Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
Cara Amanda, Como as respostas que chegaram às suas perguntas foram incompletas, resolvi escrever soluções, ainda que com uma certa demora (pelo que peço desculpas). Vamos lá: a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) R.: Podemos escrever a_n=Soma(k = 1, n) b_k, onde b_1=f(1) e b_k=f(k)-Int [k-1, k] f(x) dx= Int [k-1, k] (f(k)-f(x)) dx para k1. Como f é decrescente, temos b_k0, pois f(k)-f(x)0 para k-1=xk. Assim, a sequência a_n é decrescente. Por outro lado, como f(k)-f(x)=f(k)-f(k-1) para k-1=x=k, temos b_k=f(k)-f(k-1) para k1, donde a_n=Soma(k = 1, n) b_k=f(1)+Soma(k = 1, n)(f(k)-f(k-1)=f(n). Como f é limitada, (a_n) é decrescente e limitada, e logo converge. b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-ésimo primo. R.: Vamos provar que, para qualquer sequência (a_n) de reais positivos, a série de (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, a série de a_n converge. De fato, se a série de a_n converge, como s_n=a_1 para todo n, a soma de a_n/s_n é menor ou igual à soma de a_n/a_1, que é limitada, e portanto converge. Por outro lado, se a série de a_n diverge, para todo inteiro positivo m existe nm tal que s_n2.s_m, e logo a soma de k=m+1 até n de a_k/s_k é maior ou igual à soma de k=m+1 até n de a_k/s_n, que é igual a (s_n-s_m)/s_n=1-s_m/s_n1/2. Assim, para todo m (por maior que seja), a soma de alguns termos da série a_k/s_k com km é maior que 1/2, o que implica que a série de a_k/s_k diverge. Vamos agora tratar dos subitens: b.1) Como a série de 1/n^2 converge, a série de (a_n)/(s_n) também converge. b.2) Vamos mostrar que a série dos inversos dos primos diverge, e portanto a série de (a_n)/(s_n) também diverge. Para isso vou mostrar um argumento bacana do Erdös: Se a série de 1/p_n convergisse, existiria N natural tal que a série dos 1/p_n com nN seria menor que 1/2, Seja A o conjunto dos naturais que têm algum fator primo p_n com nN, e B o complementar de A nos naturais. Dado m um inteiro positivo, o número de inteiros positivos entre 1 e m que pertencem a A é no máximo a soma de m/p_n para nN, que é menor que m/2. Por outro lado, um elemento de B menor ou igual a m se escreve como p_1^a_1.p_2^a_2.p_N^a_N (não pode ter nenhum fator primo maior que p_N), e os expoentes a_j são no máximo log m/log 2. Assim, há no máximo (1+log m/log 2)^N possibilidades para esses elementos. Como há m inteiros positivos entre 1 e m, devemos ter m/2+(1+log m/log 2)^Nm, donde (1+log m/log 2)^Nm/2 para todo inteiro ositivo m, o que é um absurdo, pois o limite de (1+log m/log 2)^N/m quando m tende a infinito é 0. Abraços, Gugu Quoting Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
Muito obrigada! Amanda Em 07/11/2014, às 15:30, g...@impa.br escreveu: Cara Amanda, Como as respostas que chegaram à s suas perguntas foram incompletas, resolvi escrever soluções, ainda que com uma certa demora (pelo que peço desculpas). Vamos lá: a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) R.: Podemos escrever a_n=Soma(k = 1, n) b_k, onde b_1=f(1) e b_k=f(k)-Int [k-1, k] f(x) dx= Int [k-1, k] (f(k)-f(x)) dx para k1. Como f é decrescente, temos b_k0, pois f(k)-f(x)0 para k-1=xk. Assim, a sequência a_n é decrescente. Por outro lado, como f(k)-f(x)=f(k)-f(k-1) para k-1=x=k, temos b_k=f(k)-f(k-1) para k1, donde a_n=Soma(k = 1, n) b_k=f(1)+Soma(k = 1, n)(f(k)-f(k-1)=f(n). Como f é limitada, (a_n) é decrescente e limitada, e logo converge. b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-ésimo primo. R.: Vamos provar que, para qualquer sequência (a_n) de reais positivos, a série de (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, a série de a_n converge. De fato, se a série de a_n converge, como s_n=a_1 para todo n, a soma de a_n/s_n é menor ou igual à soma de a_n/a_1, que é limitada, e portanto converge. Por outro lado, se a série de a_n diverge, para todo inteiro positivo m existe nm tal que s_n2.s_m, e logo a soma de k=m+1 até n de a_k/s_k é maior ou igual à soma de k=m+1 até n de a_k/s_n, que é igual a (s_n-s_m)/s_n=1-s_m/s_n1/2. Assim, para todo m (por maior que seja), a soma de alguns termos da série a_k/s_k com km é maior que 1/2, o que implica que a série de a_k/s_k diverge. Vamos agora tratar dos subitens: b.1) Como a série de 1/n^2 converge, a série de (a_n)/(s_n) também converge. b.2) Vamos mostrar que a série dos inversos dos primos diverge, e portanto a série de (a_n)/(s_n) também diverge. Para isso vou mostrar um argumento bacana do Erdös: Se a série de 1/p_n convergisse, existiria N natural tal que a série dos 1/p_n com nN seria menor que 1/2, Seja A o conjunto dos naturais que têm algum fator primo p_n com nN, e B o complementar de A nos naturais. Dado m um inteiro positivo, o número de inteiros positivos entre 1 e m que pertencem a A é no máximo a soma de m/p_n para nN, que é menor que m/2. Por outro lado, um elemento de B menor ou igual a m se escreve como p_1^a_1.p_2^a_2.p_N^a_N (não pode ter nenhum fator primo maior que p_N), e os expoentes a_j são no máximo log m/log 2. Assim, há no máximo (1+log m/log 2)^N possibilidades para esses elementos. Como há m inteiros positivos entre 1 e m, devemos ter m/2+(1+log m/log 2)^Nm, donde (1+log m/log 2)^Nm/2 para todo inteiro ositivo m, o que é um absurdo, pois o limite de (1+log m/log 2)^N/m quando m tende a infinito é 0. Abraços, Gugu Quoting Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo
[obm-l] Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
b1) soma 1/(1/1+1/2^2+...+1/(n+1)^2)(n+1)^2*1 /sn/n^2= =soma n!^2/(n-1)!^2 *n^(n-1)/n^n=soma n^(n+1)/n^n=divergente b2) divergente 2014-10-29 22:51 GMT-02:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com: Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série
Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar em um deles. a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 . Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. Muito obrigada Amanda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
