Nada como uma bijeção N -> Q para encerrar o dia! Se pensar nas operacoes INC e REV, podemos usar um algoritmo assim:
- Se o número é maior que 1, usa DEC (inversa de INC) - Se o número é menor que 1, usa INV - Se o número é 1, pare Como demonstrar que este procedimento sempre encerrará em 1, não importando que número racional começou? Acho que no fundo isso é só uma maneira de encodar fracoes continuas mesmo. Em ter., 16 de fev. de 2021 às 20:35, Matheus Secco <matheusse...@gmail.com> escreveu: > > Esse problema caiu na Olimpíada Iberoamericana de 2009 que eu participei. Foi > o problema 5 da prova e lá pedia para provar injetividade e sobrejetividade. > > Em qua, 17 de fev de 2021 00:16, Anderson Torres > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >> Em dom., 14 de fev. de 2021 às 17:20, Claudio Buffara >> <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> > >> > Será que essa sequência é sobrejetiva (sobre os racionais positivos)? >> > Porque como a(2^n) = n+1, ela certamente atinge todos os naturais, de modo >> > que é ilimitada, superiormente e inferiormente (já que a(2^n + 1) = >> > 1/(n+1) ). >> > Mesmo que não seja, seria interessante descobrir que racionais positivos >> > ela não atinge. >> > É suficiente provar que todos os racionais entre 0 e 1 são atingidos (no >> > caso, pelos termos de ordem ímpar), mas não sei se isso facilita. >> > Vale uma exploração numérica, talvez com uma planilha. >> >> >> Se eu não errei as contas, acredito que sim. Afinal basta reverter a >> fracao continua. >> >> As operacoes parecem ser bem limitadas, contudo nao e necessario muito >> mais que isso para gerar um racional qualquer: >> >> - Função INC: x -> x+1 >> - Função REV: x -> 1/x >> >> Talvez haja algum invariante que permita prever que cada operacao esta >> fadada a cair em 1 >> >> > >> > >> > Abs, >> > Claudio. >> > >> > Enviado do meu iPhone >> > >> > Em 14 de fev. de 2021, à(s) 13:57, Anderson Torres >> > <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> > >> > >> > >> > >> > Em sáb., 13 de fev. de 2021 à s 17:56, Jeferson Almir >> > <jefersonram...@gmail.com> escreveu: >> >> >> >> Amigos, peço ajuda em provar a injetividade dessa sequência que seria >> >> uma saÃda para provar a unica ocorrência do racional que aparece nela. >> >> Estou andando em cÃrculos tentando montar uma possÃvel indução. >> >> >> >> >> >> Dado a sequência a_1 = 1 e a_2n = a_n  + 1 e a_2n+1 = 1/a_2n. >> >> >> >> Prove que para todo racional positivo que ocorre na sequência, ocorre >> >> uma única vez. >> >> >> >> >> > >> > Acho que e uma boa usar fracao continua aqui. >> > >> > Se a_n = [c0; c1, c2, ..., ck], temos entao a_1 = [1] e >> > >> > a_2n = [(1+c0); c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao E) >> > a_2n+1 = [0; (1+c0), c1, c2, ..., ck] (chamemos isso de operacao O) >> > >> > >> > A partir disso, acredito que a bijecao fica quase obvia, bastando >> > formalizar algumas inducoes marotas. >> > >> > Primeiramente, nenhuma representacao da forma [...,N,1] vai surgir dai a >> > partir de a_2. Isso pode ser demonstrado por inducao mesmo: ck=1 somente >> > no caso [1], e depois dele a funcao a_n so modifica o comeco da cadeia, >> > nunca o final dela. >> > >> > Assim sendo, temos certeza que nao tem como um racional aparecer uma vez >> > na forma canonica e outra na forma alternativa. E, por conseguinte, se >> > duas fracoes tem comprimentos diferentes, elas devem ser diferentes. E >> > fracoes com comprimentos iguais diferem se e somente se pelo menos um dos >> > componentes diferir. >> > >> > Agora, a funcao recursiva age de duas formas. Uma delas altera o >> > comprimento em 1, e a outra mantém. A que altera, só altera >> > acrescentando o 0 na cabeceira. A que não altera, incrementa a cabeceira. >> > >> > Desta forma, é possÃvel gerar de maneira unica qualquer numero racional >> > comecando do 1. >> > >> > - Qualquer fracao de comprimento 1 pode ser gerada simplesmente aplicando >> > a operacao E tantas vezes quantas forem necessarias. E tambem nao e >> > possivel fazer isso de outra maneira, pois a operacao O aumentara o >> > comprimento de maneira irreversivel. >> > >> > - Dada uma fracao com comprimento K, temos duas sub inducoes para fazer: >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com 0. >> > >> >  Entao ela foi gerada por uma operacao O. O elemento que a gerou tinha >> > menos componentes, os quais satisfazem a hipotese de inducao. >> > >> > + A fracao tem comprimento K e comeca com algo maior que 0. >> > >> > Entao ela foi gerada por uma operacao E. A fracao da qual ela foi gerada >> > difere unicamente no primeiro elemento, o qual antes era menor. Assim >> > sendo, e possivel reduzir isso ate chegar no caso anterior. >> > >> > E isso demonstra recursivamente a unicidade e existencia! >> > >> > >> > >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> > >> > >> > -- >> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
