[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequência Injetiva
Nada como uma bijeção N -> Q para encerrar o dia! Se pensar nas operacoes INC e REV, podemos usar um algoritmo assim: - Se o número é maior que 1, usa DEC (inversa de INC) - Se o número é menor que 1, usa INV - Se o número é 1, pare Como demonstrar que este procedimento sempre encerrará em 1, não importando que número racional começou? Acho que no fundo isso é só uma maneira de encodar fracoes continuas mesmo. Em ter., 16 de fev. de 2021 às 20:35, Matheus Secco escreveu: > > Esse problema caiu na Olimpíada Iberoamericana de 2009 que eu participei. Foi > o problema 5 da prova e lá pedia para provar injetividade e sobrejetividade. > > Em qua, 17 de fev de 2021 00:16, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara >> escreveu: >> > >> > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? >> > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo >> > que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = >> > 1/(n+1) ). >> > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos >> > ela não atinge. >> > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no >> > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. >> > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. >> >> >> Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a >> fracao continua. >> >> As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito >> mais que isso para gerar um racional qualquer: >> >> - Função INC: x -> x+1 >> - Função REV: x -> 1/x >> >> Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta >> fadada a cair em 1 >> >> > >> > >> > Abs, >> > Claudio. >> > >> > Enviado do meu iPhone >> > >> > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres >> > escreveu: >> > >> > >> > >> > >> > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir >> > escreveu: >> >> >> >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria >> >> uma saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. >> >> Estou andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> >> >> >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> >> >> >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre >> >> uma única vez. >> >> >> >> >> > >> > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. >> > >> > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e >> > >> > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) >> > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) >> > >> > >> > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando >> > formalizar algumas inducoes marotas. >> > >> > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a >> > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente >> > no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, >> > nunca o final dela. >> > >> > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez >> > na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se >> > duas fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E >> > fracoes com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos >> > componentes diferir. >> > >> > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o >> > comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera >> > acrescentando o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. >> > >> > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional >> > comecando do 1. >> > >> > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando >> > a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e >> > possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o >> > comprimento de maneira irreversivel. >> > >> > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. >> > >> >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha >> > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. >> > >> > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada >> > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim >> > sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. >> > >> > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! >> > >> > >> > >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
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a(1) = 1 a(2n) = a(2n-1) + 1 a(2n+1) = 1/a(2n) Fazendo a(n) = p(n)/q(n), obtemos duas sequências: p(n) e q(n). E elas são tais que: p(1) = q(1) = 1 p(2n) = p(2n-1) + q(2n-1) q(2n) = q(2n-1) p(2n+1) = q(2n) q(2n+1) = p(2n) Como as sequências começam com 1 e 1, que são primos entre si, e como mdc(p,q) = mdc(q,p) = mdc(p+q,q), p(n) e q(n) sempre serão primos entre si. Usando a definição de p e q: p(2n+1) = q(2n) = q(2n-1) = p(2n-2) = p(2n-3) + q(2n-3) = p(2n-3) + q(2n-2) = p(2n-3) + p(2n-1) e p(2n+2) = p(2n+1) + q(2n+1) = q(2n) + p(2n) = q(2n-1) + p(2n) = p(2n-2) + p(2n) Ou seja, os termos p(n) de ordem ímpar e de ordem par realmente formam uma sequência de Fibonacci. Os de ordem ímpar começam com p(1) = p(3) = 1 e os de ordem par com p(2) = 2 e p(4) = 3. []s, Claudio. On Sun, Feb 14, 2021 at 10:03 AM Claudio Buffara wrote: > Ué! Continua sendo. Só que é outra questão... > > > On Sun, Feb 14, 2021 at 3:34 AM Ralph Costa Teixeira > wrote: > >> Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era >> uma boa questao com Fibonacci. :) >> >> On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> wrote: >> >>> Oi, Ralph: >>> >>> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos >>> diferentes dos seus: >>> 1: 1 >>> 2: 2 >>> 3: 1/2 >>> 4: 3 >>> 5: 1/3 >>> 6: 3/2 >>> 7: 2/3 >>> 8: 4 >>> 9: 1/4 >>> 10: 4/3 >>> 11: 3/4 >>> 12: 5/2 >>> 13: 2/5 >>> 14: 5/3 >>> 15: 3/5 >>> 16: 5 >>> ... >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira >>> wrote: >>> Meio enrolado, vou escrever meio vagamente. Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles: a1=1/1 a3=1/2 a5=2/3 a7=3/5 a8=5/8 ... Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem varias maneiras de continuar: -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma sequencia crescente) vao ser distintos entre si; -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...>>> a_(4k+1) < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho). De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos "a_2n+1, vao ser todos diferentes. Abraco, Ralph. On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir < jefersonram...@gmail.com> wrote: > Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria > uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. > Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução. > > > Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. > > Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre > uma única vez. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Ué! Continua sendo. Só que é outra questão... On Sun, Feb 14, 2021 at 3:34 AM Ralph Costa Teixeira wrote: > Sim, voce tem razao -- eu achei que era a_2n = a_{2n-1} +1. Que pena, era > uma boa questao com Fibonacci. :) > > On Sun, Feb 14, 2021 at 12:35 AM Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> wrote: > >> Oi, Ralph: >> >> Eu posso ter entendido errado a definição da sequência, mas achei termos >> diferentes dos seus: >> 1: 1 >> 2: 2 >> 3: 1/2 >> 4: 3 >> 5: 1/3 >> 6: 3/2 >> 7: 2/3 >> 8: 4 >> 9: 1/4 >> 10: 4/3 >> 11: 3/4 >> 12: 5/2 >> 13: 2/5 >> 14: 5/3 >> 15: 3/5 >> 16: 5 >> ... >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Sat, Feb 13, 2021 at 7:59 PM Ralph Costa Teixeira >> wrote: >> >>> Meio enrolado, vou escrever meio vagamente. >>> >>> Eu sugiro olhar primeiro para os caras com indice impar. Sao eles: >>> a1=1/1 >>> a3=1/2 >>> a5=2/3 >>> a7=3/5 >>> a8=5/8 >>> ... >>> Ou seja, mostre que eles sao quocientes de numeros de Fibonacci >>> consecutivos (os caras de indice par sao os inversos desses). Agora tem >>> varias maneiras de continuar: >>> >>> -- Voce pode mostrar que os numeros de Fibonacci consecutivos sao primos >>> entre si; portanto cada fracao dessas fica unicamente determinada por >>> numerador e denominador, e (como os numeros de Fibonacci formam uma >>> sequencia crescente) vao ser distintos entre si; >>> -- Se voce nao quiser entrar no merito do Fibonacci, tente mostrar (pode >>> ser por inducao) que a3 < a7 < a11 <...>> < ... < a13 < a9 < a5 < 1 (phi ali seria (raiz(5)-1) / 2, acho). >>> >>> De qualquer forma, como a_(2n+1)<1, a1=1 e os "a_2n" sao os inversos dos >>> "a_2n+1, vao ser todos diferentes. >>> >>> Abraco, Ralph. >>> >>> >>> On Sat, Feb 13, 2021 at 5:56 PM Jeferson Almir >>> wrote: >>> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria uma saída para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. Estou andando em círculos tentando montar uma possível indução. Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre uma única vez. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.