[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Em qua, 4 de out de 2023 15:49, carlos h Souza escreveu: > Boa tarde, > > Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de > fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? > Fatoração, de longe. Os primos são definidos precisamente como "os infatoráveis". Já o crivo de Eratóstenes é um algoritmo de classificação em massa. Pensa da seguinte forma: para verificar se um número N é primo, o que é mais natural: - tentar dividir em k partes iguais, para todos os k pequenos; - escrever todos os números de 1 a N num papel e ir furando o papel de acordo com uma regra mágica? > Obrigados a todos. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Fatoração, com certeza. Por exemplo, diga pra garotada analisar os números de 2 a 100 e determinar quais podem ser expressos como produto de números naturais menores. Como dica, pra facilitar o trabalho, diga pra eles consultarem a tabuada (e também pra observarem que, na tabuada, nem todos os números aparecem como resultado de alguma multiplicação). Acho que essa é uma boa motivação pra definição de número primo. As dificuldades encontradas por eles nesta tarefa podem motivar a busca de uma forma sistemática (um algoritmo) pra determinar os números primos na sequência de números naturais. Esse seria o crivo de Eratóstenes, cuja descoberta poderia ser guiada por perguntas e dicas pertinentes. Outra forma de motivar a definição de primo é representar o natural N (N = 1, 2, 3, ...) por N bolinhas, que devem ser dispostas num arranjo retangular com 2 ou mais linhas (ou colunas). Para alguns valores de N, isso será impossível. Estes são os números primos. Numa digressão, faça a garotada determinar pra quais N as bolinhas podem ser particionadas em pares (conjuntos com 2 elementos)... daí o nome. Há vários probleminhas interessantes que podem ser resolvidos com esta representação dos números - o do jovem Gauss, por exemplo, ou o da soma dos ímpares consecutivos, ou determinar pra quais N o arranjo pode ter o mesmo número de linhas e de colunas. []s, Claudio. On Wed, Oct 4, 2023 at 3:49 PM carlos h Souza wrote: > Boa tarde, > > Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de > fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? > > Obrigados a todos. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números primos
Boa tarde, Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ? Obrigados a todos. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Em qui, 29 de ago de 2019 às 12:42, Carlos Monteiro
escreveu:
>
> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>
Seis é um número muito bom para testar congruências de primos, pois no
conjunto 1,2,3,4,5,6 apenas 1 e 5 são primos com 6. Em outras
palavras, primos são números da forma 6K+-1.
>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira escreveu:
>>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou -1
>> (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro
>> wrote:
>>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Exato, 6 é um número pequeno com "muitos" divisores, então é um bom ponto
de partida...
Claro, a gente podia continuar analisando o problema e achando mais e mais
restrições (módulo 12... módulo 15... módulo 120...)... Mas, em algum
momento, você tem que partir para tentar uns números e ver o que acontece,
senão não fecha nunca. :D
On Thu, Aug 29, 2019 at 1:02 PM Claudio Buffara
wrote:
> Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao
> se dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1
> ou resto 5 (== -1).
>
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Valeu!
>> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>>
>>
>> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
>> escreveu:
>>
>>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>>
>>> Resposta longa:
>>> Sejam p1>> p1=2, porque então a soma seria par.
>>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1
>>> ou -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6.
>>> Mas então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>>> divisível por 3).
>>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto
>>> me leva a tentar
>>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>
Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e
a soma dos seus quadrados são números primos também.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao se
dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1 ou
resto 5 (== -1).
On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>
>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
> escreveu:
>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
>> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Valeu!
Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira
escreveu:
> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>
> Resposta longa:
> Sejam p1 porque então a soma seria par.
> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
> divisível por 3).
> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
> leva a tentar
> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>
> Abraço, Ralph.
