[obm-l] Res: Res: [obm-l] Equaçao 2o
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/tartaglia.htm - Mensagem original De: Cristian XV [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 31 de Dezembro de 2006 9:59:47 Assunto: Res: [obm-l] Equaçao 2o Obrigado, alguem saberia, agora, como resolver de grau = 3. Na Universidade eu aprendi, mas passou o tempo e esqueci. Tinha o metodo Tartaglia, mas não me lembro, se alguem puder, me ajudar a relembrar agradeço Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Hm, soma e produto costuma ser bastante prático. Por exemplo, a soma e o produto das raízes da equação x^2 - 104x + 400 = 0 são 104 e 400, respectivamente, e pensando um pouco (o procedimento é olhar o produto e pensar em dois números cujos produto é esse; some os dois números e compare com o que deveria dar a soma; se a soma der maior do que deveria, tente de novo com números mais próximos; se der menor, tente números mais afastados). Mas e se o coeficiente do x^2 é diferente de 1? Por exemplo, 3x^2 - 23x + 34 = 0? Como pensar em dois números cuja soma é 23/3 e o produto, 34/3? Nesse caso, tem o seguinte truque: pense em dois números cuja soma é 23 (como seria na equação sem o 3 no denominador) e cujo produto é 34 * 3 (multiplicamos o coeficiente do x^2 com o termo independente). Não precisa fazer a conta, você vai ter que fazer soma e produto mesmo! 34 + 3 é maior que 23, então devemos deixar os números mais próximos. E pensando em paridade, sendo a soma ímpar, o produto deveria ser um par vezes um ímpar; tendo em vista que 34 = 17 * 2, que tal deixar o 17 sozinho, escrevendo 17 * 6? Opa, aqui a soma dá certinho! Então os dois números são 17 e 6. Mas essas não são as raízes! Como achar as raízes? Para achar as raízes da equação, basta dividir os dois números pelo coeficiente em x^2. Ou seja, as raízes são 17/3 e 6/3 = 2. É claro que isso nem sempre funciona, porque pode ser que as raízes não sejam racionais. No exemplo que você enviou, as raízes não são racionais; tente aplicar os procedimentos acima para provar isso. Nesses casos, só o bom e velho delta resolve. Bom, se o coeficiente b em x é par, fazer delta' = (b/2)^2 - ac e x = [(b/2) +- sqrt(delta')]/a diminui um pouquinho as contas. []'s Shine - Original Message From: André Smaira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, December 30, 2006 10:58:47 PM Subject: [obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o soma e produto ou: D=(S/2)^2-P x1=S/2+sqrt(D) x2=S/2-sqrt(D) - Mensagem original De: Hugo Leonardo da Silva Belisário Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2006 12:12:28 Assunto: Re: [obm-l] Equaçao 2o Cristian XV escreveu: Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: – 5x2 + 3.598x – 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 == Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. ___ Yahoo! Mail - Sempre a melhor opção para você! Experimente já e veja as novidades. http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] Equaçao 2o
Obrigado, alguem saberia, agora, como resolver de grau = 3. Na Universidade eu aprendi, mas passou o tempo e esqueci. Tinha o metodo Tartaglia, mas não me lembro, se alguem puder, me ajudar a relembrar agradeço Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Hm, soma e produto costuma ser bastante prático. Por exemplo, a soma e o produto das raízes da equação x^2 - 104x + 400 = 0 são 104 e 400, respectivamente, e pensando um pouco (o procedimento é olhar o produto e pensar em dois números cujos produto é esse; some os dois números e compare com o que deveria dar a soma; se a soma der maior do que deveria, tente de novo com números mais próximos; se der menor, tente números mais afastados). Mas e se o coeficiente do x^2 é diferente de 1? Por exemplo, 3x^2 - 23x + 34 = 0? Como pensar em dois números cuja soma é 23/3 e o produto, 34/3? Nesse caso, tem o seguinte truque: pense em dois números cuja soma é 23 (como seria na equação sem o 3 no denominador) e cujo produto é 34 * 3 (multiplicamos o coeficiente do x^2 com o termo independente). Não precisa fazer a conta, você vai ter que fazer soma e produto mesmo! 