Eu coloquei A&¬A, mas você pode pensar qualquer outra fórmula como antecedente na implicação de Ban. Por exemplo, (A implica ¬A) implica Necessário (A implica não ¬A). Você pode colocar uma variável atômica como antecedente em Ban, ou seja, p implica Necessário p. Mas, ai você não prova Necessário p, salvo se tiver p e p implica Necessário p.
Em 3 de janeiro de 2013 22:42, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: > Ok, confundi a regra de necessitação com o axioma de Ban - agora vejo > isso. A noção de necessidade não é banalizada pela regra da necessitação > nos sistemas (K - S4). > > Fiquei um pouco assustado, porém, com a observação de que, pelo axioma > Ban, (A & ¬A) implica *L*(A & ¬A). Se o axioma Ban faz parte de qualquer > sistema, não é o caso que em tal sistema (A & ¬A) também implique ¬*L*(A > & ¬A)? > > > 2013/1/3 Tony Marmo <[email protected]> > >> Entendo a sua dúvida. Você quer saber a diferença entre necessitação e >> banalização. A ideia de necessitação é uma resposta à questão: que verdades >> são necessárias? A necessitação diz que em primeiro lugar as verdades da >> lógica clássica são necessárias. Isto não banaliza a noção de necessidade. >> >> A regra de necessitação para os sistemas de Lewis até S4 diz que se A é >> uma tese da lógica proposicional clássica, então A é uma verdade >> necessária. Isto é diferente do axioma Ban, que diz A implica Necessário A. >> Por exemplo, A ou ¬A é uma tese clássica: logo, Necessário(A ou ¬A). >> >> Veja agora o caso seguinte: uma contradição não é uma tese da lógica >> proposicional clássica. PC não deriva A&¬A. Donde, *jamais* a regra de >> necessitação produzirá Necessário (A&¬A). Mas, pelo axioma Ban, (A&¬A) >> implicam Necessário (A&¬A). >> >> Em 3 de janeiro de 2013 17:31, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: >> >>> Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, >>> conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to >>> Modal >>> Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que >>> tenho >>> sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais >>> sistemas >>> (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!). >>> >>> Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o >>> condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um >>> conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): >>> >>> *Sobre o sistema K*. >>> H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: >>> >>> *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an >>> axiom. >>> *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), >>> >>> e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da >>> substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus >>> ponens, e a regra da necessitação: >>> >>> *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* >>> >>> *Sobre o sistema T*. >>> H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do >>> seguinte teorema ao sistema K: >>> >>> *T* *Lp *É* p*, >>> >>> de tal modo que T = K + *T*. >>> >>> O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação >>> reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). Informalmente, >>> diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si >>> mesmos. >>> >>> Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que >>> >>> *p *É *Lp* >>> * >>> * >>> não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame >>> reflexivo >>> em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em >>> que *p >>> * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde >>> cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação >>> que >>> chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou >>> enganado? what am I missing?). >>> >>> Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as >>> regras >>> de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de >>> axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de >>> todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os >>> teoremas >>> de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os >>> teoremas >>> de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os >>> autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o >>> sistema >>> T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não >>> deveria admitir a regra *N*). >>> >>> Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem >>> problema >>> se tiverem preguiça de ler =]) >>> Obrigado, e abraço a todos! >>> >>> >>> -- >>> *Luis Rosa * >>> @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes >>> <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> >>> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> >>> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> >>> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> >>> _______________________________________________ >>> Logica-l mailing list >>> [email protected] >>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >>> >> >> > > > -- > *Luis Rosa * > @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes > <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> > FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> > Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> > Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> > > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
