Prezado Luis, Creio que sua dúvida será esclarecida se partirmos da diferença entre dois usos corriqueiros das derivações:
a) provas de teoremas b) deduções a partir de um conjunto de hipóteses. Os sistemas de H&C são apresentados no modelo a). Ora o modelo a) é um caso particular do b) - quando o conjunto de hipóteses é vazio. A regra de necessitação no modelo a) é perfeitamente correta pois se A é uma fórmula válida de K, ela será verdadeira em todos os mundos de um modelo qualquer; logo, o mesmo se dará com sua necessitação. Se, no entanto, estivermos trabalhando com derivações a partir de hipóteses, para que o teorema da dedução possa valer, será preciso formular a regra da necessitação da seguinte maneira: de A derivar LA, desde que exista na sequência dedutiva precedente uma subsequência que é uma prova de A ( ou seja, a necessitação pode ser aplicada a teoremas, .mas não a fórmulas que dependam de meras hipóteses. Desse modo, A > LA não se prova em K a não ser que A seja um teorema de K. UM abraço, Andrea Em 3 de janeiro de 2013 17:31, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: > Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, > conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to Modal > Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que tenho > sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais sistemas > (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!). > > Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o > condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um > conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): > > *Sobre o sistema K*. > H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: > > *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an axiom. > *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), > > e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da > substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus > ponens, e a regra da necessitação: > > *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* > > *Sobre o sistema T*. > H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do > seguinte teorema ao sistema K: > > *T* *Lp *É* p*, > > de tal modo que T = K + *T*. > > O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação > reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). Informalmente, > diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si mesmos. > > Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que > > *p *É *Lp* > * > * > não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame reflexivo > em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em que *p > * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde > cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação que > chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou > enganado? what am I missing?). > > Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as regras > de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de > axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de > todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os teoremas > de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os teoremas > de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os > autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o sistema > T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não > deveria admitir a regra *N*). > > Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem problema > se tiverem preguiça de ler =]) > Obrigado, e abraço a todos! > > > -- > *Luis Rosa * > @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes > <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> > FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> > Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> > Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> > _______________________________________________ > Logica-l mailing list > [email protected] > http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
