[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá Luís, rabisquei aqui no papel agora, e pensei assim...

Vamos considerar primeiro o triângulo ABC inscrito no círculo, onde AB=c,
AC=b e BC=a.
Desta forma vamos considerar o problema de "ponta cabeça", onde P se
encontra no círculo e que PA=x e PC=y,
logo PC=x+y.
Vou numerar os passos para  fim de organização.

1) Aplicando ptolomeu no quadrilátero ABCP teremos a razão entre os
segmentos x e y, logo x/y=(c-b)/(b-a).

2) Agora divida o segmento AC nesta razão dada utilizando régua e compasso,
e chame esse ponto de N pertencente à AC

3) Encontre o conjugado hamônico do ponto N fazendo a construção de um
quadrilátero completo assim vai encontrar na reta
 suporte AC o ponto M (conjugado harmonico de N)

4) MN é o diâmetro do círculo de apolonius, agora basta desenhar este
círculo e o ponto de interseção dele
com o circulo original é o ponto que você procura

Bom acho que é isso.
Se errei em alguma coisa, por favor me corrija
Grande abraço
Douglas Oliveira (RCMAT)

Em qua., 10 de jun. de 2020 às 17:24, Luís Lopes 
escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> Recebi o seguinte problema:
>
> Construir P no circuncírculo de um triângulo ABC dado
> tal que PA+PB=PC.
>
> Alguém saberia fazer ?
>
> Obrigado.
>
> Abs,
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Daniel Jelin]

Não achei uma solução na linha régua e compasso. Segue uma tentativa por
trigonometria. Dado o triângulo ABC, seja x o ângulo BAC, seja y o ângulo
ABC. Queremos P no circuncírculo tal que PB+PC=PA. Então P deve ser tal que
AP intersecta BC. Assim formamos os triângulos ABP e ACP.

Os triângulos ABC, ABP e ACP estão inscritos na mesma circunferência, de
modo que:

PA/sen(ABP) = 2r
PB/sen(BAP) = 2r
PC/sen(CAP) = 2r

Seja alfa o ângulo CAP. Então:

ABP=CAP=alfa
BAP=x-alfa
ABP=y+alfa

E assim

PC=2r*sen(alfa)
PB=2r*sen(x-alfa)
PA=2r*sen(y+alfa)

Queremos PB+PC=PA, então:

2r*sen(x-alfa)+2r*sen(alfa)=2r*sen(y+alfa)
sen(x-alfa)+sen(alfa)=sen(y+alfa)
sen(x)*cos(alfa)-sen(alfa)*cos(x)+sen(alfa)=sen(y)*cos(alfa)+sen(alfa)*cos(y)

E pondo sen(alfa) e cos(alfa) em evidência:

sen(alfa)*(1-cos(x)-cos(y))=cos(alfa)*(sen(y)-sen(x))

E agora temos que:

tg(alfa)=(sen(y)-sen(x))/(1-cos(x)-cos(y))

Conhecendo CAP=alfa, achamos P, sob as condições:

0
wrote:

> Se o triângulo for equilátero, qualquer ponto do arco AB serve.
>
> Enviado do meu iPhone
>
> > Em 10 de jun de 2020, à (s) 17:24, Luís Lopes 
> escreveu:
> >
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Construção geométrica

[qedtexte]

Sauda,c~oes,

Mandei ontem a mensagem abaixo com uma figura
em anexoe ela no apareceu. Tento novamente
sem a figura.
Paraquemse interessar, posso mand-la no privado.


===
Sauda,c~oes,

Recebi a soluo do anexo para o seguinte problema:

Construir uma secante que determine nos lados b e c
de um tringulo ABC dois pontos P c e Q 
b tais que
PQ=PC=QB.

Os pontos assinalados so simtricos em relao aos 
lados.

No consigo justificar a construo. Algum saberia 
?
===

Esclarecimentos sem a figura: sejam B' e C' os simtricos de
B e C em relaoaos lados b e c, 
respectivamente.
Se  o circuncrculo(AB'C'), entoP = 
c e Q= b.

Abs,
Lus

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] construção geométrica

[Claudio Buffara]

Se o triângulo for equilátero, qualquer ponto do arco AB serve.

