2 – Dy2 = 1, onde notamos que estas equações possuem 2 soluções
inteiras triviais, x = 1, y = 0 e x = – 1 e y = 0. Fora estas soluções,
todas as outras soluções inteiras podem ser arranjadas em conjuntos de 4
soluções, onde apenas permutamos os sinais dos números. Por exemplo, desde
que (3, 2) é uma solução da equação  x2 – 2y2 = 1, também temos as soluções
inteiras (– 3, 2), (– 3, – 2) e (3, – 2). Evidentemente, em toda classe de
soluções existe uma onde x e y são naturais. Denominemos estas solução de
soluções naturais da Equação de Pell. Claramente, para determinar as
soluções de uma Equação de Pell basta determinar as soluções naturais.*

*O caso em que m = 1 e D for um quadrado perfeito (D = n2) não é
interessante, pois assim a equação pode ser reescrita da forma:  x2 – n2y2
= (x – ny)(x + ny) = 1  onde equação não possui soluções naturais fora à
trivial  x = 1 e y = 0.*


*Por exemplo, pode-se observar que a Equação de Pell  x2 – 3y2 = 1  possui
uma menor solução natural  x0 = 2, e y0 = 1. Deste modo, pode-se encontrar
uma outra solução natural, fazendo  x1 = x02 + 3y02 = 7  e  y1 = 2x0y0 = 4.
Conferindo, temos evidentemente que  72 – 2.42 = 1. Agora temos (1, 0), (2,
1) e (7, 4) como soluções naturais de  x2 – 3y2 = 1. Para encontrar outra
basta fazer  x2 = x12 + 3y12 = 97  e  y2 = 2x1y1 = 28. Conferindo, notamos
que realmente  972 – 3.282 = 1. E assim por diante, onde podemos fazer este
procedimento de cálculos infinitas vezes, obtendo infinitas soluções
naturais para a Equação de Pell  x2 – 3y2 = 1.*

*Todas as soluções de x2 – 3y2 = 1 podem ser encontradas através da
expressão x_n+y_n(sqrt(3))=(x_o+y_o(sqrt(3))^n , ou seja,
 x_n+y_n(sqrt(3))=(2+sqrt(3))^n.*


Grande abraço

Douglas Oliveira



Em dom., 10 de nov. de 2019 às 19:33, gilberto azevedo 
escreveu:

> [HELP]
>
> Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que :
> 3^a = 2b² + 1.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l]

[Prof. Douglas Oliveira]

Hum, então, vamos analisar o caso de a ser par do tipo 2n.

Assim podemos escrever que (3^n+b(sqrt2))(3^n-b(sqrt2))=1
Dai através da solução mínima que o Pedro fez, como (1,1) por exemplo, da
pra ver que são infinitas soluções usando a equação de Pell.

Abraco
Douglas Oliveira.



Em dom, 10 de nov de 2019 19:33, gilberto azevedo 
escreveu:

> [HELP]
>
> Achas todos os pares (a,b) inteiros positivos tais que :
> 3^a = 2b² + 1.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Séries e somatórios

[Prof. Douglas Oliveira]

Gosto muito do manual de sequências e séries do Luis Lopes.

Douglas Oliveira.

Em qua, 30 de out de 2019 20:19, Esdras Muniz 
escreveu:

> O livro concrete mathematics fala disso.
>
> Em qua, 30 de out de 2019 19:51, Alexandre Antunes <
> prof.alexandreantu...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Boa noite,
>>
>> Alguém tem alguma referência de livro/apostila sobre operações e
>> propriedades "avançadas" sobre séries, somatórios, somatórios duplos, etc...
>>
>> Antecipadamente agradeço.
>>
>> Atenciosamente,
>>
>> Prof. Msc. Alexandre Antunes
>> www alexandre antunes com br
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Re: Problema 19 da OMDF de 2018.

[Prof. Douglas Oliveira]

Vamos fazer por complexos.

1) Coloque os eixos real e imaginário com origem no vértice A.

2) Chame de z1 o complexo AP  e de z2 o complexo AQ.

3)Faca uma rotação de 60 graus, z1cis(60)=z2.

4) Igualando as partes real e imaginaria teremos para resposta 2b-a3^(1/2)

Abraço
ProfDouglasOliveira

Em qui, 24 de out de 2019 23:44, Guilherme Abbehusen <
gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:

> Aliás, esqueci de avisar que a resposta deve ser em função de a e b. As
> alternativas seriam: A) 2a - b*3^1/2B) a - 2b*3^1/2 C) 3b -
> a*3^1/2D) 2b - a*3^1/2 E) b - a*3^1/2
>
>
> Em qui, 24 de out de 2019 às 23:06, Guilherme Abbehusen <
> gui.abbehuse...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, alguém poderia me ajudar com essa questão?
>>
>> Azambuja tem uma folha retangular ABCD de dimensões AB = a e BC = b , na
>> qual quer efetuar três cortes para obter um triângulo equilátero. Portanto,
>> escolhe o ponto P sobre BC e o ponto Q sobre CD, obtendo o triângulo
>> equilátero APQ. Qual é o comprimento do segmento BP?
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial

[Prof. Douglas Oliveira]

Pocha, explicadissimo, thank you my friend.

Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Depende!
>
> (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou
> nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce
> decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a
> pergunta.")
>
> O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns
> matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que
> 0^0 nao eh uma operação permitida.
>
> Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma
> convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas
> tenho alguns argumentos a favor disto:
> A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim
> f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a,
> entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo
> que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1!
> A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem
> excecao.
> A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util:
> para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a
> gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a
> n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois
> bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso
> valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao
> eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho,
> ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :(
>
> Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como
> "operacao invalida":
> B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0),
> então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0).
> B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e
> isto poderia causar confusao!
> B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica
> descontinua em x=0.
>
> Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente
> pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio.
>
> Abraco, Ralph.
>
> On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Amigos, me ajudem por favor.
>>
>> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação
>> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Equação exponencial

[Prof. Douglas Oliveira]

Amigos, me ajudem por favor.

Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)?

Douglas Oliveira.

-- 
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mandei errado aqui a tangente, não é dessa questão não, essa questão
sua tem algo errado.樂樂

Em qua, 28 de ago de 2019 14:42, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Pode enviar a solução?
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 13:57, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> X=arctg(2/3raiz5)
>>
>> Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>>>
>>> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e
>>>> D é o ponto médio de BE. É isso?
>>>>
>>>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Caramba, me desculpa
>>>>>
>>>>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>>>>
>>>>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Tu tem a fonte dela amigao??
>>>>>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>>>>>
>>>>>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>>>>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>>>>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>>>>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>>>>>
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>>> --
>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

X=arctg(2/3raiz5)

Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D
>> é o ponto médio de BE. É isso?
>>
>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Caramba, me desculpa
>>>
>>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>>
>>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Tu tem a fonte dela amigao??
>>>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>>>
>>>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>>>
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>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Tu tem a fonte dela amigao??
A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?

Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Minimizar

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos ajuda a minimizar a expressão.
sin(x+y)/((1+sinx)(1+siny))

Please

Thank you
Douglas oliveira

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[obm-l] Re: [obm-l] Somatórios

[Prof. Douglas Oliveira]

Manual de sequencias do LUis Lopes, volumes 1 e 2.

Douglas Oliveira

Em sáb, 20 de jul de 2019 às 23:38, Eduardo Henrique 
escreveu:

> Pessoal, podem me indicar algum material que explique como funcionam os
> somatórios? Gostaria de algum que explicasse em que casos podemos inverter
> somatórios, quais as condições... tanto pra finitos quanto pra infinitos.
> Pode ser apenas nomes de livros que tenham isso que eu corro atrás. Valeu!
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Geometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa , desculpa era quadrado

Em seg, 15 de jul de 2019 22:58, Joao Breno 
escreveu:

> ABCD é um quadrilátero qualquer ou um retângulo?
>
> Att, Breno.
>
> Em seg, 15 de jul de 2019 22:18, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos podem me ajudar no seguinte problema?
>>
>> Dado um [image: $ABCD$], onde [image: $M,K, L$] e [image: $N$] são
>> pontos nos lados [image: $AB, BC,CD$] e [image: $DA$], respectivamente,
>> tal que [image: $\angle MKA =\angle KAL = \angle ALN = 45^o$]. Prove que 
>> [image:
>> $MK^2 + AL^2 = AK^2 + LN^2$]
>>
>> Att
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Geometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos podem me ajudar no seguinte problema?

Dado um [image: $ABCD$], onde [image: $M,K, L$] e [image: $N$] são pontos
nos lados [image: $AB, BC,CD$] e [image: $DA$], respectivamente, tal
que [image:
$\angle MKA =\angle KAL = \angle ALN = 45^o$]. Prove que [image: $MK^2 +
AL^2 = AK^2 + LN^2$]

Att
Douglas Oliveira

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[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

[Prof. Douglas Oliveira]

Lembro-me de uma resolucao feita por amigo aqui da lista, o Carlos Victor,
na eureka número 2, no finalzinho, de uma olhada.

Att
Douglas Oliveira.

Em qua, 3 de jul de 2019 15:08, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Esses dias eu estava estudando sobre frações unitárias, e assisti a um
> vídeo do pessoal impa sobre o assunto e fiquei sinceramente maravilhado com
> a engenhosidade dos egípcios.Mas uma questão não saiu da minha cabeça: um
> número inteiro pode ser separado em frações unitárias?Quais são as
> propriedades necessárias que uma fração deve ter para ser decomposta em
> frações egípcias
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_8002768564935167525_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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