34 + 3 é maior que 23, então devemos deixar os números mais próximos. E pensando em paridade, sendo a soma ímpar, o produto deveria ser um par vezes um ímpar; tendo em vista que 34 = 17 * 2, que tal deixar o 17 sozinho, escrevendo 17 * 6? Opa, aqui a soma dá certinho! Então os dois números são 17 e 6. Mas essas não são as raízes! Como achar as raízes? Para achar as raízes da equação, basta dividir os dois números pelo coeficiente em x^2. Ou seja, as raízes são 17/3 e 6/3 = 2. É claro que isso nem sempre funciona, porque pode ser que as raízes não sejam racionais. No exemplo que você enviou, as raízes não são racionais; tente aplicar os procedimentos acima para provar isso. Nesses casos, só o bom e velho delta resolve. Bom, se o coeficiente b em x é par, fazer delta' = (b/2)^2 - ac e x = [(b/2) +- sqrt(delta')]/a diminui um pouquinho as contas. []'s Shine - Original Message From: André Smaira To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, December 30, 2006 10:58:47 PM Subject: [obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o soma e produto ou: D=(S/2)^2-P x1=S/2+sqrt(D) x2=S/2-sqrt(D) - Mensagem original De: Hugo Leonardo da Silva Belisário Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2006 12:12:28 Assunto: Re: [obm-l] Equaçao 2o Cristian XV escreveu: Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: 5x2 + 3.598x 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 == Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. ___ Yahoo! Mail - Sempre a melhor opção para você! Experimente já e veja as novidades. http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o
soma e produto ou: D=(S/2)^2-P x1=S/2+sqrt(D) x2=S/2-sqrt(D) - Mensagem original De: Hugo Leonardo da Silva Belisário [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2006 12:12:28 Assunto: Re: [obm-l] Equaçao 2o Cristian XV escreveu: Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: – 5x2 + 3.598x – 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 == Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. ___ Yahoo! Mail - Sempre a melhor opção para você! Experimente já e veja as novidades. http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Re: [obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o
Oi, Hm, soma e produto costuma ser bastante prático. Por exemplo, a soma e o produto das raízes da equação x^2 - 104x + 400 = 0 são 104 e 400, respectivamente, e pensando um pouco (o procedimento é olhar o produto e pensar em dois números cujos produto é esse; some os dois números e compare com o que deveria dar a soma; se a soma der maior do que deveria, tente de novo com números mais próximos; se der menor, tente números mais afastados). Mas e se o coeficiente do x^2 é diferente de 1? Por exemplo, 3x^2 - 23x + 34 = 0? Como pensar em dois números cuja soma é 23/3 e o produto, 34/3? Nesse caso, tem o seguinte truque: pense em dois números cuja soma é 23 (como seria na equação sem o 3 no denominador) e cujo produto é 34 * 3 (multiplicamos o coeficiente do x^2 com o termo independente). Não precisa fazer a conta, você vai ter que fazer soma e produto mesmo! 