Enviado do meu iPhone

> Em 10 de jun de 2020, à(s) 17:24, Luís Lopes  escreveu:
> 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] construção geométrica

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Recebi o seguinte problema:

Construir P no circuncírculo de um triângulo ABC dado
tal que PA+PB=PC.

Alguém saberia fazer ?

Obrigado.

Abs,
Luís



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[Enc: [obm-l] construção geométrica]

[qedtexte]

Sauda,c~oes, 

No sei se esta mensagem chegou. Algum poderia, por favor, confirmar seu 
recebimento ? 

Obrigado. 


Lus

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

--- Begin Message ---
Sauda,c~oes,

Envio o enunciado do problema tal como está no livro.

Construct a triangle, which shall have its vertex in a
given line, having a given base and a given difference
of the angles at the base.

Fonte: Julius Petersen, Methods and Theories for the
solution of Problems of Geometrical Constructions, 1927.
Problema 327, p.59.

Abraços,
Luís


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

--- End Message ---

[obm-l] construção geométrica

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Envio o enunciado do problema tal como está no livro.

Construct a triangle, which shall have its vertex in a
given line, having a given base and a given difference
of the angles at the base.

Fonte: Julius Petersen, Methods and Theories for the
solution of Problems of Geometrical Constructions, 1927.
Problema 327, p.59.

Abraços,
Luís


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Anderson Torres]

Em 17 de outubro de 2017 13:25, Luís Lopes  escreveu:
> Sauda,c~oes,
>
>
> Encontrei o problema abaixo num livro antigo de
>
> Desenho Geométrico. Autor: Plácido Loriggio.
>
>
> (MACK 57) Dados dois círculos tangentes de raios
>
> iguais a 2cm e 5cm, respectivamente; construa uma
>
> corda no círculo maior que tenha uma extremidade no
>
> ponto de tangência e cujo segmento entre as duas
>
> circunferências seja igual a 4cm.
>
>
> Como fazer ?

Um rascunho seria o seguinte:

1 - Escolha um raio qualquer do círculo menor, e trace um segmento de
4cm tangenciando por esse raio. Em letrinhas: se o raio escolhido é
AO, com O centro, escolha B na reta perpendicular a AO passando por A
tal que BA = 4cm.

2 - Trace a circunferência de centro O e raio OB. Onde ela encontrar a
circumferência maior, aí é o ponto desejado (ou pontos, se forem
dois).


>
>
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] construção geométrica

[Ana Paula]

Alguém pode me ajudar com a questão abaixo:

Fulano treina todos os dias na academia "Fique Monstro". Seu treino
consiste em 42 repetições do exercício "A"; 84 repetições do exercício "B";
54 repetições do exercício "C" e 90 repetições do exercício "D" em um
determinado intervalo de tempo "Z". Certo dia ele resolve dedicar um mesmo
intervalo de tempo comum para cada exercício, de forma a fazer um máximo de
repetições possíveis de cada um. Sendo assim, o número total de repetições,
feitos em todo o treino será:


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de vírus. www.avast.com
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<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em 17 de outubro de 2017 12:25, Luís Lopes  escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
>
> Encontrei o problema abaixo num livro antigo de
>
> Desenho Geométrico. Autor: Plácido Loriggio.
>
>
> (MACK 57) Dados dois círculos tangentes de raios
>
> iguais a 2cm e 5cm, respectivamente; construa uma
>
> corda no círculo maior que tenha uma extremidade no
>
> ponto de tangência e cujo segmento entre as duas
>
> circunferências seja igual a 4cm.
>
>
> Como fazer ?
>
>
> Luís
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] construção geométrica

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,


Encontrei o problema abaixo num livro antigo de

Desenho Geométrico. Autor: Plácido Loriggio.


(MACK 57) Dados dois círculos tangentes de raios

iguais a 2cm e 5cm, respectivamente; construa uma

corda no círculo maior que tenha uma extremidade no

ponto de tangência e cujo segmento entre as duas

circunferências seja igual a 4cm.


Como fazer ?


