Re: [obm-l] "função potencial" de x
Realmente não tinha observado dessa forma, com n^(1/n) sendo a inversa. Mas
não vejo pq a Im = (0,1] e não Im = (0,3].
Não entendi por que vc descartou todos os pontos acima de 1. Pois o domínio
da inversa é de (0,3^(1/3)], certo?
Se fizermos um estudo da função n^(1/n) para:
- n^(1/n) menor que (n+1)^(1/(n+1))
Elevando os membros da desigualdade a n*(n+1):
- n^(n+1) menor que (n+1)^n
Isolando n do lado esquerdo:
- n menor que (1+1/n)^n
Sabe-se que a expressão do lado direiro tende para e, portanto a função
n^(1/n) é crescente apenas até n=3. Nesse ponto obtemos a maior imagem possível
da função. (Tem essa demonstração no livro de Análise do Elon.)
Então foi assim que pensei.
Segundo esse raciocínio, a imagem 2 é possível mas a 4 não é.
Abraços,
Claudio Gustavo.
ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá Cláudio.
Essa expressão que você encontrou, n^(1/n) para a inversa
de f(n) só é válida para 01 e
que não existe para n = 0. Você deve ter feito o seguinte (considerando
agora x real): x^x^x^x^... = n = f(x)
x^(x^x^x^x^...) = n
ln (x^(x^x^x^x^...)) = ln n
( x^x^x^...)* ln(x) = ln n
n * ln(x) = ln n
ln (x) = (ln n)/n
x = e^((ln n)/n)
x = e^( (ln n)* (1/n) )
= (e^( (ln n) ) ) ^(1/n) (justificativa m ^(p*q) = (m^p)^q) )
= n ^(1/n)
logo se f(x) = x^x^x^... então
f(n^(1/n)) = n (porque f(x) = n) O que deve estar te
confundindo é que
n^(1/n) é a inversa de f(n), (basta
trocar x por n para ver isso) pois
a inversa tem a propriedade que f( f^(-1) (n) ) = n então comparando as
duas expressões:
f( f^(-1) (n) ) = n e
f ( n^(1/n) ) = n então f^(-1) (n) = n^(1/n) , pois f injetiva,
conforme
você afirma. Troque agora n por x e temos
f^(-1) (x) = x^(1/x)
Claro que esta expressão f^(-1) só é valida tomando-se como domínio
a imagem da função f (x), que como vimos é (0,1].Bom. Peço humildemente
aos membros da lista que corrijam as possíveis
besteiras que eu possa ter dito. Neste caso é lógico que a função x^x^x^x^...
nunca atingirá o valor 3, nos naturais pois seu valor máximo é 1
quando x = 1 e não existe para x>1. Abraço a todos.
Ronaldo Luiz Alonso
Claudio Gustavo wrote: Desculpe, pois não fui claro na minha solução.
Na verdade não é a função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada
por n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1). Quanto
a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral, para imagens
naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o x encontrará
exatamente isso. Daí eu concluí que, como a função f(x) é crescente (acho que
isso já é o suficiente para vermos que ele é injetiva, pois será monótona),
para uma abscissa maior obtemos uma imagem maior. Logo a maior imagem possível
(considerando apenas entre as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que
obtemos imagem 3. Logo essa função nunca atingirá a imagem 4. Acho que agora
fui mais claro nas explicitações. Abraço,Claudio Gustavo. Marcelo Salhab
Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja: f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1... para x = 1, f_n(x) = 1,
para todo n para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...
na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante... nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a)
é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0] tambem nao achei trivial
mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva... abracos,
Salhab
On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
> de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
> Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
> imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
> concluímos que 2 = 4!!!
> Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
> considerações e se o que pensei está correto.
> Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
>
Re: [obm-l] "função potencial" de x
Olá Cláudio.
Essa expressão que você encontrou, n^(1/n) para a inversa
de f(n) só é válida para 01 e
que não existe para n = 0.
Você deve ter feito o seguinte (considerando agora x real):
x^x^x^x^... = n = f(x)
x^(x^x^x^x^...) = n
ln (x^(x^x^x^x^...)) = ln n
( x^x^x^...)* ln(x) = ln n
n * ln(x) = ln n
ln (x) = (ln n)/n
x = e^((ln n)/n)
x = e^( (ln n)* (1/n) )
= (e^( (ln n) ) ) ^(1/n)
(justificativa m ^(p*q) = (m^p)^q) )
= n ^(1/n)
logo se f(x) = x^x^x^... então
f(n^(1/n)) = n (porque f(x) = n)
O que deve estar te confundindo é que
n^(1/n) é a inversa de f(n), (basta
trocar x por n para ver isso) pois
a inversa tem a propriedade que
f( f^(-1) (n) ) = n
então comparando as duas expressões:
f( f^(-1) (n) ) = n e
f ( n^(1/n) ) = n
então
f^(-1) (n) = n^(1/n) , pois f injetiva, conforme
você afirma.
