[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Paulo e demais colegasdesta lista ... OBM-L,
Da forma como você apresentou, não, pois a a passagem de a_n=(a_n-1).q para
(a_1).[q^(n-1)] não está suficientemente clara ... em verdade, nestapassagem
você já esta utilizando justamente aquilo que voce dever provar. Em casos
simples tal como o que você apresenta, quando previamente já seconhece a
fórmula final, é bastante comum o uso da indução matemática. Assim :
a_2=a_1.q ( por definição )a_3=a_2.q ( por definição ) = a_3 =a_1.(q^2) (
usando o resultado da linha anterior )
Olhando estes dois casos e vendo a ainda aparente relação entre índice e o
expoente, conjecturamos que :
a_n=a_1.( q^(n-1) )
Supondo isso, teremos que : a_(n+1)=a_n.q por definição. Substituindo a
hipótese de indução, chegamos a a_(n+1)=a_1.(a^n). Pelo principio da
induçãofinita fica estabelecido que a expressão vale para todo n natural.
Mas as provas por indução padecem de um mal fundamental, a saber, pressupõe o
conhecimento prévio da expressão que devemos provar. Em geral, no cursode uma
investigação, você não conhece previamente o que deverá demonstrar. Por
exemplo, olhe este link aqui :
http://math.stackexchange.com/questions/17320/derivation-of-the-partial-derangement-rencontres-numbers-formula
lendo, verifica-se que alguns estudantes e pesquisadores estão procurando uma
fórmula para o total de arranjos caóticos de comprimento P que podemosfazer
de um total de N elementos. Como este problema está ainda hoje ( até agora,
pois vou mostrar a solução abaixo ) em aberto e a solução pode ser vista como
uma generalização do trabalho do Nicolau Bernoulli e Euler, eu achei que valia
a pena pensar nele e deduzi que :
Dn,k = Binom(N,K)*{ somatorio[ i variando de 1 até M , binom(N-i ,
N-M)*binom(N-M , i)* (!(K-i))] }
onde, nesta formula :
1) M=min{K,N-K} 2) !N = N!*( (1/2!)-(1/3!) + ... + ( (-1)^N )*(1/N!) ) se N
= 23) !1=0 e !0=1
A demonstração não é trivial. Não apresento aqui porque isso é apenas o
resultado inicial de uma pesquisa mais ampla que ainda não conclui. Mas o que
quero ressaltar é que EU NÃO SABIA em qual expressão chegaria. Sabia apenas que
chegaria em algum lugar. Neste sentido, o principio da indução tem pouca
utilidade.
Mas voce pode demonstrar o seu resultado assim :
a_2 = a_1.qa_3 = a_2.q...a_n=a_(n-1).q
multiplicando membro a membro as N-1 igualdades e eliminado os fatores comuns
que aparecem nos dois membros, chegamos a :
a_n=a_1.(q^(n-1) )
E agora não foi preciso usar indução.
Em síntese, não há um roteiro padronizado para demonstrações. O que há são
certos principios que devemos respeitar ( por exemplo, você não pode usar como
certo algo que ainda não foi provado ). De resto, o que é importante é a sua
sensibilidade e intuição, é ela que nos conduz a coisas significativas e que
nos mostra como provar de forma irretorquivel aquilo que apenas vemos do outro
lado, no mundo próprio da Matemática
Um abração a TodosPSR, 5190511102A
From: argolopa...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Vale a demonstração?
Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 +
Caros Colegas,
Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo
geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração?
DEMONSTRAÇÃO:
Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo
termo da progressão.