Luís


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Construção Geométrica

[Rogerio Ignacio]

Eu concordo que sim.
Considerando dois vértices coincidentes, teríamos os três alinhados e
satisfazendo as condições do problema.

Em 14 de agosto de 2017 09:23, Ralph Teixeira  escreveu:

> Ah, bem observado! De fato, eu SUPUS que CD corta OA e OB, o que nao
> estava explicito no problema.
>
> Caso CD nao corte OA e OB, serah que a resposta eh mesmo o triangulo
> degenerado POP?
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-08-14 5:43 GMT-03:00 Rogerio Ignacio :
>
>> Observo que,, nas condições do problema, med(Ô) < 90º
>>
>> Em 13 de agosto de 2017 21:50, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Sejam C e D os simetricos de P com relacao a OA e OB, respectivamente.
>>>
>>> Dados pontos X e Y quaisquer em OA e OB, note que o perimetro do
>>> triangulo PXY serah:
>>>
>>> PX+XY+YP = CX + XY + YD
>>>
>>> Mas CX+XY+YD<=CD, com igualdade se e somente se C,X,Y e D estao em linha
>>> reta. Entao a solucao eh usar os pontos X e Y onde a reta CD corta OA e OB,
>>> respectivamente.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>>
>>>
>>> 2017-08-13 18:54 GMT-03:00 Marcelo de Moura Costa :
>>>

 Boa noite a todos,

 Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
 programa Euclidea (adaptei o enunciado):

 Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um
 triângulo com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira
 que o perímetro seja mínimo.

 Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo
 lado da reta, mas não saiu nada.

 Agradeceria muito a atenção dos colegas.

 Abraços


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
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 <#m_1224160963399209943_m_-5025016543957464356_m_-8626142748963422830_m_1890556287314091725_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

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>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Construção Geométrica

[Ralph Teixeira]

Ah, bem observado! De fato, eu SUPUS que CD corta OA e OB, o que nao estava
explicito no problema.

Caso CD nao corte OA e OB, serah que a resposta eh mesmo o triangulo
degenerado POP?

Abraco, Ralph.

2017-08-14 5:43 GMT-03:00 Rogerio Ignacio :

> Observo que,, nas condições do problema, med(Ô) < 90º
>
> Em 13 de agosto de 2017 21:50, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Sejam C e D os simetricos de P com relacao a OA e OB, respectivamente.
>>
>> Dados pontos X e Y quaisquer em OA e OB, note que o perimetro do
>> triangulo PXY serah:
>>
>> PX+XY+YP = CX + XY + YD
>>
>> Mas CX+XY+YD<=CD, com igualdade se e somente se C,X,Y e D estao em linha
>> reta. Entao a solucao eh usar os pontos X e Y onde a reta CD corta OA e OB,
>> respectivamente.
>>
>> Abraco, Ralph.
>>
>>
>>
>> 2017-08-13 18:54 GMT-03:00 Marcelo de Moura Costa :
>>
>>>
>>> Boa noite a todos,
>>>
>>> Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
>>> programa Euclidea (adaptei o enunciado):
>>>
>>> Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um
>>> triângulo com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira
>>> que o perímetro seja mínimo.
>>>
>>> Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo
>>> lado da reta, mas não saiu nada.
>>>
>>> Agradeceria muito a atenção dos colegas.
>>>
>>> Abraços
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_-5025016543957464356_m_-8626142748963422830_m_1890556287314091725_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Construção Geométrica

[Rogerio Ignacio]

Observo que,, nas condições do problema, med(Ô) < 90º

Em 13 de agosto de 2017 21:50, Ralph Teixeira  escreveu:

> Sejam C e D os simetricos de P com relacao a OA e OB, respectivamente.
>
> Dados pontos X e Y quaisquer em OA e OB, note que o perimetro do triangulo
> PXY serah:
>
> PX+XY+YP = CX + XY + YD
>
> Mas CX+XY+YD<=CD, com igualdade se e somente se C,X,Y e D estao em linha
> reta. Entao a solucao eh usar os pontos X e Y onde a reta CD corta OA e OB,
> respectivamente.
>
> Abraco, Ralph.
>
>
>
> 2017-08-13 18:54 GMT-03:00 Marcelo de Moura Costa :
>
>>
>> Boa noite a todos,
>>
>> Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
>> programa Euclidea (adaptei o enunciado):
>>
>> Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um triângulo
>> com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira que o
>> perímetro seja mínimo.
>>
>> Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo
>> lado da reta, mas não saiu nada.
>>
>> Agradeceria muito a atenção dos colegas.
>>
>> Abraços
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
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>>
>> <#m_-8626142748963422830_m_1890556287314091725_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Construção Geométrica

