Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Artur Costa Steiner Em seg, 27 de ago de 2018 23:44, Claudio Buffara escreveu: > Seja (a(n)) monótona decrescente e tal que SOMA a(n) converge. > > Seja eps > 0. > Como SOMA a(n) converge, existe N tal que: > (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 > e > (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. > > Como (a(n)) é

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Boa tarde! Cláudio, perdi um tempão tentando entender: (i) n > N ==> a(2n) < eps/2 e (ii) SOMA(n > N) a(n) < eps/4. Desisti e segui em frente. Pelo que vi em seguida, pensei não seria, como abaixo? (i) Soma(i=1 a 2n) aN+i < eps/2 (ii) Soma (i=1 a n) aN+n+i < eps/4 depois tomar bj= aN+j

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Uma outra prova, além das duas já apresentadas pelo Cláudio, é a seguinte: Como SOMA a_n converge, a_n decresce para 0. Para k = 1, 2, 3 ..., façamos Sk = SOMA (n = k, oo) a_n. Então Sk decresce para 0. Fixado k, para n > k temos que 0 <= (n - k + 1) a_n <= a_k ... + a_n <= S_k 0 <= n a_n <= (k

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Como SOMA a(n) converge (pra S, digamos), (i) o termo geral tende a zero e, em particular, a(2n) -> 0, quando n -> infinito. Isso quer dizer que, dado eps > 0, existe N1 tal que se n > N1, então a(2n) < eps/2 e (ii) o "resto" da série (S - SOMA(k=1...n) a(k), que é igual a SOMA(k>n) a(k) também

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Eu sabia que, no fim, eu teria que chegar a: ... e, portanto, dodo aquele eps > 0, existe N tal que n > N ==> n*a(n) < eps. Assim, em retrospecto, eu descobri que precisaria usar eps/2 e eps/4 nas condições que deduzi. De cara, dado que a sequência é decrescente, eu imaginei que precisaria usar

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

> Uma outra prova, além das duas já apresentadas pelo Cláudio, é a seguinte: > > Como SOMA a_n converge, a_n decresce para 0. Para k = 1, 2, 3 ..., façamos > Sk = SOMA (n = k, oo) a_n. Então Sk decresce para 0. Fixado k, para n > k > temos que > > 0 <= (n - k + 1) a_n <= a_k ... + a_n <= S_k > 0

Re: [obm-l] Outro fato simples e pouco conhecdo: lim n a_n = 0

Há algum tempo eu dei, no Yahoo Respostas, uma outra prova para este limite. Está em https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080407130216AAlhppk Em ter, 28 de ago de 2018 15:09, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > > Uma outra prova, além das duas já

[obm-l] Sugestão em uma integral

Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Radiciação

Obrigado, questão fácil, não sei como não pensei nisso! Em seg, 27 de ago de 2018 às 21:21, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > n^2 -10n +29 = (n- 5)^2 + 4 > (n - 5)^2. Logo, sqrt(n^2 -10n +29) > n - 5 > > n^2 -10n +29 = (n - 4)^2 - (2n -13) < (n - 4)^2 para n > 6. Logo,

Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

Como você define ln(x) para x negativo? Enviado do meu iPhone Em 28 de ago de 2018, à(s) 16:47, Artur Steiner escreveu: > Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral > > Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx > > Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >

[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

oh meu Deus, houve um engano. Todas as integrais são de 0 a oo. Artur Costa Steiner Em ter, 28 de ago de 2018 17:20, Claudio Buffara escreveu: > Como você define ln(x) para x negativo? > > Enviado do meu iPhone > > Em 28 de ago de 2018, à(s) 16:47, Artur Steiner < >

[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 Assim, Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2

[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

Errei um sinal... Vamos de novo... x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = -Integral(0...1) t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 Assim, Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 -

[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

Nem tudo foi perdido na minha primeira tentativa, pois: Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) = -(constante de Catalan). Vide

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sugestão em uma integral

Esta sua solução por séries é bem interessante. Valeu! A justificativa para transformar a integral de uma série em uma série dr integrais é convergência uniforme da série, certo? Eu prnsei numa solução baseada em I1(a) = Int(0, inf) dx/(x^2 + a), a > 0. Fazendo x = 1/t demonstramos que I1(1) =