mas Samuel, mais interessante pra mim 'e tentar entender o paralelismo entre o diagram de Cichon e o de Van Douwen. o que voce pode me explicar facilmente, sem precisar de textao? obrigada!
2017-09-19 7:38 GMT-07:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L < [email protected]>: > Olás, > > Só comentando que o paper de 6 páginas, conforme eu chamei a atenção no > meu Review no ZbMath: > > https://zbmath.org/?q=an:06321199 > > não tinha mesmo *todos* os detalhes das demonstrações: foi publicado já > deixando claro que os detalhes > todos estavam num artigo que, naquela época, ainda estava no Arxiv. Esse > trabalho completo foi posteriormente publicado, > tendo ficado com 61 páginas: > > http://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347- > 2015-00830-X/S0894-0347-2015-00830-X.pdf > > Então havia um motivo para tanta concisão no artigo de 6 páginas - os > detalhes todos estavam em outro lugar ! > > Atés, > > []s Samuel > > > > On Monday, September 18, 2017 at 11:45:30 PM UTC-3, marmo.tony wrote: >> >> Obrigado pela explicação, vale a pena estudar os detalhes. >> >> Só quero dizer que gostei do trabalho desses professores porque primeiro >> tem foco num assunto e segundo traz demonstrações elegantes e enxutas. Acho >> essa segunda qualidade a mais importante. (Não se pode viver num mundo em >> que cada simples proposição receba uma demonstração de mais de 400 >> páginas!) São contribuições assim claras, concisas e objetivas que >> realmente alargam o conhecimento! >> >> *Dize à sabedoria: Tu és minha irmã...* >> >> Provérbios 7:4 <https://www.bibliaonline.com.br/acf/pv/7/4> >> >> On 17 Sep 2017, at 22:51, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L < >> [email protected]> wrote: >> >> ... Vamos começar de situações simples (e óbvias de responder) para >> chegar numa intuição do que seja o cardinal p. >> >> 1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos >> naturais que sejam tais que: >> >> --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num >> conjunto infinito; >> >> --> porém a família tem intersecção vazia ? >> >> ... Isso é fácil de exibir: >> >> A_1 = {1,2,3,...} >> >> A_2 = {2,3,4....} >> >> A_3 = {3,4,5,...} >> >> ... A_n = {k: k maior ou igual a n} >> >> A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima. >> >> Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C >> funciona como uma "pseudo-intersecção" da família, >> no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; >> essa coisa do quase contido é, exatamente, >> dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll >> but finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer >> um dos A_n. >> >> Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta. >> Qualquer ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que >> qualquer >> intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se >> fixamos uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos, >> >> Q = {r_n: n em N} >> >> e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual >> a 1, podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima >> da seguinte forma: >> >> A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ } >> >> Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x for >> irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de >> intersecção vazia >> porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer >> sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos >> índices A >> dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All but >> finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão cair >> dentro de qualquer A_k que você fixar. >> >> Então, a pergunta seguinte seria: >> >> 2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos >> naturais que sejam tais que: >> >> --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num >> conjunto infinito; >> >> --> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ? >> >> Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de >> subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente >> uma pseudo-intersecção infinita para essa família. >> >> Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as >> intersecções finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim: >> >> a_o = min(A_0) >> >> a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0}) >> >> a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} ) >> >> ... >> >> a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado com >> A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} ) >> >> ... >> >> O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção >> infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços >> métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência >> convergente a um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso >> mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção >> infinita como uma subsequência convergente). >> >> Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ? >> >> Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os >> naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se >> de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal >> que toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui >> pseudointersecção infinita. >> >> (Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A contido >> nos naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no >> ultrafiltro, >> ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos >> complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro >> (lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que >> os ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com >> ambos A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai >> estar no ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito, >> se for A_2, A menos A_2 = A_1 que é infinito.) >> >> >> ... Ou seja, do exercício mental acima temos que: >> >> --> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais >> que toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto >> infinito, porém >> não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são >> exemplos disso); >> >> --> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável. >> >> Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é: >> >> QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ? >> >> Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É >> não-enumerável porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, >> e limitado superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de >> Partes de N (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale >> aleph_1 = c, mas em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior >> do que aleph_1, por exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de >> Martin tem-se aleph_1 < p = c). >> >> Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que >> >> p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico >> qualquer que não seja subsequencial >> >> (subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de uma >> subsequência) >> >> Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que >> corresponde à subsequência convergente. >> Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre a >> subsequência convergente. >> >> Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades >> (intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção >> infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação aos >> naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando >> com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família}, >> declare os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas >> da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde A >> pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família >> é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos >> naturais convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência >> seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe). >> >> Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma família >> que tem as mesmas propriedades que as que definem p >> (por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a >> torre é bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara >> básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde >> >> T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... quase >> contém propriamente T_alpha .... >> >> (Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém >> propriamente Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito). >> >> Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém >> mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente >> (isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova >> de "p < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma >> prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo >> eles necessariamente são iguais). >> >> t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem >> ordenado pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre >> eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a >> prova de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões >> sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram >> chegando no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa >> situação em que estavam olhando para outra coisa"... >> >> É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o >> review para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe: >> >> https://zbmath.org/?q=an:06321199 >> >> ... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na >> UFRN nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca... >> >> []s Samuel >> >> >> >> >> >> On Sunday, September 17, 2017 at 9:38:39 AM UTC-3, Samuel Gomes wrote: >>> >>> Olás, >>> >>> Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não >>> posso escrever muito. >>> >>> Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai >>> estar no Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro >>> Mundial de Matemáticos. >>> >>> Atés >>> >>> []s Samuel >> >> -- >> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >> Grupos do Google. >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >> envie um e-mail para [email protected]. >> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. >> Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/di >> map.ufrn.br/group/logica-l/. >> Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/di >> map.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb1322 >> 4bd80d%40dimap.ufrn.br >> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb13224bd80d%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> >> . >> >> -- > Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos > Grupos do Google. > Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie > um e-mail para [email protected]. > Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. > Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/ > dimap.ufrn.br/group/logica-l/. > Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/ > dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a- > 37abd9aee427%40dimap.ufrn.br > <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a-37abd9aee427%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> > . > -- Valeria de Paiva http://vcvpaiva.github.io/ http://research.nuance.com/author/valeria-de-paiva/ http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/ -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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