[Ralph Teixeira]

Sejam C e D os simetricos de P com relacao a OA e OB, respectivamente.

Dados pontos X e Y quaisquer em OA e OB, note que o perimetro do triangulo
PXY serah:

PX+XY+YP = CX + XY + YD

Mas CX+XY+YD<=CD, com igualdade se e somente se C,X,Y e D estao em linha
reta. Entao a solucao eh usar os pontos X e Y onde a reta CD corta OA e OB,
respectivamente.

Abraco, Ralph.



2017-08-13 18:54 GMT-03:00 Marcelo de Moura Costa :

>
> Boa noite a todos,
>
> Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
> programa Euclidea (adaptei o enunciado):
>
> Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um triângulo
> com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira que o
> perímetro seja mínimo.
>
> Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo
> lado da reta, mas não saiu nada.
>
> Agradeceria muito a atenção dos colegas.
>
> Abraços
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_1890556287314091725_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Construção Geométrica

[Marcelo de Moura Costa]

Boa noite a todos,

Estou com o seguinte problema de construção geométrica, proposto pelo
programa Euclidea (adaptei o enunciado):

Dado um ângulo AOB, e um ponto P interno ao ângulo, construa um triângulo
com vértice em P e nas semirretas do ângulo OA e OB de maneira que o
perímetro seja mínimo.

Já pensei na solução de Heron para o problema dos dois pontos do mesmo lado
da reta, mas não saiu nada.

Agradeceria muito a atenção dos colegas.

Abraços


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Sergio Lima]

Caros,

Complementando entao a resposta do Luís Lopes,
aqui vai a solução do problema:


ANÁLISE DO PROBLEMA:

Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.
Supondo a solução do problema conhecida,
seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita.

Por uma análise angular simples é possível concluir que
AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2
[ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A
no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'.

No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1
a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades
que nos permitem determinar o ponto P1:

(i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).
Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de
diâmetro OD.

(ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela
a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1
pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto
médio
de HM.


CONSTRUÇÂO

(i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto
médio de OD,
determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte
de DH.
(ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,
determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).
(iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH
por H.
(o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).
(iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo,
determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH.

OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,
dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1.

OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados.

Abracos,
sergio


2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes, oi Sergio,

 Sim, continuo na lista.

 Caiu no ITA, foi? Bom saber.

 Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais
 um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego.

 ===
 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).
 ===
 Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ???

 Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado
 fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo
 HaAO.

 Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta
 (Ha , Sa).

 Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos .

 Valeu Sergio pelo problema.

 Abs,
 Luis


 --
 Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
 From: sergi...@smt.ufrj.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
 (não sei se ainda acompanham a lista):

 Construa o triângulo ABC dados em posição:
 . o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC.
 . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.
 . o circuncentro O do triângulo.

 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).

 Abraço,
 sergio


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, oi Sergio, 
No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras soluções e 
comentários. 
Qual a fonte da sua construção ? 

Abs, Luis 

Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 
1989
From: sergi...@smt.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Caros,
Complementando entao a resposta do Luís Lopes,aqui vai a solução do problema:


ANÁLISE DO PROBLEMA:
Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.Supondo a solução do problema 
conhecida,seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita.


Por uma análise angular simples é possível concluir queAOM' = (A + 2B) [ou (A 
+ 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2[ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria 
bissetriz interna do ângulo A
no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'.
No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1a altura do vértice O relativa ao lado 
AM'. Assim, temos duas propriedades
que nos permitem determinar o ponto P1:
(i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).Assim, OP1D = 90 
graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD.

(ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralelaa AH 
(ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1pertence à reta paralela a 
essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio
de HM.

