From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> > > From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > > > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote: > > > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote: > > > > >Ola pessoal: > > > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade. > > > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > > > >Prove > > > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido > > > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos." > > > > > > > > Vamos definir > > > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas) > > > > ou se (5<x<6), f(x) � o tempo gasto para ir de x a 6. > > > > > > Acho que voc� n�o deveria incluir x > 5, voc� assim est� > > > mudando o problema. > > > > > > > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto > � > > > > falso. Bem, f � uma fun��o cont�nua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e 5 > ou > > > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o > > > > percurso de 6 milhas em 30 minutos. > > > > > > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30 > > > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5. > > > > > > > > Est� tudo certo? > > > > > > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, est�. > > > > > > Um problema mais dif�cil seria: > > > pode-se ou n�o garantir que exista algum trecho do percurso > > > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido > > > em exatamente 6 minutos? > > > > Ola pessoal e Nicolau! > > > > Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo. > > Basta definir > > f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas) > > > > Ver que > > f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30 > > > > E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo > x. > > > > Um problema realmente mais dificil seria: > > pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo > > exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos? > > > > A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro! > > > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > > > Ola pessoal! > > Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a > dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um > teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente me > vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza: > > O TEOREMA > Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1. > Seja k (0<k<1) um numero real.
CORRECAO!!! ===(0<k<1/2)=== Desculpe a confusao! > Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que > f(x) + k = f(x + k). > > O ARGUMENTO GEOMETRICO > Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O que > isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x + k > eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce > exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a reta > afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta acima > dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas convence! > Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa > de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente. > > Um abraco! > > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
