Olá Marcelo Finger,
Obrigado pelos esclarecimentos.
Fiquei com certo receio ao ler a apresentação do teorema que o Watzlawick faz,
por isso minha pergunta sobre a apresentação que ele faz do teorema, embora
conheça o teorema apenas pela apresentação informal do livro Prova de Gödel, do
Newman e do Nagel, acompanho a lista e vi algumas correções sobre o teorema de
Gödel sendo feitas. Meu desconforto foi exatamente o ponto que abordou, quando
ele afirma que G é demonstrável a partir das premissas e axiomas do sistemas.
Nesse ponto fiz bem em postar o texto, pois eliminou minha dúvida. Fico com a
sensação, porém de que talvez ele pudesse querer dizer que ela era permitida
pelos axiomas do sistema, ou expressável no sistema, dai teria que ver o
original em inglês. Mesmo assim pecaria ao se referir a qualquer sistema, como
apontou o Décio, muitos sistemas não conseguem nem reproduzir o teorema.
Eu tenho certo receio quanto à essas abordagens também, embora ache que seja
necessário e creio que será o caminho pelo qual irei. Postar o texto aqui na
lista foi uma forma de filtrar o texto. Mesmo com os pequenos erros
identificados, trata-se de um apêndice, um complemento no espírito do texto,
mas sem ligação direta com este. Não compromete o livro.
Nunca tinha ouvido falar em omega-consistência, pode falar mais a respeito?
Abraço
Rodrigo
Date: Mon, 3 Aug 2009 14:21:04 -0300
Subject: Re: [Logica-l] Paul Watzlawick, o teorema de Gödel e o Tractatus de
Wittgenstein
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Caro Rodrigo.
Os problemas começam quando se toma o Teorema de Goedel como sendo o que ele
não é. Segundo o seu texto:
"Gödel
pôde demonstrar que nesse sistema ou algum outro equivalente é possível
construir uma frase, G, que (1) é demonstrável a partir das premissas e
axiomas do sistema, mas que (2) afirma de si mesma que é
indemonstrável. "
Lamento, mas o que o Teorema diz é que, se uma teoria T for uma extensão da
Aritmética de Peano, então existe uma fórmula A:
a) SE A TEORIA T FOR CONSISTENTE, A não é demonstrável em T; e
b) SE A TEORIA T FOR omega-CONSISTENTE, a negação de A não é demonstrável em
T.
Essas pré-condições de consistência são absolutamente fundamentais tanto para a
demonstração quanto para a compreensão do teorema. (Rosser depois mostrou que
a omega-consistência pode ser reduzida a apenas consistência usando uma outra
fórmula). A sua análise, e muitas outras, omitem este facto.
Aliás, o teorema é chamado de "incompletude", pois uma teoria é incompleta se
existe uma fórmula tal que nem ela nem sua negação podem ser demonstradas. O
Teorema de Gödel diz q a aritmética de Peano é incompleta e não pode ser
completada.
Em nenhum lugar está dito que a fórmula A responsável pela incompletude é
"demonstrável a partir das premissas e
axiomas do sistema". Aliás, se ela assim fosse, ou o teorema ou a aritmética
seriam inconsistentes. Por sinal, a auto referência da fórmula A não é direta,
mas se dá através de um sistema
de codificação de fórmulas e provas em elementos da aritmética (de
peano). Esta codificação não é única, diversas codificações distintas
servem de base para o teorema.
Espero ter ajudado.
[]s
Marcelo
2009/8/3 Rodrigo Oliveira <[email protected]>
Olá a todos,
Estou lendo o livro Pragmática da Comunicação Humana, do Paul Watzlawick. No
fim do livro ele faz uma relação entre o teorema de Gödel e o que ele chama de
o paradoxo fundamental da existência humana, sendo o Tractatus de Wittgenstein
uma maneira de expressar esse paradoxo. Reproduzo aqui o texto, que é um
pouquinho longo para um e-mail. Gostaria de ouvir comentários obre ele, dado
que qui se encontram especialistas nos temas abordados. Penso em coisas como: o
modo como ele apresenta o teorema é adequado? A relação que ele apresenta faz
sentido? Se a estrutura é semelhante mesmo, como Wittgenstein aparentemente não
entendeu o teorema de Gödel? O teorema de Gödel envolve a auto-referência,
Wittgenstein negava tal coisa... Que pensam disso?
