Oi Valeria, Então, na verdade é mais fácil pensar que ambos os diagramas "se amalgamam" nos grandes diagramas com muitos invariantes cardinais que você encontra, por exemplo, no paper do Blass sobre invariantes cardinais do continuum - veja, por exemplo, o diagrama na página 93 de
http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/hbk.pdf Tem muito mais cardinais que o diagrama de van Douwen. Mas tem poucos cardinais do diagrama de Cichon. Veja os vários diagramas que tem neste survey aqui: infelizmente ele faz pequeninhos toda vez... https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/40955/1/1202_02.pdf Já na página 8 do seguinte paper tem um diagrama bem mais completo, com os do van Douwen e com os do Cichon http://www.uncg.edu/~vaughanj/Publications/smallcd.pdf Então são duas instâncias de algo que se amalgama. São os caminhos que se abrem nos modelos onde a Hipótese do Contínuo não vale... O que a gente gosta do diagrama de Cichon é que nele todos os cardinais podem ser escritos como normas de objetos de Dial^Op, um desafio é procurar encontrar esses padrões em outros cardinais, por exemplo (o que é uma das continuações pra fazer do nosso paper no Proceedings EBL). Também tem o efeito "a pessoa é para o que nasce": o objetivo do van Douwen quando fez o diagrama dele era destacar os cardinais que aparecem muito em Topologia, já o diagrama do Cichon tem mais cara de Análise Real. Até, []s Samuel On Tuesday, September 19, 2017 at 12:01:48 PM UTC-3, valeria.depaiva wrote: > > mas Samuel, mais interessante pra mim 'e tentar entender o paralelismo > entre o diagram de Cichon e o de Van Douwen. > o que voce pode me explicar facilmente, sem precisar de textao? obrigada! > > 2017-09-19 7:38 GMT-07:00 'Samuel Gomes' via LOGICA-L < > [email protected] <javascript:>>: > >> Olás, >> >> Só comentando que o paper de 6 páginas, conforme eu chamei a atenção no >> meu Review no ZbMath: >> >> https://zbmath.org/?q=an:06321199 >> >> não tinha mesmo *todos* os detalhes das demonstrações: foi publicado já >> deixando claro que os detalhes >> todos estavam num artigo que, naquela época, ainda estava no Arxiv. Esse >> trabalho completo foi posteriormente publicado, >> tendo ficado com 61 páginas: >> >> >> http://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00830-X/S0894-0347-2015-00830-X.pdf >> >> Então havia um motivo para tanta concisão no artigo de 6 páginas - os >> detalhes todos estavam em outro lugar ! >> >> Atés, >> >> []s Samuel >> >> >> >> On Monday, September 18, 2017 at 11:45:30 PM UTC-3, marmo.tony wrote: >>> >>> Obrigado pela explicação, vale a pena estudar os detalhes. >>> >>> Só quero dizer que gostei do trabalho desses professores porque primeiro >>> tem foco num assunto e segundo traz demonstrações elegantes e enxutas. Acho >>> essa segunda qualidade a mais importante. (Não se pode viver num mundo em >>> que cada simples proposição receba uma demonstração de mais de 400 >>> páginas!) São contribuições assim claras, concisas e objetivas que >>> realmente alargam o conhecimento! >>> >>> *Dize à sabedoria: Tu és minha irmã...* >>> >>> Provérbios 7:4 <https://www.bibliaonline.com.br/acf/pv/7/4> >>> >>> On 17 Sep 2017, at 22:51, 'Samuel Gomes' via LOGICA-L < >>> [email protected]> wrote: >>> >>> ... Vamos começar de situações simples (e óbvias de responder) para >>> chegar numa intuição do que seja o cardinal p. >>> >>> 1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N >>> dos naturais que sejam tais que: >>> >>> --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num >>> conjunto infinito; >>> >>> --> porém a família tem intersecção vazia ? >>> >>> ... Isso é fácil de exibir: >>> >>> A_1 = {1,2,3,...} >>> >>> A_2 = {2,3,4....} >>> >>> A_3 = {3,4,5,...} >>> >>> ... A_n = {k: k maior ou igual a n} >>> >>> A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima. >>> >>> Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C >>> funciona como uma "pseudo-intersecção" da família, >>> no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; >>> essa coisa do quase contido é, exatamente, >>> dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll >>> but finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer >>> um dos A_n. >>> >>> Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta. >>> Qualquer ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que >>> qualquer >>> intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se >>> fixamos uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos, >>> >>> Q = {r_n: n em N} >>> >>> e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual >>> a 1, podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima >>> da seguinte forma: >>> >>> A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ } >>> >>> Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x >>> for irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de >>> intersecção vazia >>> porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer >>> sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos >>> índices A >>> dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All >>> but finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão >>> cair dentro de qualquer A_k que você fixar. >>> >>> Então, a pergunta seguinte seria: >>> >>> 2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N >>> dos naturais que sejam tais que: >>> >>> --> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num >>> conjunto infinito; >>> >>> --> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ? >>> >>> Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de >>> subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente >>> uma pseudo-intersecção infinita para essa família. >>> >>> Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as >>> intersecções finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim: >>> >>> a_o = min(A_0) >>> >>> a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0}) >>> >>> a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} ) >>> >>> ... >>> >>> a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado >>> com A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} ) >>> >>> ... >>> >>> O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção >>> infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços >>> métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência >>> convergente a um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso >>> mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção >>> infinita como uma subsequência convergente). >>> >>> Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ? >>> >>> Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os >>> naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se >>> de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal >>> que toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui >>> pseudointersecção infinita. >>> >>> (Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A >>> contido nos naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no >>> ultrafiltro, >>> ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos >>> complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro >>> (lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que >>> os ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com >>> ambos A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai >>> estar no ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito, >>> se for A_2, A menos A_2 = A_1 que é infinito.) >>> >>> >>> ... Ou seja, do exercício mental acima temos que: >>> >>> --> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais >>> que toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto >>> infinito, porém >>> não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são >>> exemplos disso); >>> >>> --> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável. >>> >>> Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é: >>> >>> QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ? >>> >>> Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É >>> não-enumerável porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, >>> e limitado superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de >>> Partes de N (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale >>> aleph_1 = c, mas em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior >>> do que aleph_1, por exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de >>> Martin tem-se aleph_1 < p = c). >>> >>> Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que >>> >>> p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico >>> qualquer que não seja subsequencial >>> >>> (subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de >>> uma subsequência) >>> >>> Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que >>> corresponde à subsequência convergente. >>> Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre >>> a subsequência convergente. >>> >>> Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades >>> (intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção >>> infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação >>> aos naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando >>> com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família}, >>> declare os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas >>> da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde >>> A pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família >>> é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos >>> naturais convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência >>> seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe). >>> >>> Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma >>> família que tem as mesmas propriedades que as que definem p >>> (por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a >>> torre é bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara >>> básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde >>> >>> T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... >>> quase contém propriamente T_alpha .... >>> >>> (Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém >>> propriamente Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito). >>> >>> Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém >>> mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente >>> (isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova >>> de "p < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma >>> prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo >>> eles necessariamente são iguais). >>> >>> t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem >>> ordenado pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre >>> eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a >>> prova de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões >>> sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram >>> chegando no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa >>> situação em que estavam olhando para outra coisa"... >>> >>> É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o >>> review para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe: >>> >>> https://zbmath.org/?q=an:06321199 >>> >>> ... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na >>> UFRN nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca... >>> >>> []s Samuel >>> >>> >>> >>> >>> >>> On Sunday, September 17, 2017 at 9:38:39 AM UTC-3, Samuel Gomes wrote: >>>> >>>> Olás, >>>> >>>> Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não >>>> posso escrever muito. >>>> >>>> Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai >>>> estar no Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro >>>> Mundial de Matemáticos. >>>> >>>> Atés >>>> >>>> []s Samuel >>> >>> -- >>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >>> Grupos do Google. >>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >>> envie um e-mail para [email protected]. >>> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. >>> Acesse esse grupo em >>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. >>> Para ver essa discussão na Web, acesse >>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb13224bd80d%40dimap.ufrn.br >>> >>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb13224bd80d%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> >>> . >>> >>> -- >> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos >> Grupos do Google. >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, >> envie um e-mail para [email protected] <javascript:>. >> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected] >> <javascript:>. >> Acesse esse grupo em >> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. >> Para ver essa discussão na Web, acesse >> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a-37abd9aee427%40dimap.ufrn.br >> >> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a-37abd9aee427%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer> >> . >> > > > > -- > Valeria de Paiva > http://vcvpaiva.github.io/ > http://research.nuance.com/author/valeria-de-paiva/ > http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/ > > -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. 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