34 + 3 é maior que 23, então devemos deixar os números mais próximos. E pensando em paridade, sendo a soma ímpar, o produto deveria ser um par vezes um ímpar; tendo em vista que 34 = 17 * 2, que tal deixar o 17 sozinho, escrevendo 17 * 6? Opa, aqui a soma dá certinho! Então os dois números são 17 e 6. Mas essas não são as raízes! Como achar as raízes? Para achar as raízes da equação, basta dividir os dois números pelo coeficiente em x^2. Ou seja, as raízes são 17/3 e 6/3 = 2. É claro que isso nem sempre funciona, porque pode ser que as raízes não sejam racionais. No exemplo que você enviou, as raízes não são racionais; tente aplicar os procedimentos acima para provar isso. Nesses casos, só o bom e velho delta resolve. Bom, se o coeficiente b em x é par, fazer delta' = (b/2)^2 - ac e x = [(b/2) +- sqrt(delta')]/a diminui um pouquinho as contas. []'s Shine - Original Message From: André Smaira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, December 30, 2006 10:58:47 PM Subject: [obm-l] Res: [obm-l] Equaçao 2o soma e produto ou: D=(S/2)^2-P x1=S/2+sqrt(D) x2=S/2-sqrt(D) - Mensagem original De: Hugo Leonardo da Silva Belisário [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Dezembro de 2006 12:12:28 Assunto: Re: [obm-l] Equaçao 2o Cristian XV escreveu: Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: – 5x2 + 3.598x – 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 == Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. ___ Yahoo! Mail - Sempre a melhor opção para você! Experimente já e veja as novidades. http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equaçao 2o
Cristian XV escreveu: Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: – 5x2 + 3.598x – 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.15.26/601 - Release Date: 24/12/2006 == Completa quadrado. Além de ser mais fácil, te ensinara de onde vem a Formula de Báskara. Espero que seja útil a dica. Um abraço. ___ Yahoo! Mail - Sempre a melhor opção para você! Experimente já e veja as novidades. http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equaçao 2o
Alguém sabe como resolver equa. do segundo grau de uma maneira mais fácil? Pois às vezes me deparo com equações desse tipo: 5x2 + 3.598x 2.000 = 0, e demoro muito fazendo báskara. Obrigado __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Equaçao do 1° grau
Alguém ajuda ? Em uma industria seus funcionarios são divididos em 3 setores. No primeiro trabalha um quinto dos funcionarios , no setor dois,mais alguns sétimos , e no último setor 303 funcionarios.Qual ototalde funcionários desta industria ? sol. 3535
[obm-l] Re: [obm-l] Equaçao do 1° grau
não falta dados? não esa claro quantos setimos um abraco - Original Message - From: gustavo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 20, 2005 4:20 PM Subject: [obm-l] Equaçao do 1° grau Alguém ajuda ? Em uma industria seus funcionarios são divididos em 3 setores. No primeiro trabalha um quinto dos funcionarios , no setor dois,mais alguns sétimos , e no último setor 303 funcionarios.Qual ototalde funcionários desta industria ? sol. 3535
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equaçao do 1° grau
Este foi o problema , acho que o enuciado ta certo !! porém não informa quantos sétimos são !! - Original Message - From: Brunno Fernandes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 20, 2005 6:11 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equaçao do 1° grau não falta dados? não esa claro quantos setimos um abraco - Original Message - From: gustavo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 20, 2005 4:20 PM Subject: [obm-l] Equaçao do 1° grau Alguém ajuda ? Em uma industria seus funcionarios são divididos em 3 setores. No primeiro trabalha um quinto dos funcionarios , no setor dois,mais alguns sétimos , e no último setor 303 funcionarios.Qual ototalde funcionários desta industria ? sol. 3535 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.362 / Virus Database: 267.13.4/176 - Release Date: 20/11/05
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equaçao do 1° grau
