>From: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: Curiosidade
>Date: Sun, 14 May 2000 16:26:30 -0300
>
> Curiosidades:
>
>1) No plano, existem 3 vezes mais tri�ngulos obtusos do que tri�ngulos
>acut�ngulo!!
>
>O matem�tico canadense, Richard K. Guy (j� falecido, se n�o me engano)
>provou este fato em 1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
>
>Algu�m conhece uma outra demonstra��o?
>
>2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
>colocado em 1893 por Lewis Carroll (pseud�nimo do pastor ingl�s Charles
>Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de "Alice no Pa�s das Maravilhas"):
> "Se tr�s pontos s�o escolhidos aleatoriamente, qual � a probabilidade
>desses pontos serem v�rtices de um tri�ngulo obtus�ngulo?"
>Algu�m se habilita? Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
>
>3) Qual a probabilidade de se escolher 4 n�meros dentre os elementos do
>conjunto {1,2,3, ...,99} de modo que a soma seja divis�vel por 3?
Se pudermos repetir os n�meros, a probabilidade vai ser 1/3.
Se n�o pudermos, acho que a an�lise vai ficar um pouco dif�cil, pois veja
que temos que contar todas as possibilidades de ocorr�ncia de soma m�ltipla
de 3. Por exemplo: probabilidade de os 4 n�meros serem m�ltiplos de 3 =
(33/99)*(32/98)*(31/97)*(30/96); depois teremos que contar as possibilidades
de 1 n�mero ser multiplo de 3 e os outros 3 m�ltiplos de 3 mais 1 =
4*(33/99)*(33/98)*(32/97)*(31/96);... e assim por diantes, analisando os
restos:
i. {0,0,0,0} - Combinacao(4;0,4) = 1
ii. {0,1,1,1} - Combinacao(4;1,3) = 4
iii. {0,2,2,2) - Combinacao(4;1,3) = 4
iv. {0,0,1,2) - Combinacao(4;1,1,2) = 12
v. {1,1,2,2) - Combinacao(4;2,2) = 6
Onde, claro, 1+4+4+12+6=27, e como h� 81 possibilidades, 27/81=1/3.
[ ps. onde admito que Combinacao(N;a,...,w)=N!/(a!...w!), e N=a+...+w ]
O c�lculo das probabilidades fica:
P(i) = 1*(33*32*31*30)/(99*98*97*96)
P(ii) = 4*(33*33*32*31)/(99*98*97*96)
P(iii) = 4*(33*33*32*31)/(99*98*97*96)
P(iv) = 12*(33*32*33*33)/(99*98*97*96)
P(v) = 6*(33*32*33*32)/(99*98*97*96)
Da� P = P(i) + P(ii) + P(iii) + P(iv) + P(v)
= (982080+4321152+4321152+13799808+6690816)/(99*98*97*96)
= 1/3
Acabou ficando a mesma resposta... n�o sei o por que, algu�m explica?
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>Benedito Freire
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