CONSTRUÇÂO
(i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio 
de OD,determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte 
de DH.
(ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de 
MH,determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).(iii) prolongue DP1, 
determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H.
(o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).(iv) trace a 
circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo,determinando os 
outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH.

OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,dependendo se a reta 
p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1.
OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados.

Abracos,sergio

2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com




Sauda,c~oes, oi Sergio, 
Sim, continuo na lista. 
Caiu no ITA, foi? Bom saber. 
Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais 
um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. 
===Eu não consegui, mas obtive a solução na internet(a qual envio numa próxima 
mensagem).
===Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? 
Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a 
bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo 
HaAO. 
Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). 
Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos . 

Valeu Sergio pelo problema. 
Abs, Luis 

Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

From: sergi...@smt.ufrj.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
(não sei se ainda acompanham a lista):
Construa o triângulo ABC dados em posição:. o pé Ha da altura do vértice A em 
relação ao lado BC.
. a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.. o circuncentro O 
do triângulo.
Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
(a qual envio numa próxima mensagem).
Abraço,sergio


--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Sergio Lima]

Caro Luís Lopes,

Tem a solução dessa prova no site do rumo_ao_ita fornecida pelo Colegio
ETAPA
(eu deveria ter colocado a fonte na mensagem anterior - obrigado por me
lembrar).

Abraco,
sergio



2013/7/1 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes, oi Sergio,

 No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras
 soluções e comentários.

 Qual a fonte da sua construção ?

 Abs,
 Luis

 --
 Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica
 (triângulos) ITA 1989
 From: sergi...@smt.ufrj.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Caros,

 Complementando entao a resposta do Luís Lopes,
 aqui vai a solução do problema:


 ANÁLISE DO PROBLEMA:

 Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.
 Supondo a solução do problema conhecida,
 seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita.

 Por uma análise angular simples é possível concluir que
 AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2
 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A
 no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'.

 No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1
 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades
 que nos permitem determinar o ponto P1:

 (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).
 Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de
 diâmetro OD.

 (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela
 a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1
 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto
 médio
 de HM.


 CONSTRUÇÂO

 (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto
 médio de OD,
 determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte
 de DH.
 (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,
 determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).
 (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH
 por H.
 (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).
 (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao
 triângulo,
 determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH.

 OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,
 dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1.

 OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados.

 Abracos,
 sergio


 2013/6/26 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

 Sauda,c~oes, oi Sergio,

 Sim, continuo na lista.

 Caiu no ITA, foi? Bom saber.

 Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais
 um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego.

 ===
 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).
 ===
 Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ???

 Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado
 fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo
 HaAO.

 Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta
 (Ha , Sa).

 Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos .

 Valeu Sergio pelo problema.

 Abs,
 Luis


 --
 Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
 From: sergi...@smt.ufrj.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
 (não sei se ainda acompanham a lista):

 Construa o triângulo ABC dados em posição:
 . o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC.
 . a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.
 . o circuncentro O do triângulo.

 Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
 (a qual envio numa próxima mensagem).

 Abraço,
 sergio


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[obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Sergio Lima]

Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner
(não sei se ainda acompanham a lista):

Construa o triângulo ABC dados em posição:
. o pé Ha da altura do vértice A em relação ao lado BC.
. a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.
. o circuncentro O do triângulo.

Eu não consegui, mas obtive a solução na internet
(a qual envio numa próxima mensagem).

Abraço,
sergio

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[obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989

[Luís Lopes]

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Sim, continuo na lista. 
Caiu no ITA, foi? Bom saber. 
Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de 
conhecer. Problema (presente) de grego. 
===Eu não consegui, mas obtive a solução na internet(a qual envio numa próxima 
mensagem).===Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? 
Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a 
bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. 
Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). 
Ultima dica: pense num circulo e numa reta espertos . 
Valeu Sergio pelo problema. 
Abs, Luis 

Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300
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Construa o triângulo ABC dados em posição:. o pé Ha da altura do vértice A em 
relação ao lado BC.
. a interseção Sa da bissetriz do ângulo A com o lado BC.. o circuncentro O 
do triângulo.
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Abraço,sergio


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