1/5 + x/7 = 15x = 35 - 7 ... x = 28/5Como o x do alguns sétimos tem q ser inteiro, pode considerar x=1, x=2, x=3, x=4, x=5.Esse meu x/7 é o 'alguns setimos' mais os 330.Tinha alternativas essa questao? Se tivesse talvez fosse possivel encontrar, mas assim eu encontro 5 respostas. Em 20/11/05, gustavo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Este foi o problema , acho que o enuciado ta certo !! porém não informa quantos sétimos são !! - Original Message - From: Brunno Fernandes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 20, 2005 6:11 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equaçao do 1° grau não falta dados? não esa claro quantos setimos um abraco - Original Message - From: gustavo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 20, 2005 4:20 PM Subject: [obm-l] Equaçao do 1° grau Alguém ajuda ? Em uma industria seus funcionarios são divididos em 3 setores. No primeiro trabalha um quinto dos funcionarios , no setor dois,mais alguns sétimos , e no último setor 303 funcionarios.Qual ototalde funcionários desta industria ? sol. 3535 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.362 / Virus Database: 267.13.4/176 - Release Date: 20/11/05
Re: [obm-l]Equaçao do 1° grau
On Dom Nov 20 18:20 , 'gustavo' [EMAIL PROTECTED] sent: Alguém ajuda ? Em uma industria seus funcionarios são divididos em 3 setores. No primeiro trabalha um quinto dos funcionarios , no setor dois,mais alguns sétimos , e no último setor 303 funcionarios.Qual o total de funcionários desta industria ? sol. 3535 x: número de funcionários. y: quantidade de sétimos. Daí, x/5 + xy/7 + 303 = x = xy/7 + 303 = 4x/5 = x(4/5 - y/7) = 303 = = x = (303)(35)/(28 - 5y) O único valor de y para o qual x é inteiro positivo é y = 5. Agora que você já sabe quantos são os sétimos, é só prosseguir. Se não me engano, essa questão caiu no IME. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equaçao BIquadrada
Cara, pra saber se a forma acima esta certa, a gente precisa de unsparentesis
pra saber quem divide quem nas barras, senao fica dificil!Por exemplo, o lado
esquerdo tem um monte de opcoes, mas que viram soduas, tendo em conta o
enunciado (o denominador nao pode ser x^2, enem x, ja que a indicacao de U leva
a x^2 + 1), mas ainda assim naoda:a^2 + 4/ x^2 + 1 = a^2 + 4/(x^2 + 1) ou (a^2
+ 4)/(x^2 + 1) ?Pro lado direito e mais dificil ainda, e pra piorar tem um
sinalestranho de 'mais' logo em seguida de um 'dividido': / +
Bom, pra resolver (supondo que esta certa a equacao, mas realmente eso fazer o
mmc dos denominadores), substitua x^2 por uma novavariavel, por exemplo, Y.
Dai, voce cai numa equacao do segundo grauem Y, resolve e acha duas raizes (em
funcao de a, claro). Emseguida, voce analisa o sinal delas, aceita apenas a
positiva (tendoem vista que U esta contido em R) e acha as raizes quadradas pra
teras duas solucoes.
Espero que tenha ajudado,Abracos,-- Bernardo Freitas Paulo da Costa
On 8/2/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: NA RESOLUÇAO DA
EQUAÇAO NA VARIÁVEL X, PARA U = IR - {-1, 1}: a^2 + 4/ x^2 + 1 = 4 - a^2/ +
a^2 + 1 + 4x^4/ x^4 – 1 Eu comecei tirando o mmc, que é todo o denominador
da equação! Em seguida multipliquei por todos os numeradores de forma
correta e cheguei a seguinte equação: -2a^2x^4 + 2a^2 – 8x^6 – 4x^4 + 4 = 0
queria saber se estar correto da forma acima, e se estiver, como faço pra
desenvolver o restante da equação?
___ Yahoo! Acesso Grátis -
Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
http://br.acesso.yahoo.com/
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[obm-l] equaçao BIquadrada
NA RESOLUÇAO DA EQUAÇAO NA VARIÁVEL X, PARA
U = IR - {-1, 1}:
a^2 + 4/ x^2 + 1 = 4 - a^2/ + a^2 + 1 + 4x^4/ x^4 1
Eu comecei tirando o mmc, que é todo o denominador da
equação!
Em seguida multipliquei por todos os numeradores de
forma correta e cheguei a seguinte equação:
-2a^2x^4 + 2a^2 8x^6 4x^4 + 4 = 0
queria saber se estar correto da forma acima, e se
estiver, como faço pra desenvolver o restante da
equação?
