Obrigado pela explicação, vale a pena estudar os detalhes. Só quero dizer que gostei do trabalho desses professores porque primeiro tem foco num assunto e segundo traz demonstrações elegantes e enxutas. Acho essa segunda qualidade a mais importante. (Não se pode viver num mundo em que cada simples proposição receba uma demonstração de mais de 400 páginas!) São contribuições assim claras, concisas e objetivas que realmente alargam o conhecimento!
Dize à sabedoria: Tu és minha irmã... Provérbios 7:4 > On 17 Sep 2017, at 22:51, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L > <[email protected]> wrote: > > ... Vamos começar de situações simples (e óbvias de responder) para chegar > numa intuição do que seja o cardinal p. > > 1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos > naturais que sejam tais que: > > --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num > conjunto infinito; > > --> porém a família tem intersecção vazia ? > > ... Isso é fácil de exibir: > > A_1 = {1,2,3,...} > > A_2 = {2,3,4....} > > A_3 = {3,4,5,...} > > ... A_n = {k: k maior ou igual a n} > > A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima. > > Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C funciona > como uma "pseudo-intersecção" da família, > no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; essa > coisa do quase contido é, exatamente, > dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll but > finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer > um dos A_n. > > Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta. Qualquer > ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que qualquer > intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se fixamos > uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos, > > Q = {r_n: n em N} > > e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual a 1, > podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima > da seguinte forma: > > A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ } > > Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x for > irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de > intersecção vazia > porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer > sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos > índices A > dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All but > finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão cair > dentro de qualquer A_k que você fixar. > > Então, a pergunta seguinte seria: > > 2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos > naturais que sejam tais que: > > --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num > conjunto infinito; > > --> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ? > > Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de > subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente > uma pseudo-intersecção infinita para essa família. > > Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as intersecções > finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim: > > a_o = min(A_0) > > a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0}) > > a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} ) > > ... > > a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado com > A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} ) > > ... > > O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção > infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços > métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência convergente a > um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso > mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção infinita > como uma subsequência convergente). > > Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ? > > Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os > naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se > de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal que > toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui > pseudointersecção infinita. > > (Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A contido nos > naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no ultrafiltro, > ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos > complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro > (lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que os > ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com ambos > A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai estar no > ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito, se for A_2, > A menos A_2 = A_1 que é infinito.) > > > ... Ou seja, do exercício mental acima temos que: > > --> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais que > toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto infinito, porém > não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são exemplos > disso); > > --> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável. > > Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é: > > QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ? > > Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É não-enumerável > porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, e limitado > superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de Partes de N > (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale aleph_1 = c, mas > em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior do que aleph_1, por > exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de Martin tem-se aleph_1 < p = > c). > > Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que > > p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico qualquer > que não seja subsequencial > > (subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de uma > subsequência) > > Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que > corresponde à subsequência convergente. > Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre a > subsequência convergente. > > Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades > (intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção > infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação aos > naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando > com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família}, declare > os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas > da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde A > pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família > é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos naturais > convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência > seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe). > > Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma família que > tem as mesmas propriedades que as que definem p > (por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a torre é > bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara > básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde > > T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... quase > contém propriamente T_alpha .... > > (Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém propriamente > Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito). > > Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém > mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente > (isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova de "p > < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma > prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo eles > necessariamente são iguais). > > t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem ordenado > pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre > eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a prova > de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões > sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram chegando > no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa > situação em que estavam olhando para outra coisa"... > > É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o review > para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe: > > https://zbmath.org/?q=an:06321199 > > ... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na UFRN > nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca... > > []s Samuel > > > > > >> On Sunday, September 17, 2017 at 9:38:39 AM UTC-3, Samuel Gomes wrote: >> Olás, >> >> Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não >> posso escrever muito. >> >> Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai estar no >> Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro Mundial de >> Matemáticos. >> >> Atés >> >> []s Samuel > > -- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um > e-mail para [email protected]. > Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. > Acesse esse grupo em > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. > Para ver essa discussão na Web, acesse > https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb13224bd80d%40dimap.ufrn.br. -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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