Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Eduardo e demais
colegas desta lista ... OBM-L

Eu disse que a solucao era truculenta porque nao parei para rever a
solucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fui
escrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo e
ver voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista.

Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedes
segundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo de
mesma base e igual altura. Ele usava o famoso metodo da exaustao, um
dos precurssores do nosso atual Calculo Integral.  Resolvi entao fase
algo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de um
segmento hiperbolico ( sem usar Calculo Dif ou/e Calculo Int, mesmo
porque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da area
do triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma  base e igual
altura.

Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : Area
de um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes

E olha que nao so e possivel  calcular essa area como tambem se
descobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazer
isso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT,  como calcular a area de um
segmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base do
segmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e  altura ?

Fica o problema .

Um abraco a todos !
PSR,2250509082F



2009/5/25 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br:
 Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.

 Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por
 acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na
 Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado
 tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação (
 pelo menos nos westerns das matinês de domingo).

 Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.

 Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci
 deixá-lo um pouco menos truculento, como você diz, i.e, diminuir um pouco
 a mão de obra.

 Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo
 observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo
 trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).

 Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy = 12.

 Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 =
 12.z  ou

                           x =3 (*).

 Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z
 inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo

      4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo
 (A,B,C) = (29,25,6).

 Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy
 - 4

 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14)
 correspondente a

    (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).

 b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9)
 correspondendo

    a (A,B,C) = (17,10,9).

 A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4
 com
 z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y
 =z (e que daria o mesmo triângulo que estamos obtendo, apenas permutando
 dois lados).
 Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).

 Portanto sua solução está correta.

 Um abraço.

 Eduardo Wilner



 
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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 25/05/2009 08:47, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Eduardo e demaiscolegas desta lista ... OBM-LEu disse que a solucao era "truculenta" porque nao parei para rever asolucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fuiescrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo ever voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista.Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedessegundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo demesma base e igual altura. Ele usava o famoso "metodo da exaustao", umdos precurssores do nosso atual Calculo Integral.  Resolvi entao fasealgo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de umsegmento hiperbolico ( sem usar Calculo
  Dif ou/e Calculo Int, mesmoporque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da areado triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma  base e igualaltura.Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : "Areade um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes"E olha que nao so e possivel  calcular essa area como tambem sedescobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazerisso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT,  como calcular a area de umsegmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base dosegmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e  altura ?Fica o problema .Um abraco a todos !PSR,2250509082F2009/5/25 Eduardo Wilner :> Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.>> Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por> acaso e
 ncontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na> Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado> tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação (> pelo menos nos westerns das matinês de domingo).>> Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.>> Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci> deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco> a mão de obra.>> Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo> observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo> trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).>> Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy =< 12.>> Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =<> 12.z  ou>>         
                   x =<3 (*).>> Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z> inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo>>      4 < xy =< 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo> (A,B,C) = (29,25,6).>> Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy> - 4>> a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14)> correspondente a>>    (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5).>> b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9)> correspondendo>>    a (A,B,C) = (17,10,9).>> A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4> com> z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y> => dois lados).> Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).>> Portanto sua solução está correta.>> Um abraço.>> Eduardo Wilner > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -> Celebridades - Música - Esportes=Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-25 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 25/05/2009 02:39, Eduardo Wilner  eduardowil...@yahoo.com.br  escreveu:




Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos nos westerns das matinês de domingo).Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de obra.Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy =
  12.Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 = 12.z  ou                           x =3 (*).Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo     4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo (A,B,C) = (29,25,6). Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy - 4 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a      (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) correspondendo      a (A,B,C) = (17,10,9).A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4 com z = Â
 ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).Portanto sua solução está correta.Um abraço.Eduardo Wilner     





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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-24 Por tôpico Eduardo Wilner 
Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.

Desculpem  meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por 
acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na 
Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo 
tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos 
nos westerns das matinês de domingo).

Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.

Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo 
um pouco menos truculento, como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de 
obra.

Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou 
no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com 
x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).

Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY = 48 fica como xy = 12.

Agora, considerando x = y = z ( equivale a C = B = A) , temos z.x^2 = 
12.z  ou 

                          x =3 (*).

Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro 
positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo

     4  xy = 12   que é  (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo 
(A,B,C) = (29,25,6). 

Soluções com x e y de paridades diferentes exigem  o denominador de (**) xy - 4 

a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a 
  
   (A,B,C) = (20,15,7)    e   (x,y,z) = (2,3,10) = (A,B,C) = (13,12,5).

b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) 
correspondendo
   
   a (A,B,C) = (17,10,9).

A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*)  e y = 4 
com 
z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =z 
(e que daria o mesmo triângulo que estamos obtendo, apenas permutando dois 
lados).             
Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).

Portanto sua solução está correta.

Um abraço.

Eduardo Wilner 

    



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Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-20 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 10:46, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Wilner e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !Vem ajudar a levantar o nivelde discussao da nossa lista !Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao erreinenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R oraio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo podeser expressa nos seguintes termos :A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco naexpressao acima, chegaremos a :(A+B-C)(A+
 C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecaodireta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse seenquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos paresou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceirapossibilidade.   Facamos  entao :B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = ZConsiderando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dosoutros dois, fica facil ver o seguinte :1) X, Y e Z são inteiros pares2) X+Y+Z = A+B+C3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+YE agora a expressao (1) pode ser colocada assim :XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que astres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menoresque 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualment
 e, nao podem sersimultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.Logo :3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ouigual a 1/48.Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos queestamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)Mas Z >= 48/X. Logo :(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12Y = 10 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)ValidoY=12:Z=16(  (
 X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)Valido***CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8Y = 6 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)ValidoY=8:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)Valido***CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6Invalido : Z nao e inteiro par
 ***CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  => Z = 7Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=10 ( Y =< 4.8  e  Z >= 4.8  )16/10 < Y =< (24/10)+(10/2)  =>  1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = (28/3)Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=12 ( Y =< 4  e  Z >= 4  )16/12 < Y =< (24/12)+(12/2)  =>  (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)
   => Z = 28A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  => Z = 8A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)Invalido : ja descoberto***CASO X=14 ( Y =< 3.4...  e  Z >= 3.4...  )A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2Y = 2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  => Z  nao e inteiro  => otriangulo e invalido***CASO X=16, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  => Z = 18A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)Valido***CASO X=18, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  => Z = 16A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)Invalido : ja descoberto***CASO X=20, Y=2<
 br/>Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  => Z = 44/3Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=22, Y=2Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28)  => Z

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8  )

16/10  Y = (24/10)+(10/2)  =  1.6  Y = 7.4 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(2+48)/2=25,  B=(10+48)/2=29  e  C=(10+2)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = (28/3)
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=12 ( Y = 4  e  Z = 4  )

16/12  Y = (24/12)+(12/2)  =  (4/3)  Y = 8 = Y= 2 ou Y=4

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(2+28)/2=15,  B=(12+28)/2=20  e  C=(12+2)/2=7
Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)
Invalido : ja descoberto

Y=4:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24)  = Z = 8
A=(4+8)/2=6,  B=(12+8)/2=10  e  C=(12+4)/2=8
Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=14 ( Y = 3.4...  e  Z = 3.4...  )

A partir daqui, devido a restricao acima,  basta analisarmos os casos em que Y=2

Y = 2
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12)  = Z  nao e inteiro  = o
triangulo e invalido

***
CASO X=16, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16)  = Z = 18
A=(2+18)/2=10,  B=(16+18)/2=17  e  C=(16+2)/2=9
Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)
Valido

***
CASO X=18, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20)  = Z = 16
A=(2+16)/2=9,  B=(16+18)/2=17  e  C=(2+18)/2=10
Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)
Invalido : ja descoberto

***
CASO X=20, Y=2

Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24)  = Z = 44/3
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=22, Y=2

Z=16(  (X+Y) /

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Carlos Nehab 




Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =  16Z+16Y+16X=XYZ  =
16Y+16X = (XY - 16)Z   =   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z = 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) = 48/X=  16/X   Y  = (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y = 24   e   Z = 24 )