Portanto, por definição de progressão geométrica:
a_2 = (a_1).q
a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2)
E assim sucessivamente. Então:
a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)]
Abraços do Paulo!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria uma demonstracao. Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata, que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao acrescentaria nada NESTE CASO. Pebolim. Abraco, Ralph 2011/5/19 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Paulo, na minha opinião, o que você provou, no primeiro e-mail, é que a fórmula vale para k = 2 e k = 3. Assim, você não poderia estender isto para um k geral. Para aplicar o princípio da indução você teria que fazer os passos que todos descreveram anteriormente: provar para k = 1, supor válido para k = n e, com isto, provar que vale para k = n + 1. Aí sim seria uma prova geral. Não sei se fui claro. Abraços, Léo. Em 19 de maio de 2011 11:10, Paulo Argolo argolopa...@hotmail.comescreveu: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Enviado do meu gmail.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Oi Ralph e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Complicado ! Se eu estivesse ensinando indução matemática, não aceitaria como demonstração poisneste ponto é natural requerer o reconhecimento explícito dos passos e elementos da demonstração. Por outro lado, se fosse uma questão de outro assunto, no qual tal formula fosse necessária, eu NEM EXIGIRIA uma demonstração : os passos abaixo são mais que suficientes para sugerir que a pessoa conhece a técnica. Penso também que não só o nível em que tal fórmula é exigida é necessário considerar para respondera questão, mas também a própria mentalidade do professor que corrige, se é que podemos chamar assim.Existe o Prof Picuinha, aquele que cumprimenta a recem eleita miss Universo reparando que o dedão dopé da miss não é bonito. Este cara essencialisa o trivial e trivializa o essencial. È o dracula dacriatividade. Esse cara vai exigir a demonstração detalhe por detalhe, esquecendo que nenhummatematico do mundo em todos os tempos fez qualquer demonstração real de um resultado novoseguindo tal mediocre rigor. Mas devemos convir que tambem existe o Prof Globo Ciencia, que só se preocupa com o ibope juntoa galera, esquecendo totalmente do conjunto de saudaveis valores que necessariamenteseguem junto a qualquer educação séria. Acredito que a sabedoria, como diria aristoteles, estano caminho do meio, uma media aritmetica entre os dois estilos acima: o Prof Socratico ! Date: Thu, 19 May 2011 11:44:25 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria uma demonstracao. Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata, que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao acrescentaria nada NESTE CASO. Pebolim. Abraco, Ralph 2011/5/19 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Colegas, Minha preocupação aqui não é obter uma demonstração, mas somente indagar da validade do procedimento apresentado. Parece-me que tal procedimento é uma demonstração por indução, que abre mão da habitual formalidade, isto é, não explicita a base de indução e o passo indutivo. Os Colegas concordam? Abraços do Paulo! Date: Wed, 18 May 2011 20:59:57 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração? From: hit0...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Vale a demonstração?
Olá Na verdade isso nem chega a ser uma demonstração, mas sim uma verdade por definição. Por definição em uma PG cada termo é o anterior multiplicado por k. Como o primeiro termo não é multiplicado, o termo n é multiplicado por k n vezes, daí a_n = a_1.k^(n-1) Quando comecei a ler este email tinha quase certeza que você ia querer uma prova de PG que não fosse por fatoração.Por exemplo: A soma dos n 1os elementos de uma PG de razão k é a1.(k^n-1)/(k-1) Porquê? Primeira forma ( fatoração)Sabemos qque a soma dos elementos vale:a1 + a1.k + a1.k² + ... + a1.k^(n-1) = a1.(1 + k + k² + ... + k^(n-1))Mas se multiplicarmos (1 + k + k² + ... + k^(n-1)) por (k-1), teremos k^n - 1, pois todos os elementos se anulam, menos o primeiro e o últimoOu seja (1 + k + k² + ... + k^(n-1)) = (k^n-1)/(k-1) Segunda forma (indução), mais matemáticaSe a1.(k^n-1)/(k-1)) vale para n, a1.(k^n-1)/(k-1) + a1.k^n teria de valer para n+1a1.(k^n-1)/(k-1) + a1.k^n = a1[ k^n-1 + (k-1)k^n ]/(k-1) = a1[ k^(n+1) - 1 ]/(k-1), que também faz sentido, logo como para 0 elemento faz sentido, para 1 fará, e como para 1 faz sentido, para 2 fará, e como para 2 fará, para 3 fara até o infinito, ou seja, qualquer número maior ou igual a 0 segue a fórmula. []'sJoão From: argolopa...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vale a demonstração? Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 + Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Vale a demonstração?
Sim. O e assim sucessivamente se chama princípio de indução. Formalmente falando, você deve mostrar que sua afirmação vale para n=1 (este caso é chamado de base de indução), ou seja, a_1=q^(1-1)a_1=a^0a_1. E depois deve supor que a afirmação vale para um certo natural n e mostrar que vale para n+1 (este passo é chamado de passo indutivo). No nosso caso, se supormos que a_n=a_1.[q^(n-1)], então a_n+1 = q.a_n=q.a_1.[q^(n-1)]=a_1 q^n. 2011/5/18 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com Caros Colegas, Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? DEMONSTRAÇÃO: Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo termo da progressão. Portanto, por definição de progressão geométrica: a_2 = (a_1).q a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) E assim sucessivamente. Então: a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] Abraços do Paulo! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
