[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
Olá a todos! Esta Lista é realmente muito legal! É com prazer e estímulo que participo dela. Para mim, o melhor da Lista é que um estudante propõe um problema mais ou menos assim: Paulo tem o dobro da idade de Pedro. Pedro tem 10 anos. Qual é a idade de Paulo? Aí, o primeiro cara responde 20 anos. O segundo pergunta se o aniversário de Pedro coincide com o de Paulo. O terceiro considera que a idade evolui de forma contínua, e não discreta, portanto não há uma resposta exata, já que os aniversários não podem ser absolutamente coincidentes. O quarto indaga em que sistema (métrica) de numeração estão expressas as idades. O quinto expõe que sendo Paulo um adulto e Pedro uma criança, a massa corporal de Paulo é maior do que a de Pedro, daí, pela Teoria da Relatividade, o tempo evolui mais rapidamente para Pedro do que para Paulo - como as massas de ambos não foram informadas, o problema está indeterminado. O sexto explica que, além da falta da informação referente às massas, Paulo, por ser mais velho, já andou (se deslocou) mais do que Pedro, daí (novamente pela Relatividade de Einstein) o espaço-tempo dos dois é diferente: Paulo já viveu mais do que o dobro do que viveu Pedro. E por aí vai... O que quero dizer é que essa discussão sobre integrais e definições, digamos não ortodoxas, de algumas funções foi bastante interessante. Eu mesmo me lembro que há 10 - 15 anos atrás (como eu já estou ficando velho!) discuti com o Nicolau Saldanha sobre a definição da função Gama. Da mesma forma, tudo começou quando um estudante perguntou o valor numérico do fatorial de pi (pi!). Depois de algumas mensagens, o Nicolau quis estender o domínio da função Gama para o R^n (ou mesmo matrizes), mas preservando a correspondência dessa função com o fatorial dos números naturais. Eu já queria definir a função Gama de acordo com as suas propriedades em Relação à Transformada de Laplace - bacana, não? Pois é... Finalizando, acho que não fui claro em um ponto de minhas mensagens anteriores: O que quis dizer foi: ainda não foi descoberto um algoritmo generalizado para o cálculo das integrais indefinidas. Acredito, até, que se possa provar a impossibilidade de um algoritmo assim. Daí, EM PRINCÍPIO, não é possível calcular a integral indefinida de uma função genérica - só é possível calcular a integral indefinida de determinadas famílias de funções. Daí, EM PRINCÍPIO, a integral indefinida de uma certa função não pode ser calculada, até que alguém, por algum método a descubra (aí valendo até a intuição) - é isto. Saudações a todos, Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Bernardo Freitas Paulo da Costa Sent: Wednesday, March 25, 2009 4:45 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível? Só pra dizer mais umas coisas legais : O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal: 1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer semelhança com o seno é pura coincidência) 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' = -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg = 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1 4) Como g(0) = 1 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona decrescente. 5) Existe um ponto x 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior do que zero (pois g(0) = 1 0, teorema do valor intermediário), logo f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num intervalinho em torno do zero, f' 1/2, logo f 1/2 * comprimento do intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) -a/2. Logo g *tem que* cruzar zero. 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação !) Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva, logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais) 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) = -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' = f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) + f
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp( x^-2), por que é impossível?
Eh, mas esta eh a integral da nota de aula eh DEFINIDA, de -Inf a +Inf. Esta dah para calcular passando por integrais duplas e coordenadas polares (este calculo eh belissimo, neh?). A integral INDEFINIDA (ou a integral definida F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt ) eh impossivel... bom, no sentido que o Leandro falou ali em cima: nao dah para escreve-la usando apenas as chamadas funcoes elementares (sin, cos, ln, exponenciais... esqueci alguma?) e somas, subtracoes, multiplicacoes, divisoes e raizes (FINITAS). Acho que o Cesar queria ver a demonstracao deste fato; infelizmente, eu nao a conheco... alias, nao tenho ideia de como seja esta demonstracao. Agora, se usarmos funcoes nao elementares, dah para escrever sim (por exemplo, usando a funcao erf, como disse o Bouskela, que por sua vez eh uma outra integral destas impossiveis, com aspas). Outra possibilidade para resolve-la (talvez o verbo correto aqui fosse re-escreve-la...) eh por serie de potencias. exp(-x^2)=1-x^2+x^4/2!-x^6/3!+x^8/4!-x^10/5!+...+(-1)^n . x^(2n)/n!+... F(x)=x-x^3/3+x^5/10-x^7/42+x^9/212-x^11/1320+...+(-1)^n.x^(2n+1)/((2n+1).n!)+... Reforcando de novo o que o Leandro disse, esta divisao entre funcoes elementares e nao-elementares eh um tanto arbitraria; quase dah para argumentar que a funcao F(x)=Int (0 a x) exp(-t^2) dt eh tao elementar quanto o seno, e tao dificil de calcular quanto o seno. Pense bem: como calcular F(1), e como calcular sin(1)? Eh mais uma questao de costume -- a gente mexe com o seno frequentemente, mas raramente com esta F que nem nome ganhou. Abraco, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para definir por limites usando números racionais, mas dá um certo trabalhinho... Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de e por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo universo, as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem lógica desse pessoal é: *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!* 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de e, não temos a mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional. 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim, d(lnx)/dx=1/x e ln1=0. 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +). (2a. Em particular, note que ln2ln1=0.) 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional) -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0. 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo (-Inf, +Inf). 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa de exp(x):(-Inf, +Inf) - (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e (1)). 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional) -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r. 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo menos para x racional) 8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do tipo 1^(+Inf). 9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x0, para qualquer y, inclusive y irracional. Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar). Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca vi mais gordoo, é, que é? :) :) :) Abraço a todos, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível?
Olá, As integrais do tipo e^(ax) são obtidas a partir da derivação da função erro, assim: Integral [ e^(-a*x^2)dx ] = sqrt(pi)*erf(x*sqrt(a)/2*sqrt(a) , onde erf é a função erro. Para deduzir a integral acima, basta saber que: d(erf(x))/dx = 2*e^(-x^2)/sqrt(pi) Ou, numa forma mais geral: d(erf(ax))/dx = 2a * e^(-a^2 * x^2)/sqrt(pi) AB mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of César Santos Sent: Monday, March 23, 2009 10:37 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Integral de exp(x^-2), por que é impossível? Alguém poderia me dar uma demonstração da impossibilidade de se encontrar a integral indfeinida de e^(-x²)? _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ 10 - Celebridades http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ - Música http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ - Esportes http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/