Troque agora n por x e temos
f^(-1) (x) = x^(1/x)
Claro que esta expressão f^(-1) só é valida tomando-se como domínio
a imagem da função f (x), que como vimos é (0,1].
Bom. Peço humildemente aos membros da lista que corrijam as
possíveis
besteiras que eu possa ter dito. Neste caso é lógico que a função
x^x^x^x^...
nunca atingirá o valor 3, nos naturais pois seu valor máximo é 1
quando x = 1 e não existe para x>1.
Abraço a todos.
Ronaldo Luiz Alonso
Claudio Gustavo wrote:
> Desculpe, pois não fui claro na minha solução. Na verdade não é a
> função f(x) que é decrescente, mas sim a função representada por
> n^(1/n) que é decrescente para o n maior que 3 (vai tender para 1).
> Quanto a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral,
> para imagens naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o
> x encontrará exatamente isso. Daí eu concluí que, como a função f(x)
> é crescente (acho que isso já é o suficiente para vermos que ele é
> injetiva, pois será monótona), para uma abscissa maior obtemos uma
> imagem maior. Logo a maior imagem possível (considerando apenas entre
> as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que obtemos imagem 3.
> Logo essa função nunca atingirá a imagem 4. Acho que agora fui mais
> claro nas explicitações. Abraço,Claudio Gustavo.
>
> Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Ola Claudio,
> acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
>
> f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
>
> para x > 1...
> x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
> x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
> :
> f_{n+1}(x) > f_n{x}
> assim, a funcao é crescente com n para x>1
> ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x >
> 1..
> portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
>
> para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
>
> para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a
> funcao é
> decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf
> f_n(x)
> existe...
> como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum
> valor maior que 1...
>
> na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
>
> decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ...
> 4^(4^4) >
> 3^(3^3).. e assim por diante...
>
> nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de
> lim n->inf
> f_n(x) = a..
> intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem
> para o
> infinito elas nao se comportam exatamente como no caso
> finito.. [temos
> as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do
> intuitivo é a
> serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
>
> tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é
> injetiva...
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la
> assim, mas fiz...)
> > de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x
> elevado a x ...).
> > Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não
> pode ter como
> > imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x =
> 2^(1/2), mas daí
> > concluímos que 2 = 4!!!
> > Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se
> existem outras
> > considerações e se o que pensei está correto.
> > Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva
> (fazendo f(a)=f(b),
> > então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)),
> para o intervalo de
> > x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona
> crescente para o
> > intervalo considerado. Considerando apenas as imagens
> naturais, ou seja,
> > f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n).
> Sabe-se que essa função
> > é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e
> com limite 1
> > (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1).
> Como a função f(x) no
> > dado intervalo é monó
Re: [obm-l] "função potencial" de x
Desculpe, pois não fui claro na minha solução. Na verdade não é a função f(x)
que é decrescente, mas sim a função representada por n^(1/n) que é decrescente
para o n maior que 3 (vai tender para 1).
Quanto a como eu cheguei nesse n^(1/n), foi considerando o caso geral, para
imagens naturais, com f(x)=n. Se vc aplicar logarítmo e isolar o x encontrará
exatamente isso.
Daí eu concluí que, como a função f(x) é crescente (acho que isso já é o
suficiente para vermos que ele é injetiva, pois será monótona), para uma
abscissa maior obtemos uma imagem maior. Logo a maior imagem possível
(considerando apenas entre as imagens naturais) é para a abscissa 3^(1/3), que
obtemos imagem 3. Logo essa função nunca atingirá a imagem 4.
Acho que agora fui mais claro nas explicitações.
Abraço,
Claudio Gustavo.
Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...
na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante...
nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva...
abracos,
Salhab
On 5/26/07, Claudio Gustavo wrote:
> Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
> de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
> Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
> imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
> concluímos que 2 = 4!!!
> Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
> considerações e se o que pensei está correto.
> Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
> então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de
> x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
> intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
> f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função
> é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1
> (logo obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
> dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma
> imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é
> para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá
> a imagem igual a 4.