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Resposta curta: 3, 7 e 13 servem. Resposta longa: Sejam p1 wrote: > Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a > soma dos seus quadrados são números primos também. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números primos
Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a soma dos seus quadrados são números primos também. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa noite! Bruno, Grato pela a ajuda. Foi o que pensei. Portanto, o enunciado não está legal. Deveria ser dos quatro menores primos. Para excluir o 113. Nem sei se tem outros fatores. Mas agora, confirmei 2, 3, 5, 29 e 113 e ainda podem existir mais. Saudações, PJMS Em Sáb, 9 de jun de 2018 16:34, Bruno Visnadi escreveu: > 15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4) > Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide > 15^(15^15) + 15. > > Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> >>> Ajudem-me. >>> p=113 ==> Fi(113) = 112 >>> >>> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. >>> 15^15= 15 mod 112. >>> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 >>> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 >>> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. >>> 113 é primo. >>> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... >>> >>> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: >>> Boa tarde! Já tinha corrigido. Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e 29. Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo escreveu: > O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k > > Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não tive tempo de corrigir. >> Seja a= 15^15 >> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, >> quando coloquei 15 em evidência. >> >> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não >> atende. >> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 >> = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não >> atende >> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >> >> O outro primo é 29. >> >> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. >> Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 >> = >> 29^k, com k natural. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Desconsiderar. >>> Está errado. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! p| 15(15^(15^15)+1) então: 15^(15^15) = -1 mod p. Como 15^(p-1) =1 mod p 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como mostrar, sem a dica do enunciado. Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. Para p=11, 15^15=5 mod10 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. Até chegar a p=31. 15^15= 15 mod 30 15^15 = ? mod 31 15^2=8 mod 31 15^4 =64=2 mod 31 14^8=4 mod 31 15^14=8*2*4=2 mod 31. 15^15= -1 mod 31. Então o outro primo é 31. Saudações, PJMS. Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo escreveu: > A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: > R: 39 > > Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência > temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 > tbm é > fator. > Minha dificuldade é descobrir o terceiro > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4) Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide 15^(15^15) + 15. Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? > > Saudações, > PJMS > > > Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Ajudem-me. >> p=113 ==> Fi(113) = 112 >> >> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. >> 15^15= 15 mod 112. >> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 >> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 >> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. >> 113 é primo. >> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... >> >> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Já tinha corrigido. >>> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e >>> 29. >>> >>> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo >>> escreveu: >>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tive tempo de corrigir. > Seja a= 15^15 > p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando > coloquei 15 em evidência. > > p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p > p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. > b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p > p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 > 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. > p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. > p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 > = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. > p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não > atende > p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende > p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. > > O outro primo é 29. > > Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. > Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = > 29^k, com k natural. > > Saudações, > PJMS. > > Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite. >> Desconsiderar. >> Está errado. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>> >>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>> Até chegar a p=31. >>> 15^15= 15 mod 30 >>> 15^15 = ? mod 31 >>> 15^2=8 mod 31 >>> 15^4 =64=2 mod 31 >>> 14^8=4 mod 31 >>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>> 15^15= -1 mod 31. >>> Então o outro primo é 31. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >>> escreveu: >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa tarde! Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? Saudações, PJMS Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Ajudem-me. > p=113 ==> Fi(113) = 112 > > 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. > 15^15= 15 mod 112. > 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 > 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 > logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. > 113 é primo. > O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... > > Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 > > Saudações, > PJMS > > > Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Já tinha corrigido. >> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e >> 29. >> >> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo >> escreveu: >> >>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k >>> >>> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Não tive tempo de corrigir. Seja a= 15^15 p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando coloquei 15 em evidência. p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. O outro primo é 29. Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com k natural. Saudações, PJMS. Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > Boa noite. > Desconsiderar. > Está errado. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> p| 15(15^(15^15)+1) então: >> 15^(15^15) = -1 mod p. >> >> Como 15^(p-1) =1 mod p >> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >> como mostrar, sem a dica do enunciado. >> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >> Para p=11, 15^15=5 mod10 >> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >> Até chegar a p=31. >> 15^15= 15 mod 30 >> 15^15 = ? mod 31 >> 15^2=8 mod 31 >> 15^4 =64=2 mod 31 >> 14^8=4 mod 31 >> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >> 15^15= -1 mod 31. >> Então o outro primo é 31. >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >> escreveu: >> >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >>> R: 39 >>> >>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos >>> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é >>> fator. >>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa tarde! Ajudem-me. p=113 ==> Fi(113) = 112 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. 15^15= 15 mod 112. 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. 113 é primo. O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15 Saudações, PJMS Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Já tinha corrigido. > Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e > 29. > > Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo > escreveu: > >> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k >> >> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Não tive tempo de corrigir. >>> Seja a= 15^15 >>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando >>> coloquei 15 em evidência. >>> >>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. >>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = >>> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende >>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >>> >>> O outro primo é 29. >>> >>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, >>> o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, >>> com k natural. >>> >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: >>> Boa noite. Desconsiderar. Está errado. Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José escreveu: > Boa noite! > p| 15(15^(15^15)+1) então: > 15^(15^15) = -1 mod p. > > Como 15^(p-1) =1 mod p > 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). > Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei > como mostrar, sem a dica do enunciado. > Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. > Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. > Para p=11, 15^15=5 mod10 > 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. > Até chegar a p=31. > 15^15= 15 mod 30 > 15^15 = ? mod 31 > 15^2=8 mod 31 > 15^4 =64=2 mod 31 > 14^8=4 mod 31 > 15^14=8*2*4=2 mod 31. > 15^15= -1 mod 31. > Então o outro primo é 31. > Saudações, > PJMS. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo > escreveu: > >> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >> R: 39 >> >> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos >> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é >> fator. >> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Boa tarde! Já tinha corrigido. Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e 29. Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo escreveu: > O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k > > Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Não tive tempo de corrigir. >> Seja a= 15^15 >> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando >> coloquei 15 em evidência. >> >> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. >> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = >> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende >> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >> >> O outro primo é 29. >> >> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o >> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com >> k natural. >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Desconsiderar. >>> Está errado. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! p| 15(15^(15^15)+1) então: 15^(15^15) = -1 mod p. Como 15^(p-1) =1 mod p 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como mostrar, sem a dica do enunciado. Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. Para p=11, 15^15=5 mod10 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. Até chegar a p=31. 15^15= 15 mod 30 15^15 = ? mod 31 15^2=8 mod 31 15^4 =64=2 mod 31 14^8=4 mod 31 15^14=8*2*4=2 mod 31. 15^15= -1 mod 31. Então o outro primo é 31. Saudações, PJMS. Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo escreveu: > A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: > R: 39 > > Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os > fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. > Minha dificuldade é descobrir o terceiro > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa tarde! Já falei besteira de novo. 2 | (15^(15^15-1) +1) Saudações, PJMS Em 8 de junho de 2018 14:10, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tive tempo de corrigir. > Seja a= 15^15 > p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando > coloquei 15 em evidência. > > p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p > p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. > b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p > p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 > 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. > p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. > p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 > e 4 não divide 14; p=17 não atende. > p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende > p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende > p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. > > O outro primo é 29. > > Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o > objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com > k natural. > > Saudações, > PJMS. > > Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > >> Boa noite. >> Desconsiderar. >> Está errado. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>> >>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>> Até chegar a p=31. >>> 15^15= 15 mod 30 >>> 15^15 = ? mod 31 >>> 15^2=8 mod 31 >>> 15^4 =64=2 mod 31 >>> 14^8=4 mod 31 >>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>> 15^15= -1 mod 31. >>> Então o outro primo é 31. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >>> escreveu: >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos
O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não tive tempo de corrigir. > Seja a= 15^15 > p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando > coloquei 15 em evidência. > > p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p > p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. > b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p > p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 > 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. > p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. > p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 > e 4 não divide 14; p=17 não atende. > p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende > p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende > p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. > > O outro primo é 29. > > Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o > objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com > k natural. > > Saudações, > PJMS. > > Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > >> Boa noite. >> Desconsiderar. >> Está errado. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>> >>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>> Até chegar a p=31. >>> 15^15= 15 mod 30 >>> 15^15 = ? mod 31 >>> 15^2=8 mod 31 >>> 15^4 =64=2 mod 31 >>> 14^8=4 mod 31 >>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>> 15^15= -1 mod 31. >>> Então o outro primo é 31. >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >>> escreveu: >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa tarde! Não tive tempo de corrigir. Seja a= 15^15 p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando coloquei 15 em evidência. p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. O outro primo é 29. Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com k natural. Saudações, PJMS. Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José escreveu: > Boa noite. > Desconsiderar. > Está errado. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José escreveu: > >> Boa noite! >> p| 15(15^(15^15)+1) então: >> 15^(15^15) = -1 mod p. >> >> Como 15^(p-1) =1 mod p >> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como >> mostrar, sem a dica do enunciado. >> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >> Para p=11, 15^15=5 mod10 >> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >> Até chegar a p=31. >> 15^15= 15 mod 30 >> 15^15 = ? mod 31 >> 15^2=8 mod 31 >> 15^4 =64=2 mod 31 >> 14^8=4 mod 31 >> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >> 15^15= -1 mod 31. >> Então o outro primo é 31. >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo >> escreveu: >> >>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >>> R: 39 >>> >>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os >>> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. >>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa noite. Desconsiderar. Está errado. Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José escreveu: > Boa noite! > p| 15(15^(15^15)+1) então: > 15^(15^15) = -1 mod p. > > Como 15^(p-1) =1 mod p > 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). > Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como > mostrar, sem a dica do enunciado. > Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. > Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. > Para p=11, 15^15=5 mod10 > 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. > Até chegar a p=31. > 15^15= 15 mod 30 > 15^15 = ? mod 31 > 15^2=8 mod 31 > 15^4 =64=2 mod 31 > 14^8=4 mod 31 > 15^14=8*2*4=2 mod 31. > 15^15= -1 mod 31. > Então o outro primo é 31. > Saudações, > PJMS. > > Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo > escreveu: > >> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >> R: 39 >> >> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os >> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. >> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Boa noite! p| 15(15^(15^15)+1) então: 15^(15^15) = -1 mod p. Como 15^(p-1) =1 mod p 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como mostrar, sem a dica do enunciado. Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. Para p=11, 15^15=5 mod10 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. Até chegar a p=31. 15^15= 15 mod 30 15^15 = ? mod 31 15^2=8 mod 31 15^4 =64=2 mod 31 14^8=4 mod 31 15^14=8*2*4=2 mod 31. 15^15= -1 mod 31. Então o outro primo é 31. Saudações, PJMS. Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo escreveu: > A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: > R: 39 > > Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os > fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. > Minha dificuldade é descobrir o terceiro > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números primos
A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: R: 39 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator. Minha dificuldade é descobrir o terceiro -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Números primos e soma de quadrados
Prove q para todo primo p existem x e y inteiros tais que p|x²+y²+1.Desde já obrigado!
