Olá Rodrigo.
Consistência e Omega-consistência: não dá para não ser técnico, mas vou
tentar manter a técnica ao mínimo.
Um conjunto de sentenças é consistente quando qualquer subconjunto *finito*
de fórmulas deste conjunto NÃO implica logicamente na negação de outra
sentença do conjunto. Por exemplo, o conjunto {A, A --> B, não-B} é
inconsistence, mas qualquer subconjunto dele é consistente.
Um conjunto é Omega-consistente quando nenhum subconjunto (mesmo os
infinitos) implicam logicamente na negação de outro. Vou dar um exemplo da
aritmética. Suponha, como na aritmética de peano em sua apresentação usual,
que temos um símbolo constante 0 e um símbolo funcional de sucessor, ', de
modo que podemos nos referir a todos os naturuais: 1= 0', 2 = 0'', 3 = 0''',
etc. Considere qualquer predicado unário P(x) [por exemplo, querendo dizer
que o número x "é bonito"]. Então considere a teoria:
- Existe x(não P(x)) [existe um número que não é bonito]
-P(0), P(0'), P(0''), P(0'''), etc.
A teoria afirma que existe um número não bonito, e afirma tb que
individualmente cada número é bonito. Qualquer subconjunto finito desta
teoria é consistente, mas a teoria toda é omega-inconsistente quando os
símbolos são interpretados sobre os Naturais.
As regras de inferência da lógica de primeira ordem não são capazes de
mostrar a omega-inconsistência. Para isso é necessário algum poder
expressivo a mais. Por exemplo, uma regra como a da indução ou uma
omega-regra.
Fui claro?
[]s
Marcelo
2009/8/5 Rodrigo Oliveira <[email protected]>
>
> Olá Marcelo Finger,
> Obrigado pelos esclarecimentos.
>
> Fiquei com certo receio ao ler a apresentação do teorema que o Watzlawick
> faz, por isso minha pergunta sobre a apresentação que ele faz do teorema,
> embora conheça o teorema apenas pela apresentação informal do livro Prova de
> Gödel, do Newman e do Nagel, acompanho a lista e vi algumas correções sobre
> o teorema de Gödel sendo feitas. Meu desconforto foi exatamente o ponto que
> abordou, quando ele afirma que G é *demonstráv**el* a partir das premissas
> e axiomas do sistemas. Nesse ponto fiz bem em postar o texto, pois eliminou
> minha dúvida. Fico com a sensação, porém de que talvez ele pudesse querer
> dizer que ela era permitida pelos axiomas do sistema, ou expressável no
> sistema, dai teria que ver o original em inglês. Mesmo assim pecaria ao se
> referir a qualquer sistema, como apontou o Décio, muitos sistemas não
> conseguem nem reproduzir o teorema.
>
> Eu tenho certo receio quanto à essas abordagens também, embora ache que
> seja necessário e creio que será o caminho pelo qual irei. Postar o texto
> aqui na lista foi uma forma de filtrar o texto. Mesmo com os pequenos erros
> identificados, trata-se de um apêndice, um complemento no espírito do texto,
> mas sem ligação direta com este. Não compromete o livro.
>
> Nunca tinha ouvido falar em omega-consistência, pode falar mais a respeito?
>
> Abraço
>
> Rodrigo
>
> ------------------------------
> Date: Mon, 3 Aug 2009 14:21:04 -0300
> Subject: Re: [Logica-l] Paul Watzlawick, o teorema de Gödel e o Tractatus
> de Wittgenstein
> From: [email protected]
> To: [email protected]
> CC: [email protected]
>
>
> Caro Rodrigo.
