Re: [obm-l] Primo e divisor
Nesse caso, eh 240. Se p 5 entao 5 | p^4 - 1 (pequeno Fermat). Alem disso, todo primo = 5 eh da forma 3k +/- 1. Logo, p-1 ou p+1 eh multiplo de 3. Finalmente os multiplos de 2: p^2+1, p-1 e p+1 sao pares. Mas um dentre p-1 e p+1 eh tambem multiplo de 4. Logo, p^4-1 eh multiplo de 16. Assim, 16*3*5 = 240 divide p^4 - 1. Agora, 7^4 - 1 = 2400 e 11^4 - 1 = 14640. Mas mdc(2400,14640) = 240. Logo, 240 eh o maior inteiro que divide todos os numeros da forma p^4 - 1 com p primo e 5. *** Na mesma linha proponho um novo problema: Qual o maior inteiro N que eh divisivel por todos os inteiros positivos inferiores a raiz(N)? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Primo e divisor Oi, Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... Abraços, Nehab At 12:47 31/8/2006, you wrote: Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
Creio que este inteiro deve dividir todos os p^4 - 1 simultaneamente, tal que p é um primo maior 5. A resposta de que este maior divisor seja o próprio p^4 - 1 faz todo o sentido, porém ele seria um valor variável dependente de p, e não um valor constante. A solução que encontrei foi a seguinte: Fatorando p^4 - 1, obtemos p^4 - 1 = (p^2 + 1).(p^2 - 1) = (p^2 + 1).(p + 1).(p - 1) Se p é primo maior que 5, então necessariamente p é ímpar e (p^2 + 1) é um múltiplo de 2, (p + 1) é um múltiplo de 2, e (p - 1) é um múltiplo de 2. Logo, (p^4 - 1) é múltiplo de 23. Ainda, dados três números consecutivos (p - 1), p, (p + 1), então necessariamente um deles é múltiplo de 3. Então (p + 1) ou (p - 1) é múltiplo de 3, pois p é primo. Logo, p^4 - 1 é múltiplo de 3. E finalmente, todo inteiro é da forma 5.k, 5.k + 1, 5.k + 2, 5.k + 3, 5.k + 4. com k inteiro. Como p é um primo maior que 5, p não pode ser da forma 5.k, porém vamos provar que para as outras formas, p^4 - 1 sempre é um múltiplo de 5. Vejamos os outros casos: Se p for da forma 5.k + 1, então (p - 1) = (5.k + 1 - 1) = 5.k, torna p^4 - 1 um múltiplo de 5. Se p for da forma 5.k + 2, então (p2 + 1) = (25.k2 + 20.k + 4 + 1) = 5.(5.k2 + 4.k + 1) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5. Se p for da forma 5.k + 3, então (p2 + 1) = (25.k2 + 30.k + 9 + 1) = 5.(5.k2 + 6.k + 2) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5. Se p for da forma 5.k + 4, então (p + 1) = (5.k + 4 + 1) = 5.k + 5 = 5.(k + 1) = 5.k', também torna p^4 - 1 um múltiplo de 5. Logo, p^4 - 1 sempre será um múltiplo de 5. Assim, como p^4 - 1 é múltiplo de 23, 3, 5 simultaneamente, então p^4 - 1 é múltiplo de 23 . 3 . 5 = 240 c.q.d. Como contra-exemplo: 7^4 - 1 = (7^2 + 1).(7 + 1).(7 - 1) = 50 . 8 . 6 = 25 . 31 . 52 11^4 - 1 = (11^2 + 1).(11 + 1).(11 - 1) = 122 . 12 . 10 = 24 . 31 . 51 . 611 13^4 - 1 = (13^2 + 1).(13 + 1).(13 - 1) = 170 . 14 . 12 = 24 . 31 . 51 . 71 . 171 17^4 - 1 = (17^2 + 1).(17 + 1).(17 - 1) = 290 . 18 . 16 = 26 . 32 . 51 . 291 De fato, o M.D.C.(7^4 - 1, 11^4 - 1, 13^4 - 1, 17^4 - 1) = 24 . 3 . 5 = 240. Gostaria que vocês verificasse se estes meus argumentos são plausíveis. From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 16:45:51 -0400 Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p = -1 mod 3 Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 = 30. Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ): p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16. Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere? From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300 Oi, Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... Abraços, Nehab At 12:47 31/8/2006, you wrote: Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message
[obm-l] Primo e divisor
Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
Acho q tenho uma solução razoável:se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2Alguma objeção à resposta???Espero ter contribuído... Até +, ÍtaloJoão Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1.Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois.Abraços,João Luís.- Original Message - From: "Ricardo Khawge" <[EMAIL PROTECTED]>To: <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR>Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AMSubject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5." Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Primo e divisor
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
Oi, Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... Abraços, Nehab At 12:47 31/8/2006, you wrote: Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p = -1 mod 3 Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 = 30. Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ): p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16. Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere? From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300 Oi, Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... Abraços, Nehab At 12:47 31/8/2006, you wrote: Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primo e divisor
É, Acho que você tem toda razão.Este negócio tá ficando engraçado !!! Alguém se candidata a melhorar esta joça :-)? Nehab At 17:45 31/8/2006, you wrote: Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p = -1 mod 3 Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5 = 30. Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ): p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16. Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere? From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300 Oi, Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como melhorá-la mais um pouquinho nem poucão... Abraços, Nehab At 12:47 31/8/2006, you wrote: Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal formulada. Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a resposta. Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra qualquer p primo 5 entao acho que a resposta e 10. p^4-1 = 0 mod 2 p^4-1 = 0 mod 5 ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1) = 1 mod p. Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas certamente nao vai ser o maior divisor. From: its matematico [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 + (GMT) Acho q tenho uma solução razoável: se p é primo e p5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo p^4-1 é par e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2 Alguma objeção à resposta??? Espero ter contribuído... Até +, Ítalo João Luís Gomes Guimarães [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior inteiro que divide p^4 - 1 é.. p^4 - 1 ! e ninguém poderia colocar objeção, hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a solução procurada exclui o próprio p^4 - 1. Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e, se a encontrar, posto depois. Abraços, João Luís. - Original Message - From: Ricardo Khawge To: Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM Subject: [obm-l] Primo e divisor Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos fazer um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema, não sei se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando aqui e agradecemos qualquer colaboração. Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo maior que 5. Tchau _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