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos e soma de quadrados
Dica: use um argumento de contagem. Para isso, calcule primeiro quantos quadrados existem mod p. On Sat, Mar 3, 2012 at 11:26 PM, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.comwrote: Prove q para todo primo p existem x e y inteiros tais que p|x²+y²+1. Desde já obrigado! -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Bolas, Esqueci de dizer que M é o N descartado seu último algarismo... Desculpem-me. Nehab Em 5/8/2011 23:02, Carlos Nehab escreveu: Oi, Regis, Não lembro do referido email, mas a propriedade a seguir (cuja demonstração será um bom exercício para satisfazer sua curiosidade) o ajude, no caso de divisibilidade por primos maiores que 5. Embora haja critérios outros de divisibilidade (por exemplo por 7 ou 11) acho que você vai gostar... Abraços e bom proveito, Nehab Notação: a | b indica a divide b. Se p é primo, determine inicialmente q, o menor múltiplo positivo de p terminado em 1 ou 9 (se p = 17, por exemplo, q = 51). Naturalmente sempre existirá tal q (um primo impar tem que terminar em 1, 3, 7 ou 9). Caso 1. Se o último dígito de q é 1, então, p | N sss p | (M - a.r) , onde a é o número que sobra de q quando tiramos o 1 (no caso de 17, o 5); Caso 2. Se o último dígito de q é 9, então, p | N sss p | [M + (a+1).r] , onde a é o número que sobra de q quando tiramos o 9; Usando recorrentemente esta propriedade para ir diminuindo o dividendo...voce tem ai um procedimento interessante e facilmente programável, Tabelinha Indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de q, o valor de a e a propriedade... pq a(p | N) sss p divide... --- 7211M - 2r 11 111M - r 13 393M + (3+1)r = M + 4r 17 515M - 5r 23 696M + (6+1)r = M + 7r 29 292M + (2+1)r = M + 3r 31 313M - 3r 37 111 11 M - 11r 41 414M - 4r 43 129 12 M + 13r 47 141 14 M - 14r etc === Em 3/8/2011 15:12, regis barros escreveu: Boa Tarde Pessoal Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o link sobre o assunto. Regis Godoy Barros Graduado em Licenciatura em Fisica - IFSP Graduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Oi, Regis, Não lembro do referido email, mas a propriedade a seguir (cuja demonstração será um bom exercício para satisfazer sua curiosidade) o ajude, no caso de divisibilidade por primos maiores que 5. Embora haja critérios outros de divisibilidade (por exemplo por 7 ou 11) acho que você vai gostar... Abraços e bom proveito, Nehab Notação: a | b indica a divide b. Se p é primo, determine inicialmente q, o menor múltiplo positivo de p terminado em 1 ou 9 (se p = 17, por exemplo, q = 51). Naturalmente sempre existirá tal q (um primo impar tem que terminar em 1, 3, 7 ou 9). Caso 1. Se o último dígito de q é 1, então, p | N sss p | (M - a.r) , onde a é o número que sobra de q quando tiramos o 1 (no caso de 17, o 5); Caso 2. Se o último dígito de q é 9, então, p | N sss p | [M + (a+1).r] , onde a é o número que sobra de q quando tiramos o 9; Usando recorrentemente esta propriedade para ir diminuindo o dividendo...voce tem ai um procedimento interessante e facilmente programável, Tabelinha Indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de q, o valor de a e a propriedade... pq a(p | N) sss p divide... --- 7211M - 2r 11 111M - r 13 393M + (3+1)r = M + 4r 17 515M - 5r 23 696M + (6+1)r = M + 7r 29 292M + (2+1)r = M + 3r 31 313M - 3r 37 111 11 M - 11r 41 414M - 4r 43 129 12 M + 13r 47 141 14 M - 14r etc === Em 3/8/2011 15:12, regis barros escreveu: Boa Tarde Pessoal Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o link sobre o assunto. Regis Godoy Barros Graduado em Licenciatura em Fisica - IFSP Graduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Bem, eu conheço um assim: Como estudo de caso, seja 7 o primo que estamos pesquisando. 1 - Encontre um divisor da forma M*10+1. No caso, 7*3=21, M=2. 2 - A cada passo, faça isto aqui: 2a - Arranque o último dígito, e duplique-o (M=2, e 7*3=2*10+1); 2b - Subtraia do restante do número. Por exemplo, 1001 é múltiplo de 7? 1001 = 100-2=98 = 9-2*8=-7, OK, pois 7 é múltiplo! Encontrar divisores da forma 10K+1 é fácil, basta olhar a tabuada. Em 03/08/11, regis barrosregisgbar...@yahoo.com.br escreveu: Boa Tarde Pessoal Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o link sobre o assunto. Regis Godoy BarrosGraduado em Licenciatura em Fisica - IFSPGraduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