>
> Os problemas começam quando se toma o Teorema de Goedel como sendo o que
> ele não é. Segundo o seu texto:
>
> "Gödel pôde demonstrar que nesse sistema ou algum outro equivalente é
> possível construir uma frase, G, que (1) é demonstrável a partir das
> premissas e axiomas do sistema, mas que (2) afirma de si mesma que é
> indemonstrável. "
>
> Lamento, mas o que o Teorema diz é que, se uma teoria T for uma extensão da
> Aritmética de Peano, então existe uma fórmula A:
>
> a) SE A TEORIA T FOR CONSISTENTE, A não é demonstrável em T; e
> b) SE A TEORIA T FOR omega-CONSISTENTE, a negação de A não é demonstrável
> em T.
>
> Essas pré-condições de consistência são absolutamente fundamentais tanto
> para a demonstração quanto para a compreensão do teorema. (Rosser depois
> mostrou que a omega-consistência pode ser reduzida a apenas consistência
> usando uma outra fórmula). A sua análise, e muitas outras, omitem este
> facto.
>
> Aliás, o teorema é chamado de "incompletude", pois uma teoria é incompleta
> se existe uma fórmula tal que nem ela nem sua negação podem ser
> demonstradas. O Teorema de Gödel diz q a aritmética de Peano é incompleta e
> não pode ser completada.
>
> Em nenhum lugar está dito que a fórmula A responsável pela incompletude é
> "demonstrável a partir das premissas e axiomas do sistema". Aliás, se ela
> assim fosse, ou o teorema ou a aritmética seriam inconsistentes. Por sinal,
> a auto referência da fórmula A não é direta, mas se dá através de um sistema
> de codificação de fórmulas e provas em elementos da aritmética (de peano).
> Esta codificação não é única, diversas codificações distintas servem de base
> para o teorema.
>
> Espero ter ajudado.
>
> []s
>
> Marcelo
>
>
>
>
> 2009/8/3 Rodrigo Oliveira <[email protected]>
>
>
> Olá a todos,
>
> Estou lendo o livro Pragmática da Comunicação Humana, do Paul Watzlawick.
> No fim do livro ele faz uma relação entre o teorema de Gödel e o que ele
> chama de o paradoxo fundamental da existência humana, sendo o Tractatus de
> Wittgenstein uma maneira de expressar esse paradoxo. Reproduzo aqui o texto,
> que é um pouquinho longo para um e-mail. Gostaria de ouvir comentários obre
> ele, dado que qui se encontram especialistas nos temas abordados. Penso em
> coisas como: o modo como ele apresenta o teorema é adequado? A relação que
> ele apresenta faz sentido? Se a estrutura é semelhante mesmo, como
> Wittgenstein aparentemente não entendeu o teorema de Gödel? O teorema de
> Gödel envolve a auto-referência, Wittgenstein negava tal coisa... Que pensam
> disso?
>
> Abraços
>
> Rodrigo
>
>
> Segue o texto:
>
> As hierarquias como aquelas com que estamos agora ocupados foram
> detalhadamente exploradas num ramo da matemática moderna, com o qual nosso
> estudo tem grande afinidade, exceto o fato de que a matemática é de uma
> coerência e rigor incomparavelmente maiores do que nós podemos ter sequer
> esperança de alcançar. O Ramo em questão é a teoria da prova - ou
> metamatemática. Tal como esta última denominação claramente implica, essa
> área da matemática trata de si mesma, isto é, das leis inerentes à
> matemática e o problema de saber se a matemática é ou não coerente.
> Portanto, não surpreenderá que os matemáticos tenham encontrado e
> investigado, essencialmente, as mesmas consequências paradoxais da
> auto-reflexividade, muito antes de que analistas da comunicação humana
> estivessem cônscios sequer de sua existência. De fato, o trabalho nessa área
> remonta a Schöder (1895), Löwenheim (1915) e, especialmente, a Hilbert
> (1918). A teoria da prova, ou metamatemática, era então a preocupação
> altamente abstrata de um brilhante, embora reduzido, grupo de matemáticos,
> situado, por assim dizer, fora da corrente principal da atividade
> matemática. Segundo parece, dois acontecimentos serviram, subsequentemente,
> para que a teoria da prova ocupasse o foco das atenções. Um deles foi a
> publicação, em 1931, do histórico artigo de Gödel sobre as proposições
> formalmente indetermináveis, um trabalho que os professores da Universidade
> de Harvard descreveram como o mais importante progresso realizado num quarto
> de século no campo da lógica matemática. O Outro acontecimento foi o
> aparecimento quase explosivo do computador, depois da II Guerra Mundial.
