[obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N , quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço .
:- Original Message -
From: Paulo André
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
Subject: Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, x ,y e z são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz + x + y
+ z = 384, quanto vale xyz ?
GAB. 240
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11}, isto
eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que
é somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N *, *quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço
.
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*From:* Paulo André [EMAIL PROTECTED]
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
*Subject:* Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz + yz
+ x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
Re: [obm-l] Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
Apenas um comentário sobre a indução finita.
Há bastante tempo li em algum livro cujo nome infelizmente esqueci que a
indução finita é inútil do ponto de vista de procura de coisas novas: ela
nos permite demonstrar o que já sabemos, e apenas isso. Afinal de contas, a
indução finita não é nada mais do que um dos axiomas de Peano que utilisamos
para demonstrar fatos conhecidos.
Isso se torna claro quando prestamos atenção no processo da indução finita:
prove a validade de uma afirmação para um dado número, e prove que a
validade dela para um número implica sua validade para o próximo. Pois bem,
nas hipóteses desse processo temos *uma afirmação* já formulada.
Ele pode nos ajudar talvez a verificar a falsidade de uma afirmação que
fazemos, mas não vamos buscar novos resultados com ele.
Alguém teria algum exemplo contrário a essa idéia? Nunca achei, mas também
nunca me preocupei em procurar.
Isso tudo para dizer que vc não vai calcular o valor da soma 1 + 2 + ... +
(m-1) pela indução finita, mas vc vai simplesmente poder demonstrar a
igualdade 1 + 2 + ... + (m-1) = m(m-1)/2
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://www.brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
e^(pi*i)+1=0
2008/11/20 Paulo André [EMAIL PROTECTED]
a0 é o primeiro termo da PA e r a razão
A partir dele podemos descobrir os outros, assim nossa soma fica
a0 + (a0 + r) + (a0 + 2*r) + ... + (a0 + (m-1)*r) = N
Repare que a nossa PA tem m termos pois vai de 0 até m-1
Assim a soma será
a0*(m) + r*(1 + 2 + ... + (m-1)) = N
Para calcular a soma 1 + 2 + ... + m-1=m*(m-1)/2 podemos fazer de muitos
jeitos. Pode ser feito por indução finita mas tem um jeito mais simples que
é somar do seguinte modo:
1+ (m-1) + 2 + (m-2) + 3 + (m-3) + ... = m + m + m + ... = m*(m-1)/2
Assim chegamos naquela formula.
Qualquer duvida pode perguntar de novo
Paulo André
2008/11/19 Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED]
Paulo obrigado pela ajuda, porém , desculpa, eu entendi todo o seu
densolvimento, exceto as primeiras equações :
a0*m+m*(m-1)*r/2=N *, *quem é a0*m ? e porque m*(m-1) ? desde já agradeço
.
:- Original Message -
*From:* Paulo André [EMAIL PROTECTED]
*To:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Sent:* Wednesday, November 19, 2008 11:14 AM
*Subject:* Re: [obm-l] PA ( literal ) e aritmética.
O primeiro problema também não é nenhum bicho de sete cabeças.
Aplique a fórmula da soma da PA:
a0*m+m*(m-1)*r/2=N = a0+ r * (m-1)/2=N/m
a0*N+N*(N-1)*r/2=m = a0 + r * (N-1)/2=m/N
Subtraia as duas equações
r(m - N)/2=N/m - m/N=(N^2-m^2)/Nm = (N-m)(N+m)/Nm
Cortando (N-m)
r = - 2 (N+m)/N*m
Paulo André
2008/11/19 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]
2) Se, *x *,*y* e *z *são inteiros positivos , com : xyz + xy + xz +
yz + x + y + z = 384, quanto vale *xyz* ?
GAB. *240*
Some um dos dois lados e fatore tudo:
(x+1)(y+1)(z+1)=385=5.7.11
Como x,y e z sao inteiros positivos, x+1,y+1,z+1=2. Como aquela ali eh a
fatoracao de 385 em primos, a unica opcao eh que {x+1,y+1,z+1}={5,7,11},
isto eh, x, y e z sao 4, 6 e 10 em alguma ordem. Assim, xyz=240.
Abraco,
Ralph
