>From: Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: curiosidade
>Date: Tue, 08 Aug 2000 15:52:36 -0300
>
> >From: "Fabio Jose Brandimarte Ariano" <[EMAIL PROTECTED]>
> >To: <[EMAIL PROTECTED]>
> >Subject: curiosidade
> >Date: Tue, 8 Aug 2000 15:53:27 -0300
> >X-MSMail-Priority: Normal
> >X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5
> >X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3
> >
> > Em primeiro lugar, meus parab�ns pelo trabalho e pelo site
> >www.obm.org.br. Meu nome � Jos� Ricardo Ariano. Sou Engenheiro Civil,
> >formado pela Escola de Engenharia de Lins, no ano de 1.974. Naquela
>�poca,
> >n�o disp�nhamos de calculadoras cient�ficas do tipo HP ou similares.
> >Utiliz�vamos calculadoras comuns com raiz quadrada e nos foi passado uma
> >dica de como efetuar calculos exponenciais, utilizando as mesmas. � um
> >c�lculo emp�rico, que d� certo, por�m nunca ficamos sabendo quais as
>bases
> >matem�ticas para que os mesmos funcionassem. Vou passar um exemplo para
> >voc�s, e se algu�m puder explicar como e porque, eu ficaria agradecido.
> >Exemplo: Calcular o valor de 8 elevado de 1/3 ( o que seria o mesmo que
> >raiz cubica de 8 e o resultado � 2) passo 1: Digita-se 8 e extrai-se a
> >raiz quadrada v�rias vezes (por exemplo 15 vezes) e teremos o resultado
> >1,00006346. passo 2: Subtrai-se o n�mero 1 (temos o resultado
> >0,00006346) passo 3: Multiplica-se este resultado pelo expoente (1/3) e
> >teremos 0,000021153 passo 4: soma-se o numero 1 (teremos 1,000021153)
> > resultado 1,999940565 o que � uma aproxima��o excelente para c�lculos
>de
> >engenharia NB: a aproxima��o na quarta casa � determinada pela
>quantidade
> > de zeros ap�s a unidade no passo 1. Curioso, n�o �? Funciona para
> >qualquer base e para qualquer expoente. Espero ter sido �til Jos�
> >Ricardo H. Ariano [EMAIL PROTECTED]
>
Considerando o c�lculo de a^b pelo m�todo acima, com um detalhe: no final
devemos elevar o resultado da soma com 1 a 2^m, onde m � a quantidade de
raizes quadradas que haviamos extra�do no come�o. Considero n, em vez de
2^m, d� no mesmo.
Seja a constante 'e' a base dos logaritmos naturais. Vale:
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
Queremos mostrar que
[ b(a^(1/n) - 1) + 1 ]^n = a^b (i)
Chamarei, por comodidade, k = b(a^(1/n) - 1), o qual tende a 0 quando n se
aproxima do infinito, (i) fica (com o n muito grande)
[ k + 1 ]^n = 1 + kn/1! + k^2n(n-1)/2! + k^3n(n-1)(n-2)/3! + ...
= 1 + kn/1! + (kn)^2/2! + (kn)^3/3! + ...
= e^(kn)
= { e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b (ii)
Basta mostrar que e^[ n(a^(1/n) - 1) ] = a. Para isso vemos que
n(a^(1/n) - 1) =
n(e^(lna/n) - 1) = n( 1 + lna/n + (lna/n)^2/2! + ... - 1)
= lna + 1/n( lna^2/2! + lna^3/n3! + ...)
= lna
O termo com o 1/n � desprez�vel, pois o n � muito grande. Com isso (ii) fica
{ e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b = { e^lna }^b
= { a }^b
= a^b
O que demonstra a f�rmula. Essa prova n�o � rigorosa, mas nos sugere
fortemente que o c�lculo resulta em a^b. Todos os c�lculos deveriam ser
feitos com o limite de n tendendo ao infinito.
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
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