> Essas máquinas foram rapidamente desenvolvidas a partir de autômatos
> rigidamente programados, até se converterem em organismos artificiais
> imensamente versáteis que começaram a propor problemas fundamentais sobre a
> teoria da prova, logo que a sua complexidade estrutural atingiu um ponto em
> que foi possível fazê-los decidir por si mesmos qual era, entre vários, o
> procedimento otimal de computação. Por outras palavras, surgiu a
> possibilidade de projetar computadores que não só executavam um programa
> mas, ao mesmo tempo, eram capazes de efetuar mudanças em seus programas.
>
> Na teoria da prova, a expressão *procedimento de decisão, *refere-se à
> questão de apurar se existe ou não um procedimento do tipo que se acaba de
> descrever. Portanto, um problema de decisão tem uma solução positiva de
> puder ser encontrado um procedimento de decisão para resolvê-lo, enquanto
> que uma solução negativa consiste em provar que tal procedimento não existe.
> Nesta conformidade, os problemas de decisão são referidos ou como
> computáveis ou como insolúveis.
>
> Entretanto, existe uma terceira possibilidade. As soluções definidas
> (positivas ou negativas) de um problema de decisão só são possíveis quando o
> problema em questão se encontra *dentro do domíni*o (a área de
> aplicabilidade) desse específico procedimento de decisão. Se esse
> procedimento de decisão for aplicado a um problema *fora* do seu domínio,
> a computação prosseguirá indefinidamente, sem provar jamais que uma solução
> (positiva ou negativa) está prestes a ser alcançada. É neste ponto que
> voltamos a encontrar o conceito de *indeterminabilidade.*
>
> Este conceito é o tema central do acima citado artigo de Gödel sobre as
> proposições formalmente indetermináveis. O sistema formalizado que esse
> autor escolheu para o seu teorema foi os *Principia Mathematica*, a
> monumental obra de Whitehead e Russel, explorando os alicerces da
> matemática. Gödel pôde demonstrar que nesse sistema ou algum outro
> equivalente é possível construir uma frase, G, que (1) é demonstrável a
> partir das premissas e axiomas do sistema, mas que (2) afirma de si mesma
> que é indemonstrável. Isto significa que, se G é demonstrável no sistema, a
> sua indemonstrabilidade (que é o que di de si mesmo) também seria
> demonstrável. Mas se tanto a demonstrabilidade como a indemonstrabilidade
> podem ser derivadas dos axiomas do sistema e os próprios axiomas são
> coerentes (o que faz parte da prova de Gödel, então G é *indemonstrável em
> termos do sistema*, tal como a previsão paradoxal apresentada em s. 6.441
> é indeterminável em termos do seu "sistema", que é a informação contida no
> anúncio do diretor da escola e o contexto em que é feito. A prova de Gödel
> reveste-se de consequências que vão muito além da lógica matemática; de
> fato, demonstra de uma vez para sempre que qualquer sistema formal
> (matemático, simbólico etc.) é necessariamente incompleto no sentido acima
> estabelecido e que, além disso, a coerência de um tal sistema só pode ser
> demonstrada recorrendo a métodos de prova que são mais genéricos do que
> aqueles que o próprio sistema pode gerar.
>
> Detivemo-nos mais demoradamente no trabalho de Gödel porque vemos nele a
> analogia matemática do que chamaríamos o paradoxo fundamental da existência
> humana. O homem é, em última instância, sujeito e objeto de sua busca.
