[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Olá. Eu não proporia essa solução para estudantes do nível médio, mas, se você procura uma solução elegante e acha razoável a utilização de álgebra linear, a questão admite uma solução trivial. i) Teorema: det(A)=0 = as colunas de A são LD (linearmente dependentes) ii) A multiplicação de uma matriz nXn por um vetor-coluna nX1 equivale simplesmente a promover uma combinação linear das colunas de A para obter um novo vetor-coluna nX1. iii) Se as colunas de A são LD, então, *por definição*, há uma combinação linear (coeficientes dados pelos componentes de X) delas *não trivial* (pelo menos um dos elementos de X não nulo) que resulta no vetor nulo. Isso garante a veracidade da afirmação I. iv) Se a afirmação II fosse verdadeira, as colunas de A constituir-se-iam em uma base do espaço vetorial dos vetores-coluna 3 X 1. Porém, as colunas de A são LD, de modo que elas não podem constituir uma base de tal espaço. Logo, a afirmação II é falsa. [], Leo. 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Ola Pessoal, Correcao : No item I) eu quis dizer : o determinante da matriz dos coeficientes da incognitas E IGUAL A ZERO 2009/5/5 Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com: Ola Vanderlei e demais colegas desta lista ... OBM-L, Nos podemos pensar em A como os coeficientes numeros das incoginitas de um sistema ( linear ) de tres equacoes a tres incognitas. Olhando assim : I ) Obviamente verdadeira, pois um sistema homogeneo so admite solucao diferente da trivial ( solucao trivial : (0,0,0) ) se o determinante da matriz dos coeficientes das incognitas e diferente de zero. II) Obviamente falsa, pois basta tomar um Y tal que a segunda e terceira coluna da matriz dos coeficientes das incoginitas juntas com o Y forme uma matriz 3x3 com determinante diferente de zero. Neste caso, as caracteristicas da matriz principal e secundaria serao diferente e, pelo teorema de rouche, teremos um sistema impossivel. O Teorema de Rouche permite discutir um sistema linear considerando as caracteristicas da matriz principal ( matriz dos coeficientes das incoginitas, caracteristica = X ) e da matriz segundaria ( matriz principal + coluna dos termos independentes, caracteristica = Y ). Vale o seguinte : X=Y=N = sistema possivel e determinado X=Y N = sistema possivel indeterminado X # Y = sistema impossivel NOTA : caracteristica de uma matriz ( tambem chamada de outros nomes. Estou usando esta expressao porque voce parece ser estudante de nivel medio ) e a ordem da matriz de maior ordem com determinante diferente de zero contido na matriz sob consideracao. Um Abracao PSR 3050509120F 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br: Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DO ITA 92
Olá Vanderlei, tenho a prova do ITA de 1992 resolvida, Se ainda não lhe enviaram, posso enviar-lhe. Palmerim 2009/5/5 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Seja A uma matriz 3 x 3 tal que detA = 0. Considere as afirmações: I. Existe X 3 x 1 não nula tal que AX é identicamente nula. II. Para todo Y 3 x 1, existe X 3 x 1 tal que AX = Y. pessoal, essas duas afirmações são tais que a primeira é verdadeira e a segunda é falsa. Gostaria de alguma sugestão elegante para mostrar, uma vez que a maneira que fiz ficou longa demais. Obrigado, Vanderlei OBS: A propósito, alguém tem a prova do ITA DE 1992 resolvida? Só falta essa para minha coleção desde 1980. Valeu -- Palmerim