7^a*11^b têm 16 divisores no total. (a+1)(b+1)=16 Liste as possibilidades e finalize! Em 04/08/11, Marcus Aurelio Gonçalves Rodriguesmarcusaureli...@globo.com escreveu: Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1 -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Boa Tarde Pessoal Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o link sobre o assunto. Regis Godoy BarrosGraduado em Licenciatura em Fisica - IFSPGraduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Números Primos
Acho que van der Corput disse que existem infinitas PAs de três termos todos primos. Mas epa!, o termo do meio é média aritmética dos outros dois! E creio que recentemente conseguirm melhorar: existem PAs arbitrariamente grandes formadas somente de números primos. Fuçando na Internet, achei esse site (não espico ínglichi): http://mathworld.wolfram.com/PrimeArithmeticProgression.html Ass.: Johann Em 11 de abril de 2010 16:46, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com escreveu: Há vários exemplos de pares de números primos cuja média é um número primo. (17 + 5)/2 = 11 (23 + 3)/2 = 13 (11 + 23)/2 = 17 (19 + 7)/2 = 13 Um problema interessante é deduzir se o número de pares de primos (p1, p2) cuja média seja um número primo é finito ou infinito. Artur -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Watanabe Enviada em: domingo, 11 de abril de 2010 01:51 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Números Primos Se for, eu preciso rever meus conceitos, pois 3, 5 e 7 são primos e (3+7)/2=5. Abraços, Carlos vitor alves escreveu: Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/16?product=1ocid=CRM-Wi ndowsLive:dicaPopAggregator:Tagline:WLCRM:On:WL:pt-BR:Hotmail __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números Primos
Se for, eu preciso rever meus conceitos, pois 3, 5 e 7 são primos e (3+7)/2=5. Abraços, Carlos vitor alves escreveu: Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/16?product=1ocid=CRM-WindowsLive:dicaPopAggregator:Tagline:WLCRM:On:WL:pt-BR:Hotmail __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Números Primos
Há vários exemplos de pares de números primos cuja média é um número primo. (17 + 5)/2 = 11 (23 + 3)/2 = 13 (11 + 23)/2 = 17 (19 + 7)/2 = 13 Um problema interessante é deduzir se o número de pares de primos (p1, p2) cuja média seja um número primo é finito ou infinito. Artur -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Carlos Watanabe Enviada em: domingo, 11 de abril de 2010 01:51 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Números Primos Se for, eu preciso rever meus conceitos, pois 3, 5 e 7 são primos e (3+7)/2=5. Abraços, Carlos vitor alves escreveu: Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail. http://www.windowslive.com.br/public/tip.aspx/view/16?product=1ocid=CRM-Wi ndowsLive:dicaPopAggregator:Tagline:WLCRM:On:WL:pt-BR:Hotmail __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Números Primos
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[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Olá, Vitor! A média aritmética de dois números primos pode ser um número primo! Por exemplo: Dado a primo, (a + a)/2 = a; Ou, (7 + 3)/2 = 5; Ou, (101 + 5)/2 = 53. Mas, também pode a média aritmética entre dois primos não ser um primo. Por exemplo: (5 + 7)/2 = 6; Ou, (1001 + 3) = 52. Abraço! Leandro. From: vitor alves Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números Primos Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail.
[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Pense que, se nenhum dos primos for 2, ambos serão ímpares... Se um dos primos for o 2, então um será par e o outro ímpar. O que acontece com a M.A. em cada um dos casos? Espero ter ajudado, João Luís. - Original Message - From: vitor alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM Subject: [obm-l] Números Primos Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? -- Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Números Primos
obrigado!!! From: le.silvas.l...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos Date: Fri, 9 Apr 2010 08:57:55 -0300 Olá, Vitor! A média aritmética de dois números primos pode ser um número primo! Por exemplo: Dado a primo, (a + a)/2 = a; Ou, (7 + 3)/2 = 5; Ou, (101 + 5)/2 = 53. Mas, também pode a média aritmética entre dois primos não ser um primo. Por exemplo: (5 + 7)/2 = 6; Ou, (1001 + 3) = 52. Abraço! Leandro. From: vitor alves Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números Primos Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número primo? Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no Hotmail. _ O Internet Explorer 8 te dá dicas de como navegar mais seguro. Clique para ler todas. http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/?WT.mc_id=1500
Re: [obm-l] NÚMEROS PRIMOS E O CAOS. SERÁ?????