> Conquanto seja sobre se a mente pode ser considerada algo semelhante a um
> sistemaformalizado, tal como foi definido no parágrafo precedente, a bsca
> humana de uma compreensão do significado de sua existência *constitui uma
> tentativa de formalização*. Somente nesse sentido entendemos que certos
> resultados da teoria da prova especialmente nas áreas da auto-reflexividade
> e da indeterminabilidade) são pertinente. Isto não é, de maneira alguma, uma
> descoberta nossa; de fato, dez anos antes de Gödel apresentar o seu
> brilhante teorema, outras das grandes inteligências do nosso século já
> formulara esse paradoxo em termos filosóficos; referimo-nos a Ludwig
> Wittgenstein, em seu Tractatus Logico-Philosophicus. Provavelmente, em
> nenhuma outra obra foi esse paradoxo existencial definido de maneira mais
> lúcida nem ao *místico* foi conferido uma posição mais digna como o passo
> final que transcende esse paradoxo.
>
> Wittgenstein mostra-nos que só poderíamos saber algo sobre o mundo, em sua
> totalidade, se pudéssemos sair fora dele; mas se isso fosse possível, este
> mundo já não seria *todo* o mundo. Contudo, a nossa lógica nada conhece
> fora dele:
>
> "A lógica enche o mundo: os limites do mundo são também seus imites.
> Portanto, não podemos dizer em lógica: Isto e isto há no mundo, aquilo não
> há.
> Pois isso, evidentemente, pressuporia que excluímos certas possibilidades e
> tal não pode ocorrer, dado que, de outro modo, a lógica tem que sair dos
> limites do mundo; que dizer, se pudéssemos considerar estes limites também
> do outro lado.
> O que não podemos pensar, não podemos pensar; portanto não podemos dizer o
> que não podemos pensar."
>
> O mundo, assim, é finito e, ao mesmo tempo, ilimitado; ilimitado,
> precisamente, porque nada existe fora que, junto ao de dentro, possa
> constituir uma fronteira. Mas, assim sendo, deduz-se que "O mundo e a vida
> são uma só coisa. Eu sou o meu mundo". Logo, sujeito e mundo já não são
> entidades cuja função relacional é, de algum modo, governada pelo verbo
> auxiliar *ter* (que um *tem* o outro, contém ou lhe pertence) mas,
> outrossim, pelo *ser* existencial: "O sujeito não *pertence* ao mundo, *é* um
> limite do mundo".
>
> Dentro desse limite, é possível formular e responder a perguntas
> significativas: "Se é víavel formular uma pergunta, então também *se pode*
> responder-lhe".
> Mas "a solução do enigma da vida no espaço e no tempo está *fora* do
> espaço e do tempo". Pois, como já deve estar mais do que esclarecido, nada
> *dentro* de um quadro de referência pode enunciar ou mesmo *perguntar *coisa
> alguma *sobre* esse quadro de referência. Portanto, a solução não consiste
> em encontrar uma resposta para o enigma da existência mas em compreender que
> esse enigma não existe. Esta é a essência das belas frases finais do
> Tractatus, com seu sabor reminiscente do Budismo Zen:
>
> "Para uma resposta que não pode ser expressa, tampouco a pergunta pode ser
> expressa. O *enigma* não existe. (...)
> Sentimos que, mesmo se respondêssemos a *todas as possíveis* perguntas
> científicas, mesmo assim os problemas da vida continuariam intocados. É
> claro, não restará então pergunta alguma e esta é precisamente a resposta.
> A solução do problema da vida vislumbra-se quando esse problema se dissipa.
> (Não é essa, porventura, a razão pela qual os homens a quem, após longas
> dúvidas, o sentido da vida se lhes torna claro, não podem dizer em que
> consiste esse sentido?)
> Existe, sem dúvida, o inexpressável. Este *mostra-se* a si mesmo, é o
> místico...
> Do que não podemos falar, devemos guardar silêncio."
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