Re: [obm-l] Tabuleiro n x n
Primeiro, note que como cada peça tem 6 quadradinhos, n^2 é múltiplo de 6, ou seja, n é múltiplo de 6. Assim, n^2 é múltiplo de 36, de modo que n^2=36k, e a quantidade de peças é 6k, que é par. Agora, pense nos centros dos quadradinhos como pontos de coordenadas inteiras, de (1,1) a (n,n), e pinte os quadradinhos com ambas as coordenadas pares. Com isso, a quantidade de quadradinhos é (n/2)^2. Mas pode-se verificar, testando todos os casos, que cada peça cobre uma ou três casas pintadas, ou seja, é sempre ímpar. Com isso, como a quantidade de peças é par, o total (n/2)^2 é par, ou seja, n/2 é par, e com isso, n é múltiplo de 4. Portanto n é múltiplo de 12, e como o amigo já notou, é possível cobrir um 12 x 12, e portanto todo n múltiplo de 12 funciona. []'sShine On Thursday, May 7, 2015 1:10 PM, Pedro José petroc...@gmail.com wrote: Bom dia! Temos que verificar os retângulos que podem ser gerados pela peça em destaque. Além disso eliminar os que podem ser gerados por outros retãngulos. Por exemplo o retângulo abaixo pode gerar | | | | | | | | | | | | | | | Por exemplo o retângulo acima pode gerar o retângulo abaixo: | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Usando k peças para gerar um retângulo que não pode ser gerado por nenhum outro retângulo (retângulo básico), teremos que a área desse retângulo é 6k (restrições: não pode sair do tabuleiro, nem superposição. ). Só não consegui provar que o retângulo 3x4 é o único retângulo básico.Vou prosseguir tentando. Aí fica que n = 12 m com m Ɛ |N* Saudações,PJMS Em 6 de maio de 2015 20:40, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa noite,Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me? Determine para quais números naturais n é possível cobrir completamente um tabuleiro de n × ndividido em casas de 1 × 1 com peças como a da figura, sem buracos nem superposições e semsair do tabuleiro. Cada uma das peças cobre exatamente seis casas. Nota: As peças podem girar. _ |_|_|_|_|_|_|_|_| Obrigada,Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Tabuleiro n x n
Boa noite!
Não consegui provar que só os retângulos 3x4 e 4 x3 atendem.
Um retângulo é básico, quando ele só pode ser obitido através da rotação de
apenas um retângulo.
A definição estava ruim, pois sé era único não poderiam já haver 2.
Então temos que mmc(3,4) | n, onde | significa divide. == n = 12 m com m Ɛ
|N*.
Se conseguíssemos outro triângulo (a,b), teríamos que aceitar também
qualquer n que fosse múltiplo de mmc (a,b).
Por exemplo se conseguíssemos um retângulo com os lados 6 e 10, teríamos
que n = 30 m também atenderia.
Note que o mmc sempre será múltiplo de 6. Se acharmos um mmc que é múltiplo
de 12, mesmo que esse novo retângulo seja básico, ele trará como solução um
subconjunto do gerado com 3 x 4 ou 4 x 3.
Por exemplo: 10 x 6.
Todavia, se existirem retângulos ai x bi que mmc(ai,bi) | 6 e mmc (ai,bi)
∤ 12 (onde ∤ significa não divide) e tomarmos o que mmc(ai,bi) = mi,
teremos que incluir as soluções n = j. mi, j Ɛ 2 |N + 1 e i Ɛ |N*. variando
de 1 até t, onde t é o número de retângulos possíveis.
Com mmc igual a 6 é fácil mostrar que não existe, mas para mmc(a,b) Ɛ {18,
30,42,54, 66 ...} mostrar que não existe nenhum retângulo (que é o que
acredito, intuitivamente) ou determinar para que valores de {18, 30,42,54,
66 ...} atende, o que suponho ser deveras complicado.
Portanto se alguém observar uma restrição para que não seja possível se
formar retângulos a x b, cujo mmc(a,b) é um múltiplo ímpar de 6, favor
ajudar para fechar o problema.
Saudações,
PJMS
Em 7 de maio de 2015 13:10, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Bom dia!
Temos que verificar os retângulos que podem ser gerados pela peça em
destaque. Além disso eliminar os que podem ser gerados por outros
retãngulos. Por exemplo o retângulo abaixo pode gerar
Por exemplo o retângulo acima pode gerar o retângulo abaixo:
Usando k peças para gerar um retângulo que não pode ser gerado por nenhum
outro retângulo (retângulo básico), teremos que a área desse retângulo é 6k
(restrições: não pode sair do tabuleiro, nem superposição. ).
Só não consegui provar que o retângulo 3x4 é o único retângulo básico.
Vou prosseguir tentando.
Aí fica que n = 12 m com m Ɛ |N*
Saudações,
PJMS
Em 6 de maio de 2015 20:40, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com
escreveu:
Boa noite,
Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me?
Determine para quais números naturais n é possível cobrir completamente
um tabuleiro de n × n dividido em casas de 1 × 1 com peças como a da
figura, sem buracos nem superposições e sem sair do tabuleiro. Cada uma das
peças cobre exatamente seis casas.
Nota: As peças podem girar.
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Obrigada,
Mariana
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Tabuleiro n x n
Bom dia! Temos que verificar os retângulos que podem ser gerados pela peça em destaque. Além disso eliminar os que podem ser gerados por outros retãngulos. Por exemplo o retângulo abaixo pode gerar Por exemplo o retângulo acima pode gerar o retângulo abaixo: Usando k peças para gerar um retângulo que não pode ser gerado por nenhum outro retângulo (retângulo básico), teremos que a área desse retângulo é 6k (restrições: não pode sair do tabuleiro, nem superposição. ). Só não consegui provar que o retângulo 3x4 é o único retângulo básico. Vou prosseguir tentando. Aí fica que n = 12 m com m Ɛ |N* Saudações, PJMS Em 6 de maio de 2015 20:40, Mariana Groff bigolingroff.mari...@gmail.com escreveu: Boa noite, Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me? Determine para quais números naturais n é possível cobrir completamente um tabuleiro de n × n dividido em casas de 1 × 1 com peças como a da figura, sem buracos nem superposições e sem sair do tabuleiro. Cada uma das peças cobre exatamente seis casas. Nota: As peças podem girar. _ |_|_ |_|_|_ |_|_|_| Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Tabuleiro n x n
Boa noite, Estou com dúvida no seguinte problema, alguém poderia ajudar-me? Determine para quais números naturais n é possível cobrir completamente um tabuleiro de n × n dividido em casas de 1 × 1 com peças como a da figura, sem buracos nem superposições e sem sair do tabuleiro. Cada uma das peças cobre exatamente seis casas. Nota: As peças podem girar. _ |_|_ |_|_|_ |_|_|_| Obrigada, Mariana -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