16/2  Y = (24/2)+(2/2)  =  8  Y = 13 = Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  = Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  = Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y = 12  e  Z = 12 )

16/4  Y = (24/4)+(4/2)  =  4  Y = 8 = Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y = 8  e  Z = 8  )

16/6  Y = (24/6)+(6/2)  =  8/3  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  = Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  = Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y = 6  e  Z = 6  )

16/8  Y = (24/8)+(8/2)  =  2  Y = 7 = Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  = Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32)  = Z = 7
Invalido : Z nao e inteiro par

***
CASO X=10 ( Y = 4.8  e  Z = 4.8

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Nehab e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia
servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada
... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, artigo e
aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e
material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem.
.

Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :

Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,
onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do
triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.

Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a
uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e
mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (
Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um caminho
equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia
equivalente do plano

Vamos ao problema :

Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) - (1,0) - (1,1) -
(0,1) -(-1,-1) - ((-1,0) - (-1,-1) -(0,-1) - (1,-1) - (2,-1) -
(2,0) -(2,1)-(2,2)-(1,2)-(0,2)-(-1,2)-(-2,-2)- ...

Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de
(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais
passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada
passo, o mais proximo possivel de (0,0).
.
Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as
coordenadas do proximo passo do caminho em funcao do(s) passo(s)
anterior(es).

Um Abracao a Todos !
PSR,31905090E05









2009/5/19 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br:
 Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

 Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e
 cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,
 também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo
 Eduardo cuja solução você postou.

 Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

 Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de
 Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos
 (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio
 aos professores de Matemática e disponível em seu portal.

 O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
 http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

 e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,
 pois possui centenas de idéias criativas.

 O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
 http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

 É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
 reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

 Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
 Públicas)
 http://www.obmep.org.br/

 e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

 Grande abraço,
 Nehab


 Paulo Santa Rita escreveu:

 Ola Wilner e demais colegas
 desta lista ... OBM-L,

 Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
 Vem ajudar a levantar o nivel
 de discussao da nossa lista !

 Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
 eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
 nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

 Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
 raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
 ser expressa nos seguintes termos :

 A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
 expressao acima, chegaremos a :

 (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

 Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
 direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
 enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
 ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
 possibilidade.   Facamos  entao :

 B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

 Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
 outros dois, fica facil ver o seguinte :

 1) X, Y e Z são inteiros pares
 2) X+Y+Z = A+B+C
 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

 E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

 XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
 (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

 Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
 tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
 que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
 simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
 Logo :

 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
 igual a 1/48.

 Seja portanto : XY = 48 e  XZ  = 48.

 Com as restricoes acima ja e possivel

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 13:30, Carlos Nehab  ne...@infolink.com.br  escreveu:


  
  


Oi, Paulo, Eduardo e colegas,

Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados
inteiros e cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número,
fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do
problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. 

Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...

Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do
Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns
de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de
publicações para apoio aos professores de Matemática e disponível em
seu portal.

O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em
http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf

e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível
médio, pois possui centenas de idéias criativas.

O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf

É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma
reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.

Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas)
http://www.obmep.org.br/

e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.

Grande abraço,
Nehab


Paulo Santa Rita escreveu:

  Ola Wilner e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !
Vem ajudar a levantar o nivel
de discussao da nossa lista !

Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,
eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei
nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.

Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o
raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode
ser expressa nos seguintes termos :

A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5

Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na
expressao acima, chegaremos a :

(A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)

Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao
direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se
enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares
ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira
possibilidade.   Facamos  entao :

B+C-A = X,   A+C-B=Y  e   A+B-C = Z

Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos
outros dois, fica facil ver o seguinte :

1) X, Y e Z são inteiros pares
2) X+Y+Z = A+B+C
3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y

E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :

XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :
(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)

Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as
tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores
que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser
simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.
Logo :

3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.
4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou
igual a 1/48.

Seja portanto : XY =< 48 e  XZ  >= 48.

Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que
estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :

(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16)   =>  16Z+16Y+16X=XYZ  =>
16Y+16X = (XY - 16)Z   =>   Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)

Mas Z >= 48/X. Logo :
(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=>  16/X <  Y  =< (24/X)+(X/2)
CASO  X=2  ( Y =< 24   e   Z >= 24 )

16/2 < Y =< (24/2)+(2/2)  =>  8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12

Y = 10 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4)  => Z = 48
A=(10+48)/2=29,  B=(2+48)/2=25  e  C=(2+10)/2=6
Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)
Valido

Y=12:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8)  => Z = 28
A=(12+28)/2=20,  B=(2+28)/2=15  e  C=(2+12)/2=7
Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)
Valido

***

CASO  X=4 ( Y =< 12  e  Z >= 12 )

16/4 < Y =< (24/4)+(4/2)  =>  4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8

Y = 6 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(6+20)/2=13,  B=(4+20)/2=12  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)
Valido

Y=8:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(8+12)/2=10,  B=(4+12)/2=8  e  C=(4+8)/2=6
Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)
Valido

***

CASO X=6 ( Y =< 8  e  Z >= 8  )

16/6 < Y =< (24/6)+(6/2)  =>  8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8)  => Z = 20
A=(4+20)/2=12,  B=(6+20)/2=13  e  C=(4+6)/2=5
Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)
Invalido : ja descoberto

Y=6:
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20)  => Z = 9.6
Invalido : Z nao e inteiro par

***

CASO X=8 ( Y =< 6  e  Z >= 6  )

16/8 < Y =< (24/8)+(8/2)  =>  2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6

Y = 4 :
Z=16(  (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16)  => Z = 12
A=(4+12)/2=8,  B=(8+12)/2=10  e  C=(8+4)/2=6
Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)
Invalido : ja

Re: [obm-l] Triangulos e inteiros

2009-05-19 Por tôpico lucianarodriggues 

Em 19/05/2009 15:06, Paulo Santa Rita  paulo.santar...@gmail.com  escreveu:Ola Nehab e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderiaservir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" eaquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto ematerial de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem..Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro dotriangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.Agora, amenidades a parte, aqui vai um prime
 iro problema relativo auma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio emostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho"equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequenciaequivalente "do plano"Vamos ao problema :Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) ->(0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) ->(2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ...Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamaispasse por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cadapasso, o mais proximo possivel de (0,0)..Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece ascoordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) pass
 o(s)anterior(es).Um Abracao a Todos !PSR,31905090E052009/5/19 Carlos Nehab :> Oi, Paulo, Eduardo e colegas,>> Uma curiosidade:  o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e> cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,> também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo> Eduardo cuja solução você postou.>> Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...>> Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de> Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos> (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio> aos professores de Matemática e disponível em seu portal.>> O Índice da Revista do Professor de Matemática você pod
 e ver em> http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf>> e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio,> pois possui centenas de idéias criativas.>> O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em> http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>> É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma> reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.>> Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas> Públicas)> http://www.obmep.org.br/>> e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país.>> Grande abraço,> Nehab>>> Paulo Santa Rita escreveu:>> Ola Wilner e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !> Vem ajudar a levantar o nivel> de discussao da nossa lista
  !>> Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,> eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei> nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.>> Sejam  A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o> raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode> ser expressa nos seguintes termos :>> A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5>> Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na> expressao acima, chegaremos a :>> (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)>> Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao> direta concluimos que  os lados A,B e C do nosso interesse se> enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares> ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira> possibilidade.   Facamos  entao :>> B+C-A = X,   A+C
 -B=Y  e   A+B-C = Z>> Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos> outros dois, fica facil ver o seguinte :>> 1) X, Y e Z são inteiros pares> 2) X+Y+Z = A+B+C> 3) 2A=Y+Z,  2B=X+Z e 2C=X+Y>> E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :>> XYZ / (X+Y+Z) = 16.   E daqui, sai :> (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)>> Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as> tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores> que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser> simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.> Logo :>> 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.> 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S

[obm-l] Triangulos e inteiros

2009-02-13 Por tôpico Eduardo Wilner 
Determinar todos os triangulos de lados inteiros (comprimento do lado = 
inteiro) com inraio igual a dois. 



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