Abraços
Rodrigo
Segue o texto:
As hierarquias como aquelas com que estamos agora ocupados foram detalhadamente
exploradas num ramo da matemática moderna, com o qual nosso estudo tem grande
afinidade, exceto o fato de que a matemática é de uma coerência e rigor
incomparavelmente maiores do que nós podemos ter sequer esperança de alcançar.
O Ramo em questão é a teoria da prova - ou metamatemática. Tal como esta última
denominação claramente implica, essa área da matemática trata de si mesma, isto
é, das leis inerentes à matemática e o problema de saber se a matemática é ou
não coerente. Portanto, não surpreenderá que os matemáticos tenham encontrado e
investigado, essencialmente, as mesmas consequências paradoxais da
auto-reflexividade, muito antes de que analistas da comunicação humana
estivessem cônscios sequer de sua existência. De fato, o trabalho nessa área
remonta a Schöder (1895), Löwenheim (1915) e, especialmente, a Hilbert (1918).
A teoria da prova, ou metamatemática, era então a preocupação altamente
abstrata de um brilhante, embora reduzido, grupo de matemáticos, situado, por
assim dizer, fora da corrente principal da atividade matemática. Segundo
parece, dois acontecimentos serviram, subsequentemente, para que a teoria da
prova ocupasse o foco das atenções. Um deles foi a publicação, em 1931, do
histórico artigo de Gödel sobre as proposições formalmente indetermináveis, um
trabalho que os professores da Universidade de Harvard descreveram como o mais
importante progresso realizado num quarto de século no campo da lógica
matemática. O Outro acontecimento foi o aparecimento quase explosivo do
computador, depois da II Guerra Mundial. Essas máquinas foram rapidamente
desenvolvidas a partir de autômatos rigidamente programados, até se converterem
em organismos artificiais imensamente versáteis que começaram a propor
problemas fundamentais sobre a teoria da prova, logo que a sua complexidade
estrutural atingiu um ponto em que foi possível fazê-los decidir por si mesmos
qual era, entre vários, o procedimento otimal de computação. Por outras
palavras, surgiu a possibilidade de projetar computadores que não só executavam
um programa mas, ao mesmo tempo, eram capazes de efetuar mudanças em seus
programas.
Na teoria da prova, a expressão procedimento de decisão, refere-se à questão de
apurar se existe ou não um procedimento do tipo que se acaba de descrever.
Portanto, um problema de decisão tem uma solução positiva de puder ser
encontrado um procedimento de decisão para resolvê-lo, enquanto que uma solução
negativa consiste em provar que tal procedimento não existe. Nesta
conformidade, os problemas de decisão são referidos ou como computáveis ou como
insolúveis.
Entretanto, existe uma terceira possibilidade. As soluções definidas (positivas
ou negativas) de um problema de decisão só são possíveis quando o problema em
questão se encontra dentro do domínio (a área de aplicabilidade) desse
específico procedimento de decisão. Se esse procedimento de decisão for
aplicado a um problema fora do seu domínio, a computação prosseguirá
indefinidamente, sem provar jamais que uma solução (positiva ou negativa) está
prestes a ser alcançada. É neste ponto que voltamos a encontrar o conceito de
indeterminabilidade.
Este conceito é o tema central do acima citado artigo de Gödel sobre as
proposições formalmente indetermináveis. O sistema formalizado que esse autor
escolheu para o seu teorema foi os Principia Mathematica, a monumental obra de
Whitehead e Russel, explorando os alicerces da matemática. Gödel pôde
demonstrar que nesse sistema ou algum outro equivalente é possível construir
uma frase, G, que (1) é demonstrável a partir das premissas e axiomas do
sistema, mas que (2) afirma de si mesma que é indemonstrável. Isto significa
que, se G é demonstrável no sistema, a sua indemonstrabilidade (que é o que di
de si mesmo) também seria demonstrável. Mas se tanto a demonstrabilidade como a
indemonstrabilidade podem ser derivadas dos axiomas do sistema e os próprios
axiomas são coerentes (o que faz parte da prova de Gödel, então G é
indemonstrável em termos do sistema, tal como a previsão paradoxal apresentada
em s. 6.441 é indeterminável em termos do seu "sistema", que é a informação
contida no anúncio do diretor da escola e o contexto em que é feito. A prova de
Gödel reveste-se de consequências que vão muito além da lógica matemática; de
fato, demonstra de uma vez para sempre que qualquer sistema formal (matemático,
simbólico etc.) é necessariamente incompleto no sentido acima estabelecido e
que, além disso, a coerência de um tal sistema só pode ser demonstrada
recorrendo a métodos de prova que são mais genéricos do que aqueles que o
próprio sistema pode gerar.
