Ola a todos! O problema que eu propus ao Paulo Santa Rita foi o seguinte:
Seja f uma funcao continua definida em [0,1] que acaba onde comeca, ou seja f(0)=f(1)=0. Para quais valores de K (em (0,1/2] ) podemos garantir que exista um x em [0,1-K] tal que f(x) = f(x + K)? Apesar de parecer diferente, ele tem tudo a ver com o problema que estava na lista. Eu estava tentando demonstrar que para K = 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... nos sempre podiamos garantir a existencia do x e que para os outros valores possiveis de K nos nao podiamos garantir a existencia do x. Para a segunda etapa do que eu propus acima, tentei construir uma funcao (fixado o K) de forma que f(x) fosse sempre diferente de f(x + K). E acredito ter conseguido, segue a minha ideia: Seja n o numero inteiro tal que n.K < 1 < (n + 1).K Eu vou definir a f nos pontos x = 0, K/2, 2K/2, 3K/2, 4K/2, 5K/2, ..., 2n.K/2, (2n + 1).K/2, (2n+2).K/2, e ela vai ser linear nos x entre esses pontos. Temos: f(0) = 0 f(2K/2) = - X f(3K/2) = - X + Y f(4K/2) = - 2X + Y f(5K/2) = - 2X + 2Y f(6K/2) = - 3X + 2Y f(7K/2) = - 3X + 3Y ... Voces ja devem ter percebido o padrao, baixa X depois aumenta Y depois baixa X depois aumenta Y... Basta, agora, escolher X e Y de forma que f(1) = 0, pra qualquer X que escolhermos vai existir um Y que garante isso (eh facil de ver por que). Pronto, essa funcao eh tal que f(x) eh sempre diferente de f(x + K). Para esse fato, eu tenho uma prova geometrica, a qual nao vou expor por falta de detalhes. Mas desenhando a funcao e fazendo alguma analise minuciosa, se ve por que. (ta um pouco incompleto... eu sei) Sem mais nada a acrescentar, fico por aqui. Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> > Ola Duda E demais > colegas desta lista, > > E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, > modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, > tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. > > Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta > trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou > claramente que para K > 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao > atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a > questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? > > Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em > perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela > Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, > caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce > vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo > que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir > qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir > ate que a ostra entregue a sua perola... > > Um Grande abraco pra voce > Paulo Santa Rita > 2,1554,150402 > >Ola pessoal! > > > >Eu tenho que fazer mais uma correcao. > > > >O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! > >Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha > >conseguido provar para todo o k<1/2, contudo cometi um erro desapercebido e > >agora estou raticando meu erro. > > > >Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que > >f(0) > >= 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = > >f(x > >+ 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte > >maneira: > > > >Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e > >[4/5,1]. E assume os seguinte valores > >f(0) = 0 > >f(1/5) = 1/5 - (2c) > >f(2/5) = 2/5 + c > >f(3/5) = 3/5 - c > >f(4/5) = 4/5 + (2c) > >f(1) = 1 > > > >Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. > > > >Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais > >cuidadoso daqui em diante. > > > >Um abraco! > > > >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > > >========================================================================= > >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> > >========================================================================= > > > > > _________________________________________________________________ > Chegou o novo MSN Explorer. 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