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equaçao diofantina
Tradução:vou ter que aprender a usar dominios algebricos pra fazer a joça andar...Vou nessa entao... --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ache todos os quadrados cujos sucessores sao ANTECESSORES de cubos. x^2 + 1 = y^3 - 1 == y^3 = x^2 + 2 == y^3 = (x + raiz(-2))*(x - raiz(-2)) Sugestao: Use o fato de que Z[raiz(-2)] eh um dominio de fatoracao unica e leve tudo, como voce gosta de dizer, ateh as ultimas consequencias... Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equaçao diofantina
Ache todos os quadrados cujos sucessores sao ANTECESSORES de cubos. x^2 + 1 = y^3 - 1 == y^3 = x^2 + 2 x eh par == x^2 == 0 (mod 4) == y^3 = x^2 + 2 == 2 (mod 4) == contradicao, pois o cubo de um impar eh impar e o de um par eh multiplo de 8 e, portanto, divisivel por 4 == x eh impar. Vamos fatorar o lado direito em Z[raiz(-2)]: y^3 = (x + raiz(-2))*(x - raiz(-2)) Pondo r = raiz(-2), seja d = MDC(x + r,x - r) em Z[r]. Entao, d | (x + r) - (x - r) == d | 2r == d soh pode ser igual a 1, -1, 2, -2, r, -r, 2r ou -2r. Mas tambem d | x + r. d = 2 ou -2 == (x + r)/2 = x/2 + (1/2)*r nao pertence a Z[r] == contradicao d = r ou -r == (x + r)/r = 1 - (x/2)*r nao pertence a Z[r] == contradicao d = 2r ou -2r == (x + r)/(2r) = 1/2 - (x/4)*r nao pertence a Z[r] == contradicao Logo, soh pode ser d = 1 ou d = -1 == x + r e x - r sao primos entre si == como o produto deles eh um cubo perfeito e Z[r] eh um dominio de fatoracao unica, cada um individualmente deve ser um cubo perfeito (em Z[r]) == x + r = (a + br)^3, com a, b inteiros == x + r = a^3 + 3a^2br - 6ab^2 - 2b^3r == (igualando as partes real e imaginaria) a^3 - 6ab^2 = x e 3a^2b - 2b^3 = 1 == a(a^2 - 6b^2) = x e b(3a^2 - 2b^2) = 1 == b = 1 ou b = -1 == b^2 = 1 == a(a^2 - 6) = x e 3a^2 - 2 = 1 == a = 1 ou a = -1 == x = -5 ou x = 5 == y^3 = x^2 + 2 = 27 == y = 3. Logo, as unicas solucoes sao (5,3) e (-5,3), ou seja, o unico quadrado cujo sucessor eh antecessor de um cubo eh o 25. * Esse tipo de problema poderia tranquilamente ter sido mencionado na enquete da beleza matematica, jah que eh uma aplicacao razoavelmente simples (mas inusitada) dos numeros complexos e, na minha opiniao, caberia no curriculo do 2o. grau. A unica passagem menos obvia eh o uso do fato de que em Z[raiz(-2)] (ou seja, o conjunto dos numeros da forma a + b*raiz(-2), com a, b inteiros, munido das operacoes usuais de adicao e multiplicacao de nos. complexos), tambem vale o Teorema Fundamental da Aritmetica. Mas isso pode ser provado de maneira analoga ao caso dos inteiros de Gauss (numeros da forma a + b*raiz(-1), com a, b inteiros) - vide artigo do Guilherme Fujiwara na Eureka 14. Alias, um bom exercicio eh tentar descobrir todos os primos de Z[raiz(-2)]. Isso nao eh muito obvio. Por exemplo, apesar de 3, 11 e 17 serem primos no conjunto dos inteiros, em Z[raiz(-2)] eles podem ser fatorados: 3 = (1 + raiz(-2))*(1 - raiz(-2)) 11 = (3 + raiz(-2))*(3 - raiz(-2)) 17 = (3 + 2*raiz(-2))*(3 - 2*raiz(-2)) Por outro lado, 5, 7 e 13 tambem sao primos em Z[raiz(-2)]. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equaçao diofantina
Oi turma, quem consegue fazer isto aqui? Ache todos os quadrados cujos sucessores sao sucessores de cubos. ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equaçao diofantina
