Olá Daniel,
1- Sim, o teorema é conhecido, e há uma demonstração é simples: Como todas
as ordens enumeráveis densas e sem extremos são isomorfas a Q (= estrutura
dos racionais com sua ordem), basta demonstrar para esse caso. A função x +
(u - s) é um isomorfismo de Q em Q.
2- Para responder isso é importante considerar que essa discussão é
conhecida no contexto do estruturalismo em filosofia da matemática.
Considere o seguinte slogan estruturalista: "A estrutura tem prioridade
sobre seus indivíduos, estes devem ser entendidos apenas como posições ou
papéis desempenhados na estrutura". Vamos assumir isso. Então seria de se
esperar que os diferentes indivíduos da estrutura corresponderiam a
diferentes papeis desempenhados. Mas em uma estrutura como Q os indivíduos
não podem corresponder a papeis desempenhados desse modo. Um exemplo mais
simples: Considere a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação
binária {(a,b) , (b,a)}. Os indivíduos a e b desempenham o mesmo papel (de
estar na relação com o outro). Como poderíamos dizer que a e b são meros
papeis desempenhados se parece que só há um papel desempenhado nessa
estrutura? É desse modo que entendo o problema, e considero um bom
argumento contra o slogan estruturalista.
Abraço
Rodrigo
On Tue, Feb 19, 2019 at 2:12 PM 'Durante' via LOGICA-L <
[email protected]> wrote:
> Caros colegas lógicos,
>
> Dia desses um colega me disse que uma ordem linear densa enumerável e sem
> extremos é uma estrutura matemática que não apresenta nenhum critério de
> identidade para os seus objetos.
>
> Dois exemplos de ordens lineares densas enumeráveis e sem os extremos são:
>
> (1) a ordem dos números racionais;
>
> (2) a ordem dos números racionais estritamente maiores do que 0 e
> estritamente menores do que 1.
>
> Minha primeira reação foi pensar: isso é bobagem!
>
> Para simplificar e exemplificar, vou argumentar aqui focando apenas no
> exemplo (2), a ordem dos racionais maiores que 0 e menores que 1. Mas tudo
> o que estou dizendo me parece facilmente generalizável para qualquer ordem
> deste tipo.
>
> Suponha que eu "pegue" um número em (2) e chame-o de 'd', e um de vocês,
> digamos o Samuel, também "pegue" um número em (2) e chame-o de 's'. Nós
> conseguiremos saber usando apenas sentenças da estrutura (2) se eu e Samuel
> pegamos o mesmo número ou não. A estrutura (2) é "forte" o suficiente para
> atribuir valor de verdade às sentenças (3) e (4) abaixo:
>
> (3) d < s
> (4) s < d
>
> Se (3) e (4) forem ambas falsas, ou seja, se nenhum dos números for menor
> do que o outro, então saberemos que escolhemos o mesmo número. Ou seja (d =
> s). Caso uma das sentenças seja verdadeira, a outra será obviamente falsa,
> e neste caso saberemos que escolhemos números diferentes. Ou seja (d ≠ s).
>
> Bem, então temos um critério de identidade na estrutura (2). Para
> quaisquer números racionais d e s maiores do que zero e menores do que um:
>
> (5) (d = s) <=> ~(d < s) & ~(s < d).
>
> Ok. Mas suponha agora que eu peça para o Samuel apontar para o número 1/2
> usando apenas os recursos dados pela estrutura (2). Eu não tenho certeza se
> Samuel conseguiria fazer isso, mesmo sendo ele o grande matemático que
> todos sabemos que é. Como ele saberia se um dado número q desta estrutura é
> ou não igual a 1/2 sem usar nenhum recurso externo? Como ele acharia o 1/2
> entre estes racionais?
>
> Uma resposta possível poderia ser: ora, basta ele aplicar o critério de
> identidade que definimos acima. Como 1/2 é um racional entre 0 e 1, então
> ele é um dos elementos da estrutura (2), que portanto é capaz de atribuir
> valor de verdade a (q < 1/2) e a (1/2 < q). Se ambas forem falsas, (q =
> 1/2), caso contrário, (q ≠ 1/2). Então, bastaria a Samuel, que tem os
> superpoderes de um matemático e não se preocupa com restrições meramente
> computacionais e construtivistas, fazer este teste com TODOS os números
> racionais entre 0 e 1 e apontar para aquele único que não é nem maior nem
> menor do que 1/2. Pronto. Ele conseguiria assim apontar para 1/2.
>
> Hum... mas espere um pouco. Tem uma casca de banana aí em cima. Para
> começar a fazer o teste acima, Samuel já tem que ter o número 1/2
> disponível para comparar com todos os outros. Para conseguir apontar para o
> número 1/2 ele já teria que ter o número 1/2 à sua disposição. Mas eu o
> estou proibindo de usar qualquer informação não obtida da estrutura (2). A
> moral da estória é: ainda que 1/2 seja um dos números racionais maiores do
> que zero e menores do que um, a identificação de um número como sendo 1/2
> exige mais recursos do que uma ordem linear densa, enumerável e sem os
> extremos pode nos dar.
>
> Falando isso de um jeito mais filosófico, eu diria que uma ordem linear
> densa, enumerável e sem os extremos não é suficiente para definir o
> conceito do número racional 1/2. O significado matemático de 1/2 (metade)
> exige mais do que uma tal ordem pode nos dar. Eu usei 1/2 apenas como um
> exemplo. Na verdade, nenhum número racional específico é identificável em
> (2). Ou, dito de um modo ainda mais geral, uma ordem linear densa
> enumerável e sem extremos é uma ordem tão fraca que é impossível fazer
> referência não ambígua a qualquer de seus elementos. Apesar de
> numericamente distintos, é como se todos os elementos de uma tal ordem
> fossem cópias da mesma coisa idêntica em todos os outros aspectos.