Detivemo-nos mais demoradamente no trabalho de Gödel porque vemos nele a
analogia matemática do que chamaríamos o paradoxo fundamental da existência
humana. O homem é, em última instância, sujeito e objeto de sua busca.
Conquanto seja sobre se a mente pode ser considerada algo semelhante a um
sistemaformalizado, tal como foi definido no parágrafo precedente, a bsca
humana de uma compreensão do significado de sua existência constitui uma
tentativa de formalização. Somente nesse sentido entendemos que certos
resultados da teoria da prova especialmente nas áreas da auto-reflexividade e
da indeterminabilidade) são pertinente. Isto não é, de maneira alguma, uma
descoberta nossa; de fato, dez anos antes de Gödel apresentar o seu brilhante
teorema, outras das grandes inteligências do nosso século já formulara esse
paradoxo em termos filosóficos; referimo-nos a Ludwig Wittgenstein, em seu
Tractatus Logico-Philosophicus. Provavelmente, em nenhuma outra obra foi esse
paradoxo existencial definido de maneira mais lúcida nem ao místico foi
conferido uma posição mais digna como o passo final que transcende esse
paradoxo.
Wittgenstein mostra-nos que só poderíamos saber algo sobre o mundo, em sua
totalidade, se pudéssemos sair fora dele; mas se isso fosse possível, este
mundo já não seria todo o mundo. Contudo, a nossa lógica nada conhece fora dele:
"A lógica enche o mundo: os limites do mundo são também seus imites.Portanto,
não podemos dizer em lógica: Isto e isto há no mundo, aquilo não há.Pois isso,
evidentemente, pressuporia que excluímos certas possibilidades e tal não pode
ocorrer, dado que, de outro modo, a lógica tem que sair dos limites do mundo;
que dizer, se pudéssemos considerar estes limites também do outro lado.
O que não podemos pensar, não podemos pensar; portanto não podemos dizer o que
não podemos pensar."
O mundo, assim, é finito e, ao mesmo tempo, ilimitado; ilimitado, precisamente,
porque nada existe fora que, junto ao de dentro, possa constituir uma
fronteira. Mas, assim sendo, deduz-se que "O mundo e a vida são uma só coisa.
Eu sou o meu mundo". Logo, sujeito e mundo já não são entidades cuja função
relacional é, de algum modo, governada pelo verbo auxiliar ter (que um tem o
outro, contém ou lhe pertence) mas, outrossim, pelo ser existencial: "O sujeito
não pertence ao mundo, é um limite do mundo".
Dentro desse limite, é possível formular e responder a perguntas
significativas: "Se é víavel formular uma pergunta, então também se pode
responder-lhe". Mas "a solução do enigma da vida no espaço e no tempo está fora
do espaço e do tempo". Pois, como já deve estar mais do que esclarecido, nada
dentro de um quadro de referência pode enunciar ou mesmo perguntar coisa alguma
sobre esse quadro de referência. Portanto, a solução não consiste em encontrar
uma resposta para o enigma da existência mas em compreender que esse enigma não
existe. Esta é a essência das belas frases finais do Tractatus, com seu sabor
reminiscente do Budismo Zen:
"Para uma resposta que não pode ser expressa, tampouco a pergunta pode ser
expressa. O enigma não existe. (...)Sentimos que, mesmo se respondêssemos a
todas as possíveis perguntas científicas, mesmo assim os problemas da vida
continuariam intocados. É claro, não restará então pergunta alguma e esta é
precisamente a resposta.
A solução do problema da vida vislumbra-se quando esse problema se dissipa.
(Não é essa, porventura, a razão pela qual os homens a quem, após longas
dúvidas, o sentido da vida se lhes torna claro, não podem dizer em que consiste
esse sentido?)
Existe, sem dúvida, o inexpressável. Este mostra-se a si mesmo, é o
místico...Do que não podemos falar, devemos guardar silêncio."
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Marcelo Finger
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