On Thu, Jul 08, 2004 at 09:33:37PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: A sequencia dos números primos parece não ter a menor lógica. Mas, atualmente, existem n fórmulas capazes de ceder a soma entre dois valores primos, ceder primos entre esses dois valores, dizer se um número é primo ou não, e tb dizer em qual posição ele se encontra na reta real. Consegui montar uma fórmula q consegue encontrar um número primo, quando é dada sua posição, num sistema de equações e aplicando nesses valores, determinantes e matrizes. Mas não vejo nisso qq mérito, já q tantas dessas estão nos livros. Uma fórmula para descrever o comportamento dos números primos. Esse é o problema?? A Hipótese de Riemann já foi testada para 1,5 bilhão de números e até agora não viram qq problema nela. Os indianos do Instituto Indiano de Tecnologia de Kampur conseguiram quase demonstrar a maneira pela qual podemos descobrir quais sãos os divisores de um número e assim, por tabela, conseguiríamos quebrar os progamas de segurança que estão baseados, por exemplo, no RSA.Afinal, meus caros amigos da lista.Qual é o principal problema q deve ser estudado no campo dos números primosAbraço. O Fabiano Sutter escreveu diretamente para mim pedindo que eu comentasse esta sua mensagem. Achei melhor responder para a lista. Existem muita coisa conhecida sobre números primos e também existem muitos problemas em aberto, alguns com aplicações práticas, outros de interesse puramente teórico. É verdade, por exemplo, que a hipótese de Riemann já foi muito testada e nenhum contra-exemplo foi encontrado: o que os matemáticos querem é uma *demonstração* de que ela é verdadeira. A conjectura de Goldbach também já foi muito testada e novamente o que se quer é uma *demonstração*. Um problema mais aplicado é o de decidir se existe um algoritmo de tempo polinomial para fatorar inteiros. Minha recomendação ao Fabiano é que ele deve estudar o assunto o suficiente para entender quais são os problemas importantes antes de tentar resolvê-los. Existem muitos livros bons ou, se ele preferir a internet, pode começar aqui: http://www.utm.edu/research/primes/ []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] NÚMEROS PRIMOS E O CAOS. SERÁ?????
Acho que você não sabe do que está falando... Que história é essa dos indianos descobrirem como fatorar inteiros de forma eficiente?? Eles descobriram um algoritmo polinomial determinístico para determinar se um número é primo. Isso é diferente de FATORAR um número inteiro, que é realmente a base do RSA. Aqui cabe uma observação: apesar de ser um grande feito do ponto de vista de teoria da computação, o algoritmo AKS não causa grande impacto prático já que os algoritmos probabilísticos são muito rápidos e determinam com altíssima probabilidade quando um número é primo. É bem provável que por muitos anos esses sejam os algoritmos realmente utilizados. Para o problema de determinar um primo entre dois inteiros também não se conhece solução eficiente. Agora, pelo que entendi, você alega que descobriu uma maneira de determinar o n-ésimo primo através de sistemas lineares... tá, essa eu quero ver. flw = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] NÚMEROS PRIMOS E O CAOS. SERÁ?????
A sequencia dos números primos parece não ter a menor lógica. Mas, atualmente, existem n fórmulas capazes de ceder a soma entre dois valores primos, ceder primos entre esses dois valores, dizer se um número é primo ou não, e tb dizer em qual posição ele se encontra na reta real. Consegui montar uma fórmula q consegue encontrar um número primo, quando é dada sua posição, num sistema de equações e aplicando nesses valores, determinantes e matrizes. Mas não vejo nisso qq mérito, já q tantas dessas estão nos livros. Uma fórmula para descrever o comportamento dos números primos. Esse é o problema?? A Hipótese de Riemann já foi testada para 1,5 bilhão de números e até agora não viram qq problema nela. Os indianos do Instituto Indiano de Tecnologia de Kampur conseguiram quase demonstrar a maneira pela qual podemos descobrir quais sãos os divisores de um número e assim, por tabela, conseguiríamos quebrar os progamas de segurança que estão baseados, por exemplo, no RSA.Afinal, meus caros amigos da lista.Qual é o principal problema q deve ser estudado no campo dos números primosAbraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números Primos
Acho q não expliquei bem. Eu não quero gerar números primos. Apenas, quero dizer onde eles estão numa linha reta, onde os pontos pertencentes à esta linha estão no conjunto dos números naturais. Uma fórmula para essa localização já existe? Tenho já algum rascunho desse trabalho. Abraço a todos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] números primos
Aí morgado valeu, é que eu coloquei aquela soma sob forma de fração e acabei me complicando, mas de qualquer forma obrigado. Agora dá uma olhada nessa aqui, até agora ñ consegui achar nada: Qual é soma de todos os divisores exatos do número N = 19^88 - 1, que são da forma: N = (2^A)*(3^B), com A e B maiores que zero? Um grande abraço a todos, valeu! Felipe Santana __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] números primos
on 25.05.04 22:21, biper at [EMAIL PROTECTED] wrote: Aí morgado valeu, é que eu coloquei aquela soma sob forma de fração e acabei me complicando, mas de qualquer forma obrigado. Agora dá uma olhada nessa aqui, até agora ñ consegui achar nada: Qual é soma de todos os divisores exatos do número N = 19^88 - 1, que são da forma: N = (2^A)*(3^B), com A e B maiores que zero? Um grande abraço a todos, valeu! Felipe Santana A ideia eh achar os expoentes de 2 e 3 na fatoracao de N. Seja N = 2^x * 3^y * M, onde mdc(M,6) = 1. Seja u = 19^11. Entao: N = u^8 - 1 = (u^4 - 1)*(u^4 + 1) = (u^2 - 1)*(u^2 + 1)*(u^4 + 1) = (u - 1)*(u + 1)*(u^2 + 1)*(u^4 + 1) Olhando mod 8, teremos: 19 == 3 == 19^2 == 1 == 19^10 == 1 == u = 19^11 == 3 == u^2 == 1 == u^4 == 1 == u - 1 == 2; u + 1 == 4; u^2 + 1 == 2; u^4 + 1 == 2 Essas 4 congruencias implicam que x = 5. - Olhando mod 27, teremos: 19 == -8 == 19^2 == 64 == 10 == 19^3 == -80 == 1 == 19^9 == 1 == u = 19^11 == 10 == u^2 == 100 == -8 == u^4 == 64 == 10 == u - 1 == 9; u + 1 == 11; u^2 + 1 == -7; u^4 + 1 == 11 Essas 4 congruencias implicam que y = 2. Assim, N = 2^5 * 3^2 * M, onde M eh primo com 6. Logo, a soma desejada eh: (2+2^2+2^3+2^4+2^5)*(3+3^2) = 62*12 = 744 []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] números primos
N = 19^88 - 1=(18+1)^88-1 Desenvolva esse binômio, axo ki da pra sair de maneira um pouco braçal. Aí morgado valeu, é que eu coloquei aquela soma sob forma de fração e acabei me complicando, mas de qualquer forma obrigado. Agora dá uma olhada nessa aqui, até agora ñ consegui achar nada: Qual é soma de todos os divisores exatos do número N = 19^88 - 1, que são da forma: N = (2^A)*(3^B), com A e B maiores que zero? Um grande abraço a todos, valeu! Felipe Santana __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números primos
Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497.