>
> Vou tentar explicar. Tudo que (2) me autoriza a afirmar de um dado
> elemento s é sua ordem relativa a outros elementos de (2). Ou seja, para
> afirmar algo de s eu preciso de outros elementos s1,...,sn e preciso
> posicionar s e estes outros elementos na ordem, tal como:
>
> (6) s1 < ... < s < ... < sn
>
> Mas seja qual for o posicionamento de s, sempre haverá infinitos outros
> objetos em (2) que se relacionam com s1,...,sn da mesma maneira que s se
> relaciona, ou seja, que ocupam a mesma posição de s apontada em (6).
>
> Então as coisas que podem ser ditas em (2) de seus elementos não os
> individualizam, porque qualquer coisa que pode ser dita em (2) de algum de
> seus elementos, pode ser dita de infinitamente muitos outros.
>
> Parece, então, que a única verdadeira identificação dos distintos
> indivíduos da estrutura (2) é a identidade numérica. Não há mais nada em
> (2) que os distinga uns dos outros.
>
> Como falar isso de um jeito mais matemático e mais simples? Como dizer de
> um jeito matematicamente simples que a estrutura (2) não fornece um
> critério para identificarmos, por exemplo, o número 1/2? Eu acho que
> poderíamos dizer isso através do seguinte teorema:
>
> (7) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0
> < r < 1. Para cada s ∈ S existe uma função bijetora f_s:S→S tal que, para
> todo t,u ∈ S:
> . f_s(s) = 1/2
> . (u < t) <=> (f_s(u) < f_s(t))
>
> Ou seja, para cada s ∈ S existe um isomorfismo f_s em S que mapeia s em
> 1/2 e que preserva a ordem dos racionais. Isso significa que qualquer
> elemento de S pode "funcionar" como 1/2, pode "fazer o papel de" 1/2,
> porque 1/2 não tem papel nenhum na estrutura (2). A estrutura (2) é muito
> caótica. Ela não nos ajuda nem a contar nem a medir.
>
> Isso é bem estranho para a minha intuição (discreta e finitária). Deixe-me
> ilustrar um pouco. Suponha que s seja um número racional bem perto de 0.
> Algo como 0,0000000000001.
> Não importa quão perto 0,0000000000001 esteja de 0, existe uma bijeção f
> em que f(0,0000000000001)=1/2 e que mapeia unicamente (espalhando) cada
> racional entre 0 e 0,0000000000001 em cada racional entre 0 e 1/2, e que
> também mapeia unicamente (espremendo) cada racional entre 0,0000000000001 e
> 1 em cada racional entre 1/2 e 1. E esta bijeção é um isomorfismo, pois
> preserva a ordem dos racionais. Ou seja, (u < t) <=> (f(u) < f(t)).
>
> Como eu entendo isso? Bem, esta ideia de estar mais perto de 0 ou de 1 ou
> de estar no meio, não faz sentido na estrutura (2). Apesar da ordem, nenhum
> dos elementos de (2) está mais perto de 0 ou de 1 do que qualquer outro. A
> ordem é densa, mas enumerável e sem extremos. Isso é quase nada. Viajando
> um pouco, acho que um bom nome para uma tal ordem seria "quase-caos".
>
> Generalizando o teorema (7) obtemos:
>
> (8) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0
> < r < 1. Para cada s,u ∈ S, existe uma função bijetora f_su:S→S tal que
> para todo t,v ∈ S:
> . f_su(s) = u
> . (v < t) <=> (f_su(v) < f_su(t))
>
> Ou seja, dados quaisquer 2 números racionais s e u maiores que 0 e menores
> que 1, existe um isomorfismo f_su em S que mapeia s em u e que preserva a
> ordem dos racionais. Isso significa que qualquer elemento de S pode fazer o
> "papel" de qualquer outro elemento de S e, portanto, os elementos de S são
> cópias da mesma coisa. São distinguíveis apenas numericamente (ser o mesmo
> e ser outro), mas fora isso, são idênticos.
>
> Bem. Finalmente minhas dúvidas.
>
> D1. Alguém conhece este teorema (8)? Bem, eu acho que (8) é um teorema.
> Parece bem plausível, apesar de, pelo menos para mim, contra-intuitivo.
> Suspeito, inclusive, que ele tenha uma prova simples. Se não me engano, a
> versão do teorema (8) para o caso geral de qualquer ordem linear densa sem
> extremos foi demonstrada pelo próprio Cantor. Mas não estou certo. Algum
> palpite da prova?
>
> D2. Vocês acham que este teorema (8) é uma boa "interpretação matemática"
> do caso em questão? Meu colega disse que (2) é uma estrutura matemática que
> não contém nenhum 'critério de identidade' para os seus objetos. Mas eu
> acho que isso é um exagero. Há um critério de identidade. d e s são o mesmo
> se (~(d<s)&~(s<d)), e são distintos caso contrário. O que eu acho que falta
> a (2) [a todas ordens lineares densas enumeráveis e sem extremos] é um
> critério de especificidade, ou de definibilidade. Não há nada que eu possa
> dizer em (2) de um certo individuo que não seja verdade também de algum
> outro. Ou seja, todas as sentenças (finitas) de (2) que são verdadeiras de
> um objeto s, são também verdadeiras de muitos outros. (2) não tem
> capacidade de especificar nenhum de seus objetos. Então, eu diria que o que
> falta a (2) é um critério de definibilidade ou especificidade. Vocês acham
> que o teorema (8) captura esta ideia?
>
> Desculpem a longa mensagem e sintam-se a vontade para corrigir qualquer
> bobagem que eu tenha escrito.
>
> Saudações,
> Daniel.
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