Dirichlet, do modo como está escrito, está trivial. O sucessor de um x (quadrado) é o sucessor de um cubo se o próprio x é um cubo. Os quadrados, simultaneamente cubos, são as potências 6. Portanto a resposta é : n^6 , n é inteiro. Abraço, Duda. From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Oi turma, quem consegue fazer isto aqui? Ache todos os quadrados cujos sucessores sao sucessores de cubos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equaçao
O gabarito que eu tenho dessa questão é alternativa d) 3, mas eu não consigo enxergar mais um valor real para m, será que o nosso amigo gabarito está errado? Para quantos valores de m, a expressão m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 é o quadrado de uma expressão do primeiro grau em x?(908) resposta:d a)0b)1c)2d)3e)4 Seja a equação do segundo grau: m²x² + 2(m - 1)x + 4 = 0 Para que essa equação seja igual a algo do tipo: (ax + b)² = 0 Isso significa que ela só terá duas raízes reais iguais! E sabemos que uma equação do 2º grau tem duas raízes iguais se o determinante é igual a zero: D = [2(m - 1)]² - 4m².4 D = 4(m² - 2m + 1) - 16m² D = 4(m² - 2m + 1 - 4m²) D = 4(-3m² - 2m + 1) Então temos: 4(-3m² - 2m + 1) = 0 -3m² - 2m + 1 = 0 (3m - 1).(-m - 1) = 0 m = 1/3 ou m = -1 Resposta: Alternativa c) 2. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equaçao
Rafael, acho (eh claro que eu nao deveria estar achando nada; aqui ou se tem certeza ou nos calamos) que o autor do gabarito incluiu m=0 na resposta, caso em que m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 seria ainda o quadrado de um polinomio, so que de grau 0 e nao de grau 1. O enunciado original eh esse mesmo? Que 908 eh esse? Rafael wrote: O gabarito que eu tenho dessa questão é alternativa d) 3, mas eu não consigo enxergar mais um valor real para m, será que o nosso amigo gabarito está errado? Para quantos valores de m, a expressão m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 é o quadrado de uma expressão do primeiro grau em x?(908) resposta:d a)0b)1c)2d)3e)4 Seja a equação do segundo grau: m²x² + 2(m - 1)x + 4 = 0 Para que essa equação seja igual a algo do tipo: (ax + b)² = 0 Isso significa que ela só terá duas raízes reais iguais! E sabemos que uma equação do 2º grau tem duas raízes iguais se o determinante é igual a zero: D = [2(m - 1)]² - 4m².4 D = 4(m² - 2m + 1) - 16m² D = 4(m² - 2m + 1 - 4m²) D = 4(-3m² - 2m + 1) Então temos: 4(-3m² - 2m + 1) = 0 -3m² - 2m + 1 = 0 (3m - 1).(-m - 1) = 0 m = 1/3 ou m = -1 Resposta: Alternativa c) 2. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equaçao
- Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, June 13, 2003 2:04 PM Subject: [obm-l] equaçao O gabarito que eu tenho dessa questão é alternativa d) 3, mas eu não consigo enxergar mais um valor real para m, será que o nosso amigo gabarito está errado? Para quantos valores de m, a expressão m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 é o quadrado de uma expressão do primeiro grau em x?(908) resposta:d a)0b)1c)2d)3e)4 Seja a equação do segundo grau: m²x² + 2(m - 1)x + 4 = 0 Para que essa equação seja igual a algo do tipo: (ax + b)² = 0 Isso significa que ela só terá duas raízes reais iguais! E sabemos que uma equação do 2º grau tem duas raízes iguais se o determinante é igual a zero: D = [2(m - 1)]² - 4m².4 D = 4(m² - 2m + 1) - 16m² D = 4(m² - 2m + 1 - 4m²) D = 4(-3m² - 2m + 1) Então temos: 4(-3m² - 2m + 1) = 0 -3m² - 2m + 1 = 0 (3m - 1).