Re: [obm-l] Números primos
Para a soma ser impar,um deve ser impare o outro par. O unico primo par eh 2. Para a soma ser 497, um dos numeros eh 2 e o outro eh 495, que nao eh primo. A resposta eh 0. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED], OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Tue, 30 Mar 2004 23:19:09 -0300 Subject: [obm-l] Números primos Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497. --- End of Original Message ---
Re: [obm-l] Números primos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] said: Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497. [...] Se dois números inteiros têm soma ímpar, o que se pode afirmar quanto à paridade deles? []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAai6QalOQFrvzGQoRAoMHAJ9s1kxyh1/hLRKIzAhBWHfoheD/cACfWK3o OIRey25DP/uK6jYJalINLbA= =ZIg1 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Números primos
acho ki e assim... como 497 e impar, x+y tem ki ser impar... ou seja um tem ki ser par e outro impar...mas como o unico primo par e 2, o outro tem ki ser 497 -2=495 ki nao e primo... A resposta e nao existe nenhum par ordenado. From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] CC: [EMAIL PROTECTED], OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Números primos Date: Tue, 30 Mar 2004 23:19:09 -0300 Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497. _ Free up your inbox with MSN Hotmail Extra Storage. Multiple plans available. http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=hotmail/es2ST=1/go/onm00200362ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos
Valeu, mas se em vez de um ímpar o resultado for um número par, tipo 498? Existe uma maneira prática de se fazer isso? - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 30, 2004 11:47 PM Subject: RE: [obm-l] Números primos acho ki e assim... como 497 e impar, x+y tem ki ser impar... ou seja um tem ki ser par e outro impar...mas como o unico primo par e 2, o outro tem ki ser 497 -2=495 ki nao e primo... A resposta e nao existe nenhum par ordenado. From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] CC: [EMAIL PROTECTED], OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Números primos Date: Tue, 30 Mar 2004 23:19:09 -0300 Pessoal, tô enrolado nesse. Ajudem-me por favor. Sejam x e y dois números primos. Determine quantos pares ordenados (x,y) existem, tal que x+y = 497. _ Free up your inbox with MSN Hotmail Extra Storage. Multiple plans available. http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=hotmail/es2ST=1/go/onm00200362ave/ direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 29/03/2004 / Versão: 1.5.2 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos em um intervalo
On Wed, May 28, 2003 at 08:42:16PM -0300, Victor Luiz wrote: Olá pessoal, eu gostaria de saber se existe alguma fórmula mágica mesmo que seja complicada pra calcular o número de números primos em um intervalo. Esses dias eu vi um exercício que dizia mais ou menos Quantos números primos naturais existem no intervaldo de 1 a 500? e por isso eu quis saber se existe alguma maneira mais prática de calcular do que ficar tentando número por número. Seja f(n) o número de primos até n; assim f(10) = 4, f(11) = 5. O teorema dos números primos dá o valor *aproximado* para f(n): f(n) ~= n/log(n) onde o logaritmo é na base e, claro; log na base 10 só existe em tabelas de logaritmos de há 100 anos atrás e em alguns livros de ensino médio. O valor certo de f(500) é 95; a fórmula dá 80.45559625. Temos f(5) = 5133 e a fórmula dá 4621.166784. Uma aproximação bem melhor é dada por Li(x) = integral_0^x dt/log(t) onde devemos tomar o valor principal desta integral: Li(500) = 101.7938725 Li(5) = 5166.546764 Para calcular f(500) *exatamente* você não precisa calcular todos os primos até 500 mas sempre dá um certo trabalho... PS: Não sei se isso acontece com vocês mas comigo os e-mails chegam na lista com um atraso bem grande, por exemplo esse último que eu mandei sobre o delta foi enviado às 11:35 mas só chegou às 13:25... Não é nada demais eu só quero saber se aqui no meu computador está com problema ou é assim mesmo. O majordomo pode demorar um pouco para processar o que deve mas 2 horas parece um pouco demais. Para entrar no arquivo na minha home page demora bem mais, ele só é refrescado de noite. Por falar em arquivo, usem mais o que fica em http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED] que funciona melhor do que o meu. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números primos em um intervalo
