Vamos primeiro analisar o teorema em termos da dicotomia: ou T não representa a
diagonalização ou T não representa a sua teoremicidade.
A diagonalização é um caso particular de uma operação muito básica da
matemática elementar: a substituição de uma variável livre em uma expressão por
um termo fechado. Se T não representa a diagonalização, então T não representa
a diagonalização, T falha em representar a matemática.
Se T é bem sucedida em representar a matemática (elementar), então T representa
a diagonalização (pois essa é sem sombra de dúvida uma operação básica da
matemática elementar) e, como consequência do teorema, T não representa sua
teoremicidade.
Assim eu responderia a questão de como avaliar esse teorema em um sistema
particular. O ponto é que não é necessário avaliar o critério de representar a
diagonalização. Se nosso sistema é consistente, então ou ele não serve para
representar a matemática elementar, ou não representa a sua teoremicidade. Os
dois lados da dicotomia servem para quebrar certas expectativas fundacionais.
Agora a aritmetização: Entendo que esse termo está sendo usado para um tipo de
implementação da “representação formal da matemática” em T. Há outros modos de
fazer isso que não apelam para números. Acho que essa é a “eliminação” da
aritmetização que está em questão. É claro que não se está propondo a
eliminação da “representação formal da matemática em T”. Se você identifica
essas duas coisas, tudo bem. Mas não acho razoável. “Representação” é muito
mais geral que “aritmetização”. Me parece claro que “aritmetização” é um tipo
muito particular e restrito de “representação” que remete ao uso de operações
aritméticas básicas com números apenas. Mas essa é uma discussão sobre a
identificação de dois termos indefinidos.
Abraço
> Em 29 de dez de 2019, à(s) 10:35, Hermógenes Oliveira
> <olive...@daad-alumni.de> escreveu:
>
> Rodrigo Freire <freires...@gmail.com> escreveu:
>
>> A hipótese que T tem nomes para suas fórmulas significa apenas que
>> as fórmulas de T e os termos fechados de T estão em correspondência
>> 1-1: a cada fórmula F corresponde um termo fechado ‘F’. Nem precisa
>> mencionar aritmética. Qualquer teoria em que o numero de fórmulas é
>> igual ao número de termos fechados satisfaz isso por definição.
>
>> Que T não representa simultaneamente sua diagonalização de fórmulas
>> (a operação que associa F(‘F’) à fórmula F) e sua teoremicidade é a
>> conclusão (em TMR), e também dispensa qualquer menção à
>> aritmética. Não é preciso qualquer menção, por exemplo, às funções
>> recursivas nesse teorema. Onde está a aritmetização como hipótese?
>
> Bem, Rodrigo, acho que podemos concordar que a questão em pauta não é
> a simples *menção* do termo "aritmetização", ou outro termo que o
> valha, mas se a técnica em si não é, de alguma maneira, pressuposta
> nas demonstrações alternativas que estamos discutindo.
>
> No caso da sua proposta específica, você pergunta:
>
>> Onde está a aritmetização como hipótese?
>
> Eu necessitaria de mais detalhes para fornecer uma resposta mais
> enfática, mas faço algumas indicações a seguir.
>
> Você propõe:
>
>> Se o numero de fórmulas de T é igual ao número de termos fechados de
>> T, e T é consistente, então T não representa simultaneamente a
>> operação de diagonalização nas suas fórmulas e a dedutibilidade em
>> T.
>
> Ora, consideremos uma teoria matemática fundamental, numa formulação
> qualquer, digamos, nos moldes do Principia Mathematica, como Gödel
> fez. Vamos avaliar a sua (in)decidibilidade com base no enunciado
> acima.
>
> Suponhamos que essa teoria é consistente. O critério de que o número
> de fórmulas seja igual ao número de termos fechados, claramente, não
> pode ser suficiente para a indecidibilidade (ex. Aritmética de
> Presburger). O outro critério seria que T "*representa* a operação de
> diagonalização nas suas fórmulas". O que significa isso? Seria
> possível avaliar esse critério para a nossa teoria sem apelar para a
> aritmetização?
>
> A minha aposta é que não.
>
> Imagino que você tenha em mente algo similar ao que consta no TMR,
> §II, Theorem 1. Ali, o resultado está enunciado em termos da noção de
> definibilidade (§II.2), onde, assim eu mantenho, estaria embutido o
> apelo à aritmetização. Inclusive, esse termo "definível"
> ("definierbar") é o mesmo usado por Gödel no artigo original. Porém,
> enquanto Gödel meticulosamente constrói as classes definitórias dos
> predicados e relações metamatemáticas por meio da aritmetização, TMR
> simplesmente substituem uma definição existencial, inserem como
> hipótese do enunciado e pronto! Típico matemático clássico! Sempre
> que há uma bela e elegante construção, substitui uma definição
> existencial e alega um resultado mais geral e abstrato. ;-)
>
> A questão é: Como seria possível demonstrar o existencial ali com
> respeito a função D de diagonalização para uma teoria particular, como
> o Principia Mathematica (e, assim, obter o resultado original de
> Gödel), sem usar aritmetização?
>
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> Hermógenes Oliveira
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