Ok, confundi a regra de necessitação com o axioma de Ban - agora vejo isso. A noção de necessidade não é banalizada pela regra da necessitação nos sistemas (K - S4).
Fiquei um pouco assustado, porém, com a observação de que, pelo axioma Ban, (A & ¬A) implica *L*(A & ¬A). Se o axioma Ban faz parte de qualquer sistema, não é o caso que em tal sistema (A & ¬A) também implique ¬*L*(A & ¬A)? 2013/1/3 Tony Marmo <[email protected]> > Entendo a sua dúvida. Você quer saber a diferença entre necessitação e > banalização. A ideia de necessitação é uma resposta à questão: que verdades > são necessárias? A necessitação diz que em primeiro lugar as verdades da > lógica clássica são necessárias. Isto não banaliza a noção de necessidade. > > A regra de necessitação para os sistemas de Lewis até S4 diz que se A é > uma tese da lógica proposicional clássica, então A é uma verdade > necessária. Isto é diferente do axioma Ban, que diz A implica Necessário A. > Por exemplo, A ou ¬A é uma tese clássica: logo, Necessário(A ou ¬A). > > Veja agora o caso seguinte: uma contradição não é uma tese da lógica > proposicional clássica. PC não deriva A&¬A. Donde, *jamais* a regra de > necessitação produzirá Necessário (A&¬A). Mas, pelo axioma Ban, (A&¬A) > implicam Necessário (A&¬A). > > Em 3 de janeiro de 2013 17:31, Luis Rosa <[email protected]> escreveu: > >> Estou com uma dúvida sobre a relação entre os sistemas modais K e T, >> conforme construídos por Hughes e Cresswell em *A New Introduction to >> Modal >> Logic*. Desconfio que a origem da dúvida seja um mal entendimento que >> tenho >> sobre a relação entre as regras de derivação e os teoremas de tais >> sistemas >> (ou sobre a relação entre regras de derivação e teoremas em geral!). >> >> Explico (onde *'L'* é o operador modal de necessidade, 'É' representa o >> condicional material, '→' representa derivação lógica, 'W' representa um >> conjunto de mundos possíveis, e 'R' representa relações entre mundos): >> >> *Sobre o sistema K*. >> H&C constróem o sistema K como tendo os dois seguintes axiomas: >> >> *PC* If *α* is a valid wff of propositional calculus, then *α* is an >> axiom. >> *K* *L*(*p* É *q*) É (*L**p* É *L**q*), >> >> e como tendo as seguintes regras básicas de derivação: a regra da >> substituição uniforme de sub-fórmulas dentro de uma fórmula, o modus >> ponens, e a regra da necessitação: >> >> *N* *⊢* *α* → *⊢* *L**α* >> >> *Sobre o sistema T*. >> H&C constróem o sistema T como sendo o sistema que resulta da adição do >> seguinte teorema ao sistema K: >> >> *T* *Lp *É* p*, >> >> de tal modo que T = K + *T*. >> >> O axioma *T* é válido em todos os frames <W,R> em que R é uma relação >> reflexiva (de tal modo que, para todo *w **∈ *W, *w*R*w*). Informalmente, >> diz-se então que T é um sistema em que todos os mundos enxergam a si >> mesmos. >> >> Agora vem a minha dúvida colocada de modo preciso: H&C observam que >> >> *p *É *Lp* >> * >> * >> não é um teorema de T, uma vez que é possível construir um frame reflexivo >> em que *p *É *Lp *não é válido em T (em tal frame haveria um mundo em que >> *p >> * é verdadeiro e que pode enxergar outro mundo em que *p* é falso, onde >> cada mundo enxerga a si mesmo). Porém, dado *N* e a regra de derivação que >> chamamos de 'prova condicional', *p *É *Lp *é um teorema de K (ou estou >> enganado? what am I missing?). >> >> Assim, dado que, de modo geral, se S é um sistema modal contendo as regras >> de substituição uniforme, modus ponens e *N*, e se P é um conjunto de >> axiomas, dado que S + P denota o sistema obtido a partir da inclusão de >> todas as fórmulas em P ao sistema S, então é verdade que todos os teoremas >> de S são também teoremas de S + P. Assim, se T = K + *T*, todos os >> teoremas >> de K devem ser teoremas de T. Mas *p *É *Lp* é um teorema de K, e os >> autores dizem que esse não é um teorema de T. (Acredito que, para o >> sistema >> T ser como os autores descrevem, em que *p *É *Lp* não é válido, ele não >> deveria admitir a regra *N*). >> >> Alguém pode me ajudar? (peço desculpas pelo tamanho do email - sem >> problema >> se tiverem preguiça de ler =]) >> Obrigado, e abraço a todos! >> >> >> -- >> *Luis Rosa * >> @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes >> <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> >> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> >> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> >> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> >> _______________________________________________ >> Logica-l mailing list >> [email protected] >> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >> > > -- *Luis Rosa * @fsopho // prof <https://sites.google.com/site/fsopho/> // lattes <http://lattes.cnpq.br/9235142514779816> FsOpHo Epistemology Blog <http://fsopho.wordpress.com/> Blog Distropia <http://distropia.wordpress.com/> Greek van Peixe - Gamer Rock <http://greekvanpeixe.com/> _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
