Rodrigo Freire <freires...@gmail.com> escreveu:
> A hipótese que T tem nomes para suas fórmulas significa apenas que
> as fórmulas de T e os termos fechados de T estão em correspondência
> 1-1: a cada fórmula F corresponde um termo fechado ‘F’. Nem precisa
> mencionar aritmética. Qualquer teoria em que o numero de fórmulas é
> igual ao número de termos fechados satisfaz isso por definição.
> Que T não representa simultaneamente sua diagonalização de fórmulas
> (a operação que associa F(‘F’) à fórmula F) e sua teoremicidade é a
> conclusão (em TMR), e também dispensa qualquer menção à
> aritmética. Não é preciso qualquer menção, por exemplo, às funções
> recursivas nesse teorema. Onde está a aritmetização como hipótese?
Bem, Rodrigo, acho que podemos concordar que a questão em pauta não é
a simples *menção* do termo "aritmetização", ou outro termo que o
valha, mas se a técnica em si não é, de alguma maneira, pressuposta
nas demonstrações alternativas que estamos discutindo.
No caso da sua proposta específica, você pergunta:
> Onde está a aritmetização como hipótese?
Eu necessitaria de mais detalhes para fornecer uma resposta mais
enfática, mas faço algumas indicações a seguir.
Você propõe:
> Se o numero de fórmulas de T é igual ao número de termos fechados de
> T, e T é consistente, então T não representa simultaneamente a
> operação de diagonalização nas suas fórmulas e a dedutibilidade em
> T.
Ora, consideremos uma teoria matemática fundamental, numa formulação
qualquer, digamos, nos moldes do Principia Mathematica, como Gödel
fez. Vamos avaliar a sua (in)decidibilidade com base no enunciado
acima.
Suponhamos que essa teoria é consistente. O critério de que o número
de fórmulas seja igual ao número de termos fechados, claramente, não
pode ser suficiente para a indecidibilidade (ex. Aritmética de
Presburger). O outro critério seria que T "*representa* a operação de
diagonalização nas suas fórmulas". O que significa isso? Seria
possível avaliar esse critério para a nossa teoria sem apelar para a
aritmetização?
A minha aposta é que não.
Imagino que você tenha em mente algo similar ao que consta no TMR,
§II, Theorem 1. Ali, o resultado está enunciado em termos da noção de
definibilidade (§II.2), onde, assim eu mantenho, estaria embutido o
apelo à aritmetização. Inclusive, esse termo "definível"
("definierbar") é o mesmo usado por Gödel no artigo original. Porém,
enquanto Gödel meticulosamente constrói as classes definitórias dos
predicados e relações metamatemáticas por meio da aritmetização, TMR
simplesmente substituem uma definição existencial, inserem como
hipótese do enunciado e pronto! Típico matemático clássico! Sempre
que há uma bela e elegante construção, substitui uma definição
existencial e alega um resultado mais geral e abstrato. ;-)
A questão é: Como seria possível demonstrar o existencial ali com
respeito a função D de diagonalização para uma teoria particular, como
o Principia Mathematica (e, assim, obter o resultado original de
Gödel), sem usar aritmetização?
--
Hermógenes Oliveira
--
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/AM6P192MB04885CB48E338A7815D3D03EE9240%40AM6P192MB0488.EURP192.PROD.OUTLOOK.COM.
