Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Marcelo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Em primeiro lugar, obrigado : palavras de incentivo nos motivam a prosseguir.
A ideia me parece muito boa por tres razoes :
1) Todas as solucoes ficariam armazenadas em um mesmo lugar, o que
facilitaria consultas.
2) Outras pessoas poderiam aperfeicoar e/ou corrigir as provas
3) Esta nossa lista receberia o link a medida que eu fosse postando as solucoes.
Um problema que ocorre e que eu so posso ir colocando as solucoes na
medida em que vou arranjando tempo livre, o que significa que eu posso
ficar, as vezes, varias semanas sem publicar nada. Se estas ausencias
nao ijmplicarem algum problema maior, podemos tocar este projeto ( o
Arthur Steiner, que gosta muito de Analise, pode querer ajudar. E bom
perguntar a ele ), sem problemas
Eu nao tenho nenhum interesse financeiro, holofotes naome atraem e so
desejo contribuir para o progresso e elevacao desta maravilhosa
ciencia : sou um Matematico, do dedao do pe ate os cabelos da cabeca.
Alem disso, tenho uma divida de gratidao tanto para com o Nicolau, que
aqui me recebeu com lhaneza, respeito e dignidade bem como com outros
professores, com os quais aprendi muito ( Ralph, Gugu, Eduardo Wagner
e o falecido Morgado, so para citar alguns ). Assim, esta lista estara
sempre sob os meus cuidados, mesmo que muitas vezes, por falta de
tempo, eu nao possa dar a ela a devida atencao.
Um Abracao
Paulo santa Rita
7,0B23,050408
Muitos estudantes de outros paises da America do Sul e mesmo de outros
paises costumam nos acompanhar. Vi isso quando traduzi os problemas
russos e recebia em off muitos pedidos.
2008/4/4 Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]:
Olá Paulo,
gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas
soluções diretamente em uma wiki?
Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica
disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos
arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;)
Pensei em criarmos alguma coisa assim:
== Análise na reta - Elon ==
* Capítulo 1
** Exercício 1
** Exercício 2
** :
* Capítulo 2
** ...
e assim por diante.
Se quiser, crio para você e mando o link por pvt.
Um grande abraço,
Salhab
2008/4/3 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao,
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado,
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa.
Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Joao !
Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista
seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer
as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite
que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0911,040408
2008/4/4 João Luís [EMAIL PROTECTED]:
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message - From: Paulo Santa Rita
[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Sim, sim, claro. Citarei o seu nome, inclusive. E colocarei que versao para
o Latex foi feita por mim
Alias, pra dar seriedade a coisa, acho que devo colocar que se trata de uma
lista de solucoes do livro tal, de autoria do Prof. Elon, que nao tem
responsabilidade sobre as mesmas. Nao acha que assim fica melhor? Ate pq, em
email anterior, vc disse que o prof Elon nao se oporia a que vc publicasse
suas solucoes, nao eh mesmo?
Se voce quiser sugerir um pequeno texto que explique essas coisas, por favor
me envie. De qq modo, nao vai ser um trabalho pra ficar pronto logo, vou
precisar de alguns meses talvez, pois estou com muito trabalho.
Um abracao pra vc,
Joao
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 9:21 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Joao !
Tranquilo. Fique a vontade : o meu interesse e que aqui nesta lista
seja praticado Matematica de Qualidade. Assim, um bom exemplo e fazer
as questoes do Projeto Euclides, IMPA. Se achar valido, apenas cite
que trata-se de solucao de um membro da LISTA DE DISCUSSAO DE
PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA da PUC-RIO.
Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0911,040408
2008/4/4 João Luís [EMAIL PROTECTED]:
Paulo,
Ja que eh assim, resolvi escrever entao pra engrossar o coro daqueles que
acham otima sua iniciativa. Eu tambem tenho interesse pelas solucoes.
Estou pensando ateh em, quando eu tiver um tempinho sobrando, fazer um
arquivo Latex com elas. Voce permite?
Um abraco,
Joao Luis
- Original Message - From: Paulo Santa Rita
[EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 04, 2008 6:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Claudio !
Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir
: as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas
solucoes e que estou apenas enchendo o saco dos membros da lista.
Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o
nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU
PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que
sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS
FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os
estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas
similares.
Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a
solucao do problema 4.12
( EXERCICIO 4.12 )
Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao :
Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N)
Seja r um numero real, 0 r 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 b a.
Ao real F = a - b 0 correspondera um N0 tal que n N0 implica | Xn
– a | F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n N0, a – F Xn,
vale dizer, n N0 = b Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros
reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS i e K ( n
N0 ) :
0 b^(i/K) (Xn)^(i/K) = 0 (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) (
(Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) )
Logo : 0 Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )]
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] =
0 | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] ||
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |
Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando
tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue :
( DESIGUALDADE 1 )
|(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*|
Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a|
Dado um E 0
( DESIGUALDADE 2 ) :
Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n N1 = | Xn-a| c*E
Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n N2 as
duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das
desigualdades chegamos a :
n N2 = |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E
Assim, para um E 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal
que n N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| E. Isto estabelece que
LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar.
