... Vamos começar de situações simples (e óbvias de responder) para chegar
numa intuição do que seja o cardinal p.
1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos
naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num
conjunto infinito;
--> porém a família tem intersecção vazia ?
... Isso é fácil de exibir:
A_1 = {1,2,3,...}
A_2 = {2,3,4....}
A_3 = {3,4,5,...}
... A_n = {k: k maior ou igual a n}
A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima.
Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C funciona
como uma "pseudo-intersecção" da família,
no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; essa
coisa do quase contido é, exatamente,
dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll but
finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer
um dos A_n.
Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta.
Qualquer ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que
qualquer
intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se fixamos
uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos,
Q = {r_n: n em N}
e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual a
1, podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima
da seguinte forma:
A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ }
Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x for
irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de
intersecção vazia
porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer
sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos
índices A
dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All but
finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão cair
dentro de qualquer A_k que você fixar.
Então, a pergunta seguinte seria:
2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos
naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num
conjunto infinito;
--> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ?
Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de
subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente
uma pseudo-intersecção infinita para essa família.
Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as intersecções
finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim:
a_o = min(A_0)
a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0})
a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} )
...
a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado com
A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} )
...
O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção
infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços
métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência convergente
a um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso
mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção
infinita como uma subsequência convergente).
Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ?
Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os
naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se
de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal
que toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui
pseudointersecção infinita.
(Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A contido
nos naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no
ultrafiltro,
ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos
complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro
(lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que
os ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com
ambos A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai
estar no ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito,
se for A_2, A menos A_2 = A_1 que é infinito.)
... Ou seja, do exercício mental acima temos que:
--> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais
que toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto
infinito, porém
não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são
exemplos disso);
--> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável.
Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é:
QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ?
Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É não-enumerável
porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, e limitado
superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de Partes de
N (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale aleph_1 = c,
mas em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior do que
aleph_1, por exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de Martin
tem-se aleph_1 < p = c).
Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que
p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico
qualquer que não seja subsequencial
(subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de uma
subsequência)
Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que
corresponde à subsequência convergente.
Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre a
subsequência convergente.
Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades
(intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção
infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação aos
naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando
com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família},
declare os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas
da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde A
pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família
é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos
naturais convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência
seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe).
Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma família
que tem as mesmas propriedades que as que definem p
(por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a torre
é bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara
básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde
T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... quase
contém propriamente T_alpha ....
(Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém
propriamente Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito).
Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém
mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente
(isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova de
"p < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma
prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo eles
necessariamente são iguais).
t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem ordenado
pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre
eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a prova
de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões
sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram
chegando no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa
situação em que estavam olhando para outra coisa"...
É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o review
para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe:
https://zbmath.org/?q=an:06321199
... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na
UFRN nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca...
[]s Samuel
On Sunday, September 17, 2017 at 9:38:39 AM UTC-3, Samuel Gomes wrote:
>
> Olás,
>
> Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não
> posso escrever muito.
>
> Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai estar
> no Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro
> Mundial de Matemáticos.
>
> Atés
>
> []s Samuel
--
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