Oi, Victor: Você e o resto dos matemáticos do mundo. Eu diria que há uma grande chance da pessoa que descobrir uma tal fórmula ganhar uma medalha Fields (se tiver menos de 40 anos), um prêmio Abel e um monte de outras honrarias... Falando sério, o que se conhece é apenas o comportamento assintótico da função Pi(x) = número de primos no intervalo [0,x]. O chamado teorema dos números primos diz que: lim(x - +infinito) Pi(x)*ln(x)/x = 1, ou seja, para n suficientemente grande, o número de primos menores do que ou iguais a n é aproximadamente igual a n/ln(n), e o erro relativo tende a 0 quando n - infinito. Para um intervalo finito, não tem jeito: tem que calcular. No seu caso, existem 95 primos menores do que 500, o menor deles sendo 2 e o maior 499. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Victor Luiz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 28, 2003 8:42 PM Subject: [obm-l] Números primos em um intervalo -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Olá pessoal, eu gostaria de saber se existe alguma fórmula mágica mesmo que seja complicada pra calcular o número de números primos em um intervalo. Esses dias eu vi um exercício que dizia mais ou menos Quantos números primos naturais existem no intervaldo de 1 a 500? e por isso eu quis saber se existe alguma maneira mais prática de calcular do que ficar tentando número por número. Obrigado pela a atenção, Victor Luiz Salgado de Lima. PS: Não sei se isso acontece com vocês mas comigo os e-mails chegam na lista com um atraso bem grande, por exemplo esse último que eu mandei sobre o delta foi enviado às 11:35 mas só chegou às 13:25... Não é nada demais eu só quero saber se aqui no meu computador está com problema ou é assim mesmo. - Spam sux. www.wecanstopspam.org -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1 iD8DBQE+1UlWpBwZ7xrHmVsRArWTAJwN1ZGDMX3IUHBccPfddPSR+2RRGACdERkF kIs+I2znWaWm3L3JS3ObHdI= =Vy97 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números primos em um intervalo
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Olá pessoal, eu gostaria de saber se existe alguma fórmula mágica mesmo que seja complicada pra calcular o número de números primos em um intervalo. Esses dias eu vi um exercício que dizia mais ou menos Quantos números primos naturais existem no intervaldo de 1 a 500? e por isso eu quis saber se existe alguma maneira mais prática de calcular do que ficar tentando número por número. Obrigado pela a atenção, Victor Luiz Salgado de Lima. PS: Não sei se isso acontece com vocês mas comigo os e-mails chegam na lista com um atraso bem grande, por exemplo esse último que eu mandei sobre o delta foi enviado às 11:35 mas só chegou às 13:25... Não é nada demais eu só quero saber se aqui no meu computador está com problema ou é assim mesmo. - Spam sux. www.wecanstopspam.org -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.1 (MingW32) - GPGOE 0.4.1 iD8DBQE+1UlWpBwZ7xrHmVsRArWTAJwN1ZGDMX3IUHBccPfddPSR+2RRGACdERkF kIs+I2znWaWm3L3JS3ObHdI= =Vy97 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Números primos
Olá pessoal, aí vai um probleminha que um amigo me propôs. Também vai a minha solução. Não sei se está correta, pois não conheço a resposta certa. Se alguém achar que tem falha, por favor me diga. A questão é: - Quantos números primos p positivos existem tal que p^(2n) + p^(2n+1) seja um quadrado perfeito, para todo n natural? Minha solução: Seja s = p^(2n) + p^(2n+1). Como s deve ser um quadrado perfeito, então tem que existir m tal que s = m^2. Mas s pode ser fatorado da seguinte forma s = p^(2n)*[p + 1]. Como 2n é sempre um número par, o problema agora é encontrar a quantidade de primos p positivos tal que p+1 seja um quadrado perfeito. Dessa forma, tem que existir k tal que p+1=k^2, isso implica p=k^2-1, ou seja, p = (k-1)*(k+1). Desta última igualdade percebe-se que p é o produto de dois número. Ora, mas p é primo e, para que seja escrito como o produto de dois números, esses números só podem ser 1 e p [-1 e -p não podem ser pois p é positivo]. Assim, ou k-1 = 1 e k+1=p ou k-1=p e k+1=1. Disto podemos tirar: 1) k-1=1 implica k=2 k+1=p implica p=3, que é primo 2) k+1=1 implica k=0 k-1=p implica p=-1, que não é nem primo nem positivo, por isso não serve. Conclusão: Existe apenas um primo p [p=3] que satisfaz a condição. Edilon Ribeiro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