>
> __
> Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
> http://br.messenger.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
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Re: [obm-l] "função potencial" de x
Acho que a forma mais prática e fácil de convencer é mesmo plotando o gráfico :) Mas posso pensar em algo melhor. Ronaldo Claudio Gustavo wrote: > Na verdade nem me preocupei se 1 é o único ponto fixo, pois o > exercício pede para analisar apenas as imagens 2 e 4, pois acharíamos > como abscissa para as duas o mesmo ponto, 2^(1/2). Tente resolver a > questão para x^x^x^x^... = n. O resultado é n^(1/n). Mas essa função > tem valor máximo para 3^(1/3) e f(x) é injetiva, logo... A pergunta > é: Vc tem uma idéia diferente da que eu postei inicialmente para > demonstrar que a imagem 4 é absurda? Pois se eu fosse aluno, eu não me > convenceria muito com essa solução que dei... Existe alguam solução > mais "paupável"? Mais "concreta" e menos "abstrata"? > > ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Olá Cláudio. So algumas observações. > > Veja que se x = 2 , então > x^x = 4 > x^x^x = 2^4 = 16 > x^x^x^x = 2^16 = 65536 > x^x^x^x^x^... -> oo > > deve acontecer o mesmo para x> 2, certo? > Pegue outro número, um pouco menor, > digamos x = 1,02. Pelas > poucas contas que fiz parece que a função também > cresce sem limite, embora de forma mais lenta. > Ainda não analisei nada com rigor. Mas não > é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica > que plote essa função. > > Para x = 1 temos um ponto fixo: f(x) = x. Mas a função > parece ter infinitos pontos fixos, > porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^... > > A pergunta é 1 é o único ponto fixo? > > > Claudio Gustavo wrote: > > > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la > assim, mas > > fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado > a x elevado > > a x ...). Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a > função não > > pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens > encontramos x = > > 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!! Vou colocar a > minha solução. > > Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se > o que > > pensei está correto. Primeiro, pode-se demonstrar que a > função é > > injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente > (fazendo f(x+1) > > maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior > que 1, que é o > > caso, logo é monótona crescente para o intervalo > considerado. > > Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n, > encontramos > > como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é > crescente > > até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite > 1 (logo > > obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a > função f(x) no > > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa > maior teremos > > uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para > valores > > naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. > Então a > > função nunca atingirá a imagem igual a > > 4.__ > > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > > http://br.messenger.yahoo.com/ > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a > lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > === > = > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] "função potencial" de x
Ola Claudio,
acredito que sua solucao esteja errada.. veja:
f_n(x) = x^x^x^...^x [n vezes]
para x > 1...
x^x > x ... f_2(x) > f_1(x)
x^(x^x) > x^x ... f_3(x) > f_2(x)
:
f_{n+1}(x) > f_n{x}
assim, a funcao é crescente com n para x>1
ela tbem é ilimitada.. deste modo, f_n(x) diverge para x > 1..
portanto, lim n->inf f_n(x) nao existe para x > 1...
para x = 1, f_n(x) = 1, para todo n
para 0 < x < 1, f_{n+1}(x) < f_n(x) ... e f_n(x) > 0.. a funcao é
decrescente e limitada.. logo converge.. entao, lim n->inf f_n(x)
existe...
como f_1(x) = x < 1, a funcao nao tem como imagem nenhum valor maior que 1...
na sua solucao, nao entendi como vc concluiu que a funcao eh
decrescente para x>3 .. pois: 4 > 3 ... 4^4 > 3^3 ... 4^(4^4) >
3^(3^3).. e assim por diante...
nao consegui ver como vc mostrou que a^(1/a) é solucao de lim n->inf
f_n(x) = a..
intuitivamente parece correto, porem, qdo as coisas tendem para o
infinito elas nao se comportam exatamente como no caso finito.. [temos
as series para mostrar isso.. um caso tipico que foge do intuitivo é a
serie telescopica com lim a_n diferente de 0]
tambem nao achei trivial mostrar que lim n->inf f_n(x) é injetiva...
abracos,
Salhab
On 5/26/07, Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas fiz...)
de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado a x ...).
Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não pode ter como
imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = 2^(1/2), mas daí
concluímos que 2 = 4!!!
Vou colocar a minha solução. Mas gostaria de saber se existem outras
considerações e se o que pensei está correto.