***
Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos
colchetes há P fatores. Logo :
LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q)
LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q)
O caso P/Q 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de -
OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu
enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o Tio Cabri.
Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu
tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou
disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes
aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus
colegas.
Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0630,040408
2008/4/3 Claudio Gustavo [EMAIL PROTECTED]:
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Olá Paulo,
gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas
soluções diretamente em uma wiki?
Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica
disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos
arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;)
Pensei em criarmos alguma coisa assim:
== Análise na reta - Elon ==
* Capítulo 1
** Exercício 1
** Exercício 2
** :
* Capítulo 2
** ...
e assim por diante.
Se quiser, crio para você e mando o link por pvt.
Um grande abraço,
Salhab
2008/4/3 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI
[obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI f(Xm)) = Xm f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o m =
INTER Xm f(UNI f(Xm)) = f( INTER Xm) f ( f(UNI f(Xm))) =
f( INTER Xm ) UNI f(Xm) =
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.21 )
Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
- F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento a E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma funcao f_a : B - C, isto e, qualquer que seja o elemento b E
B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.
Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem
Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Oi Paulo.
Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois
essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim.
Abraços,
Claudio Gustavo.
Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Ola Pessoal,
Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
excelente Livro :
Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
11 edicao - 2 impressao
Autor : Elon Lages Lima
Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
Entretanto, algumas pessoas me escreveram em off e pediram que eu
publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
NOTACAO : A letra lambda sera representada nestes exercicios por
m. Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos e
representarao, respectivamente, contem e esta contido. O Simbolo
de pertence a sera representado pela letra E e f_a representa a
letra f com indice a. A barra / representara a expressao tal
que
( EXERCICIO 1.14)
NOTACAO : Seja f : A - B uma funcao. Se Y B, f(-1)(Y) sera o
conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
f(-1)(b)
ITEM A :
Seja X A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) = a E f(-1)(b) = a
E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) = f(-1)( f(X) ) f(-1)(f(a))
= a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X = a E f(-1)( f(X) ). Isto
estabelece que X f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X A, tal como
queriamos demonstrar.
ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
para demonstrar que f(-1)(f(X)) X para todo X A. Isto e
evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} -{4,5,6
} tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
ITEM B :
No item anterior, mostramos que se f:A - B e uma funcao qualquer
entao para todo X A, f(-1)( f(X) ) X. Agora, supondo que f:A-B e
injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) X. Faremos isso
por reducao ao absurdo.
Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
caso, existe um a E f(-1)( f(X) ) tal que a NAO PERTENCE a X,
vale dizer, existe b E f(X) tal que b=f(a) mas a NAO PERTENCE a X.
Como b E f(X), existe c E X tal que b=f(c). Assim, existem a e
c, a # c, tal que f(a) = f(c) = b = f nao e injetiva ... ABSURDO
!
Portanto, f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) X, para todo X ªA.
Como f(-1)( f(X) ) X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
não, segue que :
f:A- B injetiva = f(-1)( f(X) ) = X
IMPLICACAO 1
Agora, suponhamos que f: A - B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
)=X para todo conjunto X A. Queremos mostrar que f:A - B e
injetiva.
Suponha que f:A-B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
f(-1)( f(X) ) = X, para todo X A = f:A-B injetiva IMPLICACAO 2
As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A-B e injetiva se, e somente
se, f(-1)(f(X))=X, para todo X A, tal como queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.18 )
ITEM A :
Claramente que Xm UNI Xm, qualquer que seja m. Aplicando a
propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) f(UNI Xm), qualquer que
seja o m. Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
INTER f(Xm) f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) INTER f(Xm), qualquer que
seja o m. Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
sucessivamente :
f( f(Xm) ) f( INTER f(Xm)) = Xm f( INTER f(Xm)) qualquer que
seja o m =
UNI Xm f( INTER f(Xm)) = UNI Xm f(INTER f(Xm)) =
f(UNI Xm) f( f (INTER f(Xm))) = f(UNI Xm) INTER f(Xm) =
INTER f(Xm) f(UNI Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
queriamos demonstrar.
***
ITEM B :
Claramente Xm INTER Xm, qualquer que seja o m. Segue, da
propriedade da funcao, que f(Xm) f(INTER Xm), qualquer que seja o
m. Portanto :
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 1
Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) UNI f(Xm), qualquer que
seja o m. Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
vem :
f(f(Xm)) f(UNI f(Xm)) = Xm f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o m =
INTER Xm f(UNI f(Xm)) = f( INTER Xm) f ( f(UNI f(Xm))) =
f( INTER Xm ) UNI f(Xm) =
UNI f(Xm) f( INTER Xm) INCLUSAO 2
As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
queriamos demonstrar.
( EXERCICIO 1.21 )
Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
- F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento a E A, existe uma
funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
e uma