(-m - 1) = 0 m = 1/3 ou m = -1 Resposta: Alternativa c) 2. Oi, Rafael: Tentando pelo método ingênuo eu acho a mesma coisa... (ax+b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2 = m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 Igualando coeficientes: a^2 = m^2 == a = m ou a = -m ab = (m - 1) b^2 = 4 == b = 2 ou b = -2 Considerando os quatro casos e usando a 2a. equação: b = 2, a = m ou b = -2, a = -m == 2m = m - 1 == m = -1 b = 2, a = -m ou b = -2, a = m == -2m = m - 1 == m = 1/3 Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equaçao
Pois é, a questão é essa mesma. Pensei em m = 0, mas ele queria do primeiro grau em x, então não serve mesmo. E esse 908 é o número da questão no livro. Obrigado a você e ao Cláudio pela confirmação. Abraços, Rafael. --- A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Rafael, acho (eh claro que eu nao deveria estar achando nada; aqui ou se tem certeza ou nos calamos) que o autor do gabarito incluiu m=0 na resposta, caso em que m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 seria ainda o quadrado de um polinomio, so que de grau 0 e nao de grau 1. O enunciado original eh esse mesmo? Que 908 eh esse? Rafael wrote: O gabarito que eu tenho dessa questão é alternativa d) 3, mas eu não consigo enxergar mais um valor real para m, será que o nosso amigo gabarito está errado? Para quantos valores de m, a expressão m^2x^2 + 2(m-1)x + 4 é o quadrado de uma expressão do primeiro grau em x?(908) resposta:d a)0b)1c)2d)3e)4 Seja a equação do segundo grau: m²x² + 2(m - 1)x + 4 = 0 Para que essa equação seja igual a algo do tipo: (ax + b)² = 0 Isso significa que ela só terá duas raízes reais iguais! E sabemos que uma equação do 2º grau tem duas raízes iguais se o determinante é igual a zero: D = [2(m - 1)]² - 4m².4 D = 4(m² - 2m + 1) - 16m² D = 4(m² - 2m + 1 - 4m²) D = 4(-3m² - 2m + 1) Então temos: 4(-3m² - 2m + 1) = 0 -3m² - 2m + 1 = 0 (3m - 1).(-m - 1) = 0 m = 1/3 ou m = -1 Resposta: Alternativa c) 2. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equaçao aberta
Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1 ? Aguardo respostas Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] Equaçao aberta
felipe mendona wrote: [EMAIL PROTECTED]"> S = (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1 Vamos considerar a soma auxiliar T, [EMAIL PROTECTED]"> T = S/[2^(n-2)] = (n-1)[0,5^(n-2)] + (n-2)[0,5^(n-3)] + ... + 2[0,5^1] + 1 T = (n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + ... + 2[x^1] + 1 , para x=0,5. [EMAIL PROTECTED]"> T = derivada de [x^(n-1)] + [x^(n-2)] + ... + [x^2] + x +1 = derivada de [(x^n - 1)/(x-1)] =[(x-1)n(x^(n-1))- (x^n - 1)] / (x-1)^2 para x=0,5. T=[ - (n+1) (0,5)^n + 1] / [0,5^2] = 4 - (n+1) [0,5^(n-2)] [EMAIL PROTECTED]"> S = 4* [2^(n-2)] - (n+1) Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1 ? Aguardo respostas Felipe Mendona Vitria-ES. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grtis. Clique aqui. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista =
[obm-l] Re: [obm-l] Equaçao aberta
Sauda,c~oes,
Existe sim. Começo a escrever e a msg do
Morgado chega. Como havia pensado no
problema, envio minha solução.