Primeiro, pode-se demonstrar que a função é injetiva (fazendo f(a)=f(b),
então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) maior que f(x)), para o intervalo de
x positivo e maior que 1, que é o caso, logo é monótona crescente para o
intervalo considerado. Considerando apenas as imagens naturais, ou seja,
f(x)=n, encontramos como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função
é crescente até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1
(logo obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no
dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos uma
imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores naturais, é
para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a função nunca atingirá
a imagem igual a 4.
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] "função potencial" de x
Na verdade nem me preocupei se 1 é o único ponto fixo, pois o exercício pede para analisar apenas as imagens 2 e 4, pois acharíamos como abscissa para as duas o mesmo ponto, 2^(1/2). Tente resolver a questão para x^x^x^x^... = n. O resultado é n^(1/n). Mas essa função tem valor máximo para 3^(1/3) e f(x) é injetiva, logo... A pergunta é: Vc tem uma idéia diferente da que eu postei inicialmente para demonstrar que a imagem 4 é absurda? Pois se eu fosse aluno, eu não me convenceria muito com essa solução que dei... Existe alguam solução mais "paupável"? Mais "concreta" e menos "abstrata"? ralonso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá Cláudio. So algumas observações. Veja que se x = 2 , então x^x = 4 x^x^x = 2^4 = 16 x^x^x^x = 2^16 = 65536 x^x^x^x^x^... -> oo deve acontecer o mesmo para x> 2, certo? Pegue outro número, um pouco menor, digamos x = 1,02. Pelas poucas contas que fiz parece que a função também cresce sem limite, embora de forma mais lenta. Ainda não analisei nada com rigor. Mas não é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica que plote essa função. Para x = 1 temos um ponto fixo: f(x) = x. Mas a função parece ter infinitos pontos fixos, porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^... A pergunta é 1 é o único ponto fixo? Claudio Gustavo wrote: > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas > fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado > a x ...). Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não > pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = > 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!! Vou colocar a minha solução. > Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se o que > pensei está correto. Primeiro, pode-se demonstrar que a função é > injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) > maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior que 1, que é o > caso, logo é monótona crescente para o intervalo considerado. > Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n, encontramos > como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é crescente > até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1 (logo > obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos > uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores > naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a > função nunca atingirá a imagem igual a > 4.__ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] "função potencial" de x
Olá Cláudio. So algumas observações. Veja que se x = 2 , então x^x = 4 x^x^x = 2^4 = 16 x^x^x^x = 2^16 = 65536 x^x^x^x^x^... -> oo deve acontecer o mesmo para x> 2, certo? Pegue outro número, um pouco menor, digamos x = 1,02. Pelas poucas contas que fiz parece que a função também cresce sem limite, embora de forma mais lenta. Ainda não analisei nada com rigor. Mas não é dificil fazer um programa no MATLAB ou Matematica que plote essa função. Para x = 1 temos um ponto fixo: f(x) = x. Mas a função parece ter infinitos pontos fixos, porque f(x^x^x^x^x^ ...) = x^x^x^x^x^... A pergunta é 1 é o único ponto fixo? Claudio Gustavo wrote: > Chamei de função potencial (não sei se posso chamá-la assim, mas > fiz...) de x a função x^x^x^x^x^...(x elevado a x elevado a x elevado > a x ...). Como posso demonstrar que, sendo essa a f(x), a função não > pode ter como imagens 2 e 4? Pois para as duas imagens encontramos x = > 2^(1/2), mas daí concluímos que 2 = 4!!! Vou colocar a minha solução. > Mas gostaria de saber se existem outras considerações e se o que > pensei está correto. Primeiro, pode-se demonstrar que a função é > injetiva (fazendo f(a)=f(b), então a=b) e crescente (fazendo f(x+1) > maior que f(x)), para o intervalo de x positivo e maior que 1, que é o > caso, logo é monótona crescente para o intervalo considerado. > Considerando apenas as imagens naturais, ou seja, f(x)=n, encontramos > como solução geral x = n^(1/n). Sabe-se que essa função é crescente > até n = 3 e, a partir daí, ela é decrescente e com limite 1 (logo > obedece a condição de x positivo e maior que 1). Como a função f(x) no > dado intervalo é monótona crescente, para uma abscissa maior teremos > uma imagem maior. Portanto a maior imagem possível, para valores > naturais, é para quando x = 3^(1/3), logo f(3^(1/3)) = 3. Então a > função nunca atingirá a imagem igual a > 4.__ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