Escreva o termo geral a_k como
a_k = [a_1 + (k-1)r] q^{k-1}k =
1,2,3,...
onde a_1 = n-1, r=-1 e q=2.
Então a_k é o termo geral de uma progressão
aritmético-geométrica e temos:
a_1 = n-1
a_2 = (n-2)2
a_{n-1} = 2^{n-2}
a_n = 0
A soma S_n = \sum_{k=1}^n a_k é dada por
S_n =[A / B] + [C / D]
onde
A = a_1(1-q^n)
B =1-q
C = rq[1 - nq^{n-1}+ (n-1)q^n]
D = (1-q)^2
Substituindo os valores, resulta:
S_n = 2^n - (n+1)
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: felipe
mendona
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quinta-feira, 14 de novembro
de 2002 17:23
Assunto: [obm-l] Equaçao "aberta"
Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta
(2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
?
Aguardo respostas
Felipe Mendonça
Vitória-ES.
[obm-l] Re: [obm-l] Equaçao aberta
Ola Felipe e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Ola Felipe ! Se voce acompanhou com atencao a solucao do Prof Morgado deve
ter percebido que ela sugere um caminho de generalizacao ... De fato, em
essencia, o que voce quer e somar um numero finito de termos de uma
sequencia da forma :
(A1*B1, A2*B2, A3*B3, ... , An*Bn )
onde (A1, A2, ..., An) e uma Progressao Geometrica e (B1, B2, ...,Bn) e uma
Progressao Aritmetica.
Os termos Ai*Bi com i 1 podem ser expressos como funcao do primeiro termo
e da posicao que ocupam, pois sabemos que :
An=A1+(N-1)*r e Bn=B1*[q^(N-1)]
Sendo assim, se :
S=A1*B1 + A2*B2 + ... + An*Bn
entao :
q*S=A1*B1*q + [A1+r]*B1*q^2 + ... + [A1+(N-1)*r]*B1*q^N
e, portanto :
S - q*S=r*B1*q + r*B1*q^2 +...+r*B1*q^(N-1)+{A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
(1-q)*S=r*B1[q+q^2+...+q^(N-1)] + {A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
(1-q)*S=r*B1*[(q^N -q)/(q-1)]+ {A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
S=r*B1*[(q-q^N)/(q-1)^2]+[1/(1-q)]*{A1*B1 - (A1+(N-1)r)*B1*q^N}
Que a formula para a soma de N termos. Observe que se modulo(q)1
entao q^N - 0 quando N -+INFINITO. Portanto :
LIM S =(r*q*B1)/(1-q)^2 + A1*B1/(1-q)=[B1/(1-q)]*[A1 - r*q/(1-q)]
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1956,141102
From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Equaçao aberta
Date: Thu, 14 Nov 2002 18:22:27 -0200
felipe mendona wrote:
S = (2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
Vamos considerar a soma auxiliar T,
T = S/[2^(n-2)] = (n-1)[0,5^(n-2)] + (n-2)[0,5^(n-3)] + ... + 2[0,5^1]
+ 1
T = (n-1)[x^(n-2)] + (n-2)[x^(n-3)] + ... + 2[x^1] + 1 , para x=0,5.
T = derivada de [x^(n-1)] + [x^(n-2)] + ... + [x^2] + x +1 = derivada
de [(x^n - 1)/(x-1)] =[(x-1)n(x^(n-1))- (x^n - 1)] / (x-1)^2 para
x=0,5.
T=[ - (n+1) (0,5)^n + 1] / [0,5^2] = 4 - (n+1) [0,5^(n-2)]
S = 4* [2^(n-2)] - (n+1)
Pessoal,existe uma forma fechada da expressao aberta
(2^0).(n-1)+(2^1).(n-2)+.+[2^(n-3)].2